文档内容
第 33 讲 电容器和带电粒子在电场中的运动
学习目标
明 确目标 确定方向
1.理解电容器的基本概念，掌握好电容器的两类动态分析.
2.能运用运动的合成与分解解决带电粒子的偏转问题.
3.用动力学方法解决带电粒子在电场中的直线运动问题．
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一、电容器
1.组成：由两个彼此绝缘又相互靠近的导体组成。
2.带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值。
3工作：
充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能。
放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。[注2]
二．电容
1定义：电容器所带的电荷量与电容器两极板间的电势差的比值。
2定义式：C＝。[注3]
3物理意义：表示电容器容纳电荷本领大小的物理量。
4单位：法拉(F)，1 F＝ 10 6 μF＝1012 pF。
三．平行板电容器
1影响因素：平行板电容器的电容与极板的正对面积成正比，与电介质的相对介电常数成正比，与极板间
距离成反比。
2决定式：C＝，k为静电力常量。
四、带电粒子在匀强电场中的运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F ＝0，粒子做匀速直线运动或静止。
合
(2)粒子所受合外力F ≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速
合
直线运动。
2．带电粒子在匀强电场中的偏转
(1)条件：以速度v 垂直于电场方向飞入匀强电场，仅受电场力。
0
(2)运动性质：匀变速曲线运动。[注4]
(3)处理方法：运动的合成与分解。
①沿初速度方向：做匀速直线运动。②沿电场方向：做初速度为零的匀加速直线运动。
第二部分重难点辨析
1．平行板电容器动态变化的两种情况
(1)电容器始终与电源相连时，两极板间的电势差U保持不变。
(2)充电后与电源断开时，电容器所带的电荷量Q保持不变。
解决电容器问题的两个常用技巧
1.在电荷量保持不变的情况下，由E＝＝＝知，电场强度与板间距离无关。
2.对平行板电容器的有关物理量Q、E、U、C进行讨论时，关键在于弄清哪些是变量，哪些是不变量，在
变量中哪些是自变量，哪些是因变量，抓住C＝、Q＝CU和E＝ 进行判定即可。
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养
多选【例1】．下列关于静电场与磁场的应用，正确的是（ ）
A．图甲为示波器的示波管，要使荧光屏中间的亮斑向上移动，需使竖直偏转板中上极板的电势高于下极
板的电势
B．图乙为静电除尘装置，煤粉等粉尘在强大的电场作用下电离成正负离子分别吸附到B和A上
C．图丙是用来加速带电粒子的回旋加速器示意图，要使粒子获得的最大动能增大，可增大加速电场的电
压U
D．图丁是磁流体发电机示意图，由图可判断通过电阻的电流方向向上
【答案】AD
【详解】A．图甲为示波器的示波管，要使荧光屏中间的亮斑向上移动，需要使电子在极板间受到竖直向
上的电场力，则需使竖直偏转板中上极板的电势高于下极板的电势，故A正确；
B．图乙为静电除尘装置，是将空气电离成正负离子，使煤粉等粉尘带负电，在强大的电场作用下吸附到 A
上，故B错误；
C．根据洛伦兹力提供向心力有解得
粒子获得的最大动能为
所以增大加速电场的电压U，不能使粒子获得的最大动能增大，故C错误；
D．根据左手定则可知，正电荷向下偏转，负电荷向上偏转，所以B板带正电，A板带负电，通过电阻的电
流方向向上，故D正确。
故选AD。
多选【例2】．如图所示，直流电源与一平行板电容器、理想二极管 正向电阻为零可以视为短路，反向电
