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专题7.3 电容器 带电粒子在电场中的运动【讲】
【讲核心素养】
1.物理观念：电容器及电容。
观察常见电容器，了解电容器的电容，观察电容器的充、放电现象。能举例说明电容器的应用。
2.科学思维：带电粒子（带电体）在电场中的运动。
（1）.会用动力学观点和能量观点解决电场作用下的直线运动.
（2）应用带电粒子在匀强电场中的偏转规律解决问题、会分析带电粒子在重力、电场力作用下
的偏转。
3.科学态度与责任：静电现象应用与安全。
（1）.了解生产生活中关于静电的利用与防护的实例。
（2）能分析带电粒子在电场中的运动情况，能解释相关的物理现象。
【讲考点题型】
【知识点一】 平行板电容器及其动态分析问题
1．电容器
（1）带电荷量：每个极板所带电荷量的绝对值。
（2）充电和放电
①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异号电荷，电容器中储存电场能。
②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。
2．电容
（1）定义式：C＝。
（2）单位：法拉（F），常用单位还有微法（μF）、皮法（pF）。
1 F＝106 μF＝1012 pF。
（3）物理意义：表示电容器容纳电荷本领大小的物理量。
3．平行板电容器的电容
（1）影响因素：与极板正对面积、极板距离和电介质有关。
（2）决定式：C＝，k为静电力常量，ε 为电介质的相对介电常数。
r
4．两类典型问题
（1）电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变。
（2）电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变。
2．动态分析思路
（1）U不变
①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析Q的变化。
②根据E＝分析场强的变化。③根据U ＝Ed分析某点电势变化。
AB
（2）Q不变
①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析U的变化。
②根据E＝分析场强变化。
【例1】（2021·江苏·高考真题）有研究发现，某神经细胞传递信号时，离子从细胞膜一侧流到另
一侧形成跨膜电流，若将该细胞膜视为 的电容器，在 内细胞膜两侧的电势差从
变为 ，则该过程中跨膜电流的平均值为（ ）
A． B． C． D．
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【变式训练1】（2021·重庆·高考真题）电容式加速传感器常用于触发汽车安全气囊等系统，如图
所示。极板M、N组成的电容器视为平行板电容器，M固定，N可左右运动，通过测量电容器板
间的电压的变化来确定汽车的加速度。当汽车减速时，极板 M、N间的距离减小，若极板上的电
荷量不变，则该电容器（ ）
A．电容变小 B．极板间电压变大
C．极板间电场强度不变 D．极板间的电场强度变小
【方法总结】电容器动态变化的分析思路
【知识点二】带电粒子在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
（1）粒子所受合外力F ＝0，粒子静止或做匀速直线运动．
合
（2）粒子所受合外力F ≠0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动．
合
2．用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v 2＝2ad.
03．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv 2
0
非匀强电场中：W＝qU＝E －E
k2 k1
【方法总结】带电粒子在电场中运动时重力的处理
1．基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力
（但并不忽略质量）。
2．带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略
重力。
【例2】（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得
了1923年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为 d的足够大金
属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电
荷。有两个质量均为 、位于同一竖直线上的球形小油滴 A和B，在时间t内都匀速下落了距离
。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上
匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离 ，随后与A合并，形成一个球形新油滴，
继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为 ，其中k为比例系
数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离 电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【变式训练2】（2022·湖南·邵阳市第二中学高三开学考试）如图所示，匀强电场的方向与水平方
向的夹角为 。一质量为 m、电荷量为 q 的带正电小球由静止开始沿与水平方向夹角为
的直线斜向右上方做匀加速直线运动。经过时间t后，立即将电场方向沿逆时针方向旋转
60°，同时调节电场强度的大小，使带电小球沿该直线做匀减速运动。不计空气阻力，重力加速度
为g。则（ ）A．小球加速运动过程中，匀强电场的电场强度大小为
B．小球加速运动过程中的加速度大小为
C．小球减速运动过程中，匀强电场的电场强度大小为
D．改变电场后经 小球回到出发点
【技巧方法】带电粒子在电场中做直线运动的分析方法：
【知识点三】带电粒子在电场中的偏转运动
1．基本规律
设粒子带电荷量为q，质量为m，两平行金属板间的电压为U，板长为l，板间距离为d（忽略重
力影响），则有
（1）加速度：a＝＝＝。
（2）在电场中的运动时间：t＝。
（3）位移y＝at2＝。
（4）速度，v ＝，v＝，tan θ＝＝。
y
2．两个结论
（1）不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角度总是
相同的。
证明：由qU ＝mv及tan φ＝得tan φ＝。
0（2）粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，
即O到电场边缘的距离为。
3．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时，也可以从能量的角度进行求解：qU ＝mv2－mv，其中U ＝y，指
y y
初、末位置间的电势差。
【总结提升】
1．带电粒子在电场中的偏转规律
2．处理带电粒子的偏转问题的方法
（1）运动的分解法
一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直
电场力方向上的匀速直线运动．
（2）功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qU ＝mv2－mv，其中U ＝y，指初、
y y
末位置间的电势差．
【例3】（2022·新疆·三模）如图所示，有一个电荷量为 的电子，经电压 的电场从静止加速后，
进入两块间距为 、电压为 的平行金属板间，若电子从两板正中间垂直电场方向射入，且正好
沿金属板的边缘穿出，电子重力不计，求：
（1）金属板的长度 ；
（2）电子穿出电场时的动能。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念、科学思维。
【变式训练3】（2022·重庆·模拟预测）如图装置是由粒子加速器和平移器组成，平移器由两对水
平放置、间距为 的相同平行金属板构成，极板间距离和板长均为L。加速电压为 ，两对极板间偏转电压大小相等均为 ，电场方向相反。质量为m，电荷量为＋q的粒子无初速地进入加速
电场，被加速器加速后，从平移器下板边缘水平进入平移器，最终从平移器上板边缘水平离开，
不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子离开加速器时速度
B．粒子通过左侧平移器时，竖直方向位移
C． 与2L相等
D．只增加加速电压，粒子将不能从平移器离开
【方法技巧】分析带电粒子在匀强电场中的偏转问题的关键
（1）条件分析：不计重力，且带电粒子的初速度 v 与电场方向垂直，则带电粒子将在电场中只
0
受电场力作用做类平抛运动。
（2）运动分析：一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加
速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动。
【知识点四】等效重力场模型
1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运
动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，
可形象称之为“等效重力场”．
2．等效重力场的对应概念及解释3．举例
【例4】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图所示，虚线 MN下方存在着方向水平向左、
范围足够大的匀强电