阻无穷大可以视为断路 连接，二极管一端接地。闭合开关，电路稳定后，一带电油滴位于电容器中的P
点且处于静止状态。下列说法正确的是（ ）
A．将平行板电容器下极板向下移动，则P点的电势不变
B．将平行板电容器上极板向上移动，则P点的电势不变
C．减小极板间的正对面积，带电油滴会向上移动
D．无论哪个极板向上移动还是向下移动，带电油滴都不可能向下运动
【答案】ACD
【详解】A．将下极板向下移动，d变大，由 可知C小，由于二极管具有单向导电性，电容器不
能放电，由 可知电容器两极板间的电场强度不变，P点与上极板间的电势差不变，上极板电势
不变，故P点的电势不变，故A正确；B．将上极板向上移动，d变大，由 可知C小，由于二极管具有单向导电性，电容器不能放电，
由 可知电容器两极板间的电场强度不变，上极板电势不变，P与上极板的距离变大，P的电势
降低，故B错误；
C．减小极板间的正对面积S，由 可知C变小，由于二极管具有单向导电性，电容器不能放电，
由 可知，电场强度E变大油滴所受电场力变大，油滴所受合力向上，带电油滴会向上移动，故
C正确；
D．上极板上移或下极板下移时，d变大，由 可知，C变小，由于二极管具有单向导电性，电容
器不能放电，由 可知电容器两极板间的电场强度不变，油滴所受电场力不变，油滴静止不动；
上极板下移或下极板上移时d变小，C变大，两极板间的电压U等于电源电动势不变，电场强度 变
大，电场力变大，电场力大于重力，油滴所受合力向上，油滴向上运动，故D正确。
故选ACD。
【例3】．如图甲所示为粒子直线加速器原理图，它由多个横截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号
为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源相连，交变电源两极间的电势差的变化规律如图乙所
示。在 时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）的中央有一自
由电子由静止开始在各间隙中不断加速。若电子的质量为m，电荷量为e，交变电源的电压为U，周期为
T。不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒间隙的时间。下列说法正确的是（ ）
A．电子在圆筒中也做加速直线运动B．电子离开圆筒1时的速度为
C．第n个圆筒的长度应满足
D．保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调大交变电压的周期
【答案】C
【详解】A．由于金属圆筒处于静电平衡状态，圆筒内部场强为零，则电子在金属圆筒中做匀速直线运
动，故A错误；
B．电子离开圆筒1时，由动能定理得
所以电子离开圆筒1瞬间速度为
故B错误；
C．电子从金属圆筒出来后要继续做加速运动，在金属圆筒中的运动时间为交变电源周期的一半，即 ，
电子在圆筒中做匀速直线运动，所以第n个圆筒长度为
故C正确；
D．由C可知，保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调小交变电压的周期，故D错误。
故选C。
【例4】．利用电场和磁场来控制带电粒子的运动在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用。图1为电
子枪的结构示意图，电子从金属丝中发射出来（设电子刚刚离开金属丝时的速度为零），经电压 加速
后，从金属板的小孔穿出。已知电子的质量为 ，电荷量为 ，不计电子重力及电子间的相互作用力。
（1）求电子从金属板小孔穿出时的速度 的大小
（2）示波器中的示波管如图2所示，两板 和 间距为 ，长度均为 ，极板右侧边缘与屏相距 为两极板间的中线并与屏垂直。从小孔穿出的电子束沿 射入电场中，若两板间不加电场，电子打在屏上
的 点。为了使电子打在屏上的 点， 与 相距 ，则需要在两极板间加多大的电压
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）电子在电场中运动，根据动能定理有
解得电子穿出小孔时的速度为
（2）电子进入偏转电场做类平抛运动，在垂直于极板方向做匀加速直线运动。设电子刚离开电场时垂直
于极板方向偏移的距离为 ，根据匀变速直线运动规律有
根据牛顿第二定有
电子在水平方向做匀速直线运动，有
联立解得由图可知
解得
【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
多选1．通过手机内电容式加速度传感器可以实现运动步数的测量，传感器原理如图，电容器的M极板固
定，当手机的加速度变化时，与弹簧相连的N极板只能按图中标识的“前后”方向运动，图中R为定值电
阻。下列对传感器描述正确的是（ ）
A．静止时，电流表示数为零，电容器M极板带负电
B．由静止突然向前加速时，电容器的电容减小
C．由静止突然向前加速时，电流由b向a流过电流表
D．保持向前匀减速运动时，电阻R以恒定功率发热
【答案】BC
【详解】A．静止时，N板不动，电容器的电容不变，则电容器电量不变，则电流表示数为零，电容器 M
极板因为与电源正极相连，所以其带正电，故A错误；
BC．由静止突然向前加速时，N板向后运动，则板间距变大，根据
可知，电容器的电容减小，电容器带电量减小，则电容器放电，则电流由b向a流过电流表，故BC正确；
D．保持向前匀减速运动时，加速度恒定不变，则N板的位置在某位置不动，电容器电量不变，电路中无电流，则电阻R发热功率为零，故D错误。
故选BC。
多选2．电荷控制式喷墨打印机的打印头的结构简图如图所示。其中墨盒可以喷出极小的墨汁微粒（重力
不计），此微粒经过带电室后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经偏转电场后打到纸上，显示出字
符。已知偏移量越大打在纸上的字迹越大。现要缩小字迹，下列措施可行的是（ ）
A．增大墨汁微粒的比荷 B．增大墨汁微粒进入偏转电场时的初动能
C．增大偏转极板的长度 D．增大偏转极板间的间距
【答案】BD
【详解】微粒以一定的初速度垂直射入偏转电场做类平抛运动，则有
水平方向
竖直方向
又
联立解得
要缩小字迹，就要缩小微粒通过偏转电场的偏转量 y，由上式分析可知，采用的方法可以有：减小比荷
、增大墨汁微粒进入偏转电场时的初动能Ek0、减小极板的长度L、增大偏转极板间的间距d。
故选BD。
多选3．如图所示为阴极射线管的示意图，当 、 两极不加电压时，电子束经电场加速后打到荧屏中
央O处形成亮斑。电子在偏转电场中的运动时间很短，电子不会打到极板上。在其他条件不变的情况下，
下列说法正确的是（ ）A．当 、 两极加电压时，亮斑出现在O点下方，则可判断极板 带负电
B．当 、 两极不加电压时，如果增大加速电场的电压，电子束依然打到荧屏的中央
C．如果发现电子在荧屏上的亮斑向上移动，则可判断 、 之间的电势差在减小
D．当 、 两极加电压时，电子通过极板过程中电势能增大
【答案】AB
【详解】A．当 、 两极加电压时，亮斑出现在O点下方，则电子所受电场力向下，极板间电场强度
向上，可知极板 带负电，故A正确；
B．当 、 两极不加电压时，粒子在经过 、 两极间不发生偏转，如果增大加速电场的电压，电
子束依然打到荧屏的中央，故B正确；
C．如果发现电子在荧屏上的亮斑向上移动，电子 、 之间向上运动，则受到竖直向上的电场力，可
知 、 极板间电场强度向下，可判断 、 之间的电势差大于0，则则 、 之间的电势差在
增大，故C错误；
D．当 、 两极加电压时，电子通过极板过程中，电场力做正功，则电子通过极板过程中电势能减
小，故D错误。
故选AB。
4．如图所示，一对面积较大的平行板电容器AB水平放置，A板带正电荷，B板接地，P为两板中点，再
使A、B分别以中心点O、Oʹ为轴在竖直平面内转过一个相同的小角度θ，下列结论正确的是（ ）A．电容器AB的电容不变 B．两板间电场强度变大
C．两板间的P点电势增大 D．两板间的P点电势降低
【答案】D
【详解】A．根据题意，两极板在竖直平面内转过一个相同的小角度 θ，两极板间的距离d减小，根据电容
的决定式和定义式
由此可知，d减小，C增大，故A错误；
B．根据公式
可知，两板间电场强度不变，故B错误；
CD．由图可知，P与B板间的距离减小，由于电容器内部电场强度不变，所以P与B板间的电势差减小，B
板接地，其电势为零，所以P点电势降低，故C错误，D正确。
故选D。
5．如图两块相互靠近的平行金属板组成的平行板电容器，极板N与静电计相连，极板M与静电计的外壳
均接地，在两板相距一定距离时，给电容器充电，静电计指针张开一定角度，在下面的操作中将使静电计
指针张角变大的是（ ）
A．仅将M板向右平移 B．仅将M板向上平移C．仅在M、N之间插入一本书 D．将极板N接地
【答案】B
【详解】ABC．仅将M板向上平移，两极板正对面积减小，根据
电容器减小，而电容器的电荷量不变，由
可知，极板间的电压增大，静电计指针张角变大；同理，将 M板向右平移，板间距离减小，电容器增大，
而电容器的电荷量不变，故板间电压减小，静电计指针张角变小；仅在 M、N之间插入一本书，介电常数
增大，电容增大，而电容器的电荷量不变，故板间电压减小，静电计指针张角变小，故AC错误，B正确；
D．电容器两极板都接地，两板电荷中和，最后两板之间无电势，故静电计张角变小，故D错误。
故选B。
6．如图甲、乙、丙、丁是课本内的几幅插图，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中点电荷的电场不能进入金属网罩内部
B．乙图的可变电容器的原理是改变铝片之间距离从而达到改变电容的目的
C．丙图是卡文迪许扭秤，可以测量两带电小球之间的库仑力
D．丁图中建筑物顶端的避雷针通过尖端放电，中和空气中的电荷达到避免雷击的目的
【答案】D
【详解】A．甲图中，由于静电屏蔽使得金属网罩内部场强为零，但静电屏蔽并不是把点电荷电场遮挡在
外，而是感应电荷的电场与点电荷电场抵消为零，故A错误；
B．乙图的可变电容器的原理是改变铝片之间的相对面积从而达到改变电容的目的，故B错误；
C．丙图是库仑扭秤，可以测量两带电小球之间的库仑力，故C错误；
D．丁图中建筑物顶端的避雷针通过尖端放电，中和空气中的电荷达到避免雷击的目的，故D正确。
故选D。
7．可变电容器是一种电容可以在一定范围内调节的电容器，通过改变极极间相对的有效面积或极板间距离，它的电容就相应地变化。通常在无线电接收电路中作调谐电容器用。如图所示，水平放置的两半圆形
金属极板由绝缘转轴连接，下极板固定，上极板可以绕过圆心且垂直于半圆面的轴转动，也可上下平移，
起初两极板边缘对齐，上极板通过开关S与电源正极相连，下极板接地后与电源负极相连，初始时开关S
闭合，极板间有一带电粒子P恰好处于静止状态。忽略边缘效应，关于两极板组成的电容器下列说法正确
的是（ ）
A．保持开关S闭合，若只将上极板转过30°，则电容器电容增大
B．保持开关S闭合，若只将上极板转过30°，则电容器所带电荷量不变
C．保持开关S闭合，若只将上极板转过30°，则电容器两极板连线中点处电势变小
D．断开开关S，只将板间距变为原来的二倍，则带电粒子仍处于静止状态
【答案】D
【详解】AB．保持开关S闭合，则电容器两极板的电压U保持不变，若将上极板转过30°，两极板的正对
面积减小，根据电容的定义式
S减小，C减小，Q减小，故AB错误；
C．根据电场强度与电势差的关系
可得，E不变，则电容器两极板连线中点与下极板间的电势差不变，由于下极板接地，其电势始终为零，
所以电容器两极板连线中点处电势不变，故C错误；
D．断开开关S，则电容器两极板的带电荷量不变，只将板间距变为原来的二倍，则电容器的电容变为原来
的一半，两极板的电压变为原来的二倍，所以电容器内部的电场强度不变，粒子所受电场力不变，带电粒
子仍处于静止状态，故D正确。
故选D。8．传感器是一种检测装置，能感受到被测量的信息，并能将感受到的信息，按一定规律变换成为电信号
或其他所需形式的信息输出，以满足信息的传输、处理、存储、显示、记录和控制等要求，它是实现自动
检测和自动控制的首要环节。如图所示是测定液面高度h的电容式传感器示意图，E为电源，G为灵敏电
流计，A为固定的导体芯，B为导体芯外面的一层绝缘物质，C为导电液体。已知电流从灵敏电流计左边接
线柱流进电流计，指针向左偏。如果在导电液体的深度h发生变化时观察到指针正向左偏转，则（ ）
A．导体芯A所带电荷量在增加，液体的深度h在增大
B．导体芯A所带电荷量在减小，液体的深度h在增大
C．导体芯A所带电荷量在增加，液体的深度h在减小
D．导体芯A所带电荷量在减小，液体的深度h在减小
【答案】D
【详解】电流计指针向左偏转，说明流过电流计G的电流方向由左→右，则导体芯A所带电荷量在减小，
由Q＝CU可知，导体芯A与液体形成的电容器的电容减小，根据电容的决定式 可知液体的深度h
在减小。
故选D。
9．一对平行正对的金属板C、D接入如图所示的电路中，电源电动势为E，C板固定，D板可左右平行移
动，闭合开关，一段时间后再断开开关，从C板发射一电子，恰能运动到A点后再返回，已知A到D板的
距离是板间距离的三分之一，电子质量为m，电荷量为-e，忽略电子的重力，则（ ）A．设定C板电势为0，电子在A点的电势能为
B．若要让电子能够到达D板，可将D板向左平移至A点或A点左侧某位置
C．若要让电子能够到达D板，可将D板向右平移至某位置
D．若要让电子能够到达D板，可闭合开关，再将D板向右平移至某位置
【答案】B
【详解】A．金属板的电场线由C指向D，沿着电场线电势逐渐降低，设定C板电势为0，则A点的电势为
电子在A点的电势能为
故A错误；
BCD．闭合开关，一段时间后再断开开关，则电容器的电量Q不变，根据电容的定义式和决定式有
，
联立解得
从C板发射一电子，恰能运动到A点后再返回，则有
所以若要让电子能够到达D板，可将D板向左平移至A点或A点左侧某位置，或者闭合开关，再将D板向
左平移至A点或A点左侧某位置，故B正确，CD错误
故选B。
10．如图所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动
轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点是轨迹的最右点。不计重力，下列表述正确的是（ ）
A．粒子在M点的速率最大B．粒子所受电场力的方向向右
C．粒子在电场中的加速度不变
D．粒子在电场中的电势能始终在增加
【答案】C
【详解】AB．匀强电场中，带负电的粒子所受电场力的方向与电场线的方向相反，即所受电场力的方向水
平向左，根据该带负电粒子在电场中的运动轨迹可知，从出发点到M点粒子做减速运动，而M点是轨迹
的最右点，因此可知M点的速率最小，故AB错误；
C．粒子在匀强电场中所受电场力恒定，且该粒子只受电场力作用，即电场力就是该粒子所受合外力，根
据牛顿第二定律可知，该粒子在电场中的加速度不变，故C正确；
D．显然，粒子从出发点到M点的过程中电场力做负功，而M点为粒子能够到达的最远点，此后粒子速度
方向与电场力方向的夹角小于 ，电场力做正功，即粒子在电场中的电势能先增加后减小，故D错误。
故选C。
11．如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过
N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程（ ）
A．动能增加 B．机械能增加
C．重力势能增加 D．电势能增加
【答案】B
【详解】A．小球动能增加量为
故A错误；
BC．小球在竖直方向做匀减速运动，竖直速度减为零时，设上升高度为h，有
解得则重力势能增加量为
机械能增加量为
故B正确，C错误；
D．小球在竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直速度由 v减到零
的过程，水平速度刚好由零加到2v，根据加速度定义式
可知水平方向的加速度大小为竖直方向加速度大小的2倍，根据牛顿第二定律得水平方向电场力和加速度
大小分别为2mg、2g，则水平方向位移大小为
电场力做正功，电势能减少，减少量为
故D错误。
故选B。
12．如图所示，空间有范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E，方向与水平方向夹角为45°，一质量为
m、电荷量 的带正电小球（可视为质点），从A点以初速度 竖直向上抛出，经过一段时间后运
动到B点，A、B两点在同一电场线上，重力加速度大小为g，不计空气阻力，带电小球从A点运动到B点
过程中（ ）A．用时为 B．机械能增加
C．电势能减少 D．动能增加
【答案】B
【详解】A．带电小球所受电场力为
以带电小球为对象，竖直方向有
可知竖直方向的合力为0；水平方向有
解得
可知带电小球做加速度 的类平抛运动，由A点到B点过程中，有
解得A点到B点用时为
故A错误：
D．带电小球运动到B点时的速度为
动能增量为故D错误；
BC．A点与B点的距离为
由A点到B点电场力做功为
可知电势能减少 ，机械能增量等于电场力所做的功，即机械能增加 ，故B正确，C错误。
故选B。
13．如图所示，真空圆柱形空腔上、下底面为金属导体平板，两平板距离为d，侧面为绝缘玻璃。将空腔
上、下底面分别连接于电源正、负电极（图中未画出），电源电动势为E，内阻忽略不计。空腔区域电场
可视为匀强电场。现在空腔内放置有许多导体小颗粒（以图中黑点表示），腔内导体小颗粒因反复带上
正、负电荷，在电场力的作用下，上下跳跃。设导体颗粒数目为n，且n远大于1；每个颗粒质量为m，颗
粒与上下导体极板碰撞均为完全非弹性碰撞，碰撞后瞬间沾染正、负电量大小均为q。忽略小颗粒重力的
作用，且不考虑颗粒间的碰撞。
（1）求粒子上、下运动往返一次所用时间T。
（2）电源不断给上下底面提供电荷，从而构成一个回路，求该回路等效电流I。
（3）试分析说明上述情境中电源提供的能量的转化情况。
【答案】（1） ；（2） ；（3）电源提供的电能一方面通过完全非弹性碰撞转化为内能，
另一方面通过颗粒与极板作用时电荷中和过程转化为内能
【详解】（1）粒子的加速度
由运动学公式得周期
（2）回路等效电流为
（3）电源提供的电能一方面通过完全非弹性碰撞转化为内能，另一方面通过颗粒与极板作用时电荷中和
过程转化为内能。
14．一平行板电容器长 ，宽 ，板间距 ，在板左侧有一足够长的“狭缝”带正电的
离子源，沿着两板中心平面，连续不断地向整个电容器射入同种离子，它们的比荷 ，速度均
为 ，距板右端 处有一屏，如图所示，如果在平行板电容器的两极板间接上大小可调的电压
U，且下极板的电势总是高于上极板，试求：
（1）若 ，粒子在极板间运动的时间；
（2）为了使得所有粒子均能打上光屏，电压U的最大值；
（3）若电压的调节的范围 ，求离子打在屏上的区域面积。
【答案】（1） ；（2）128V；（3）
【详解】（1）若 ，粒子在极板间做匀速直线运动，则运动的时间为
（2）水平方向上竖直方向上
联立解得
电压U的最大值为128V。
（3）当 ，竖直方向上
离子出电场后做匀速直线运动，打在极板上在竖直方向下落高度为
当 ，离子从板边缘射出
打在极板上在竖直方向下落高度为
离子打在屏上的区域面积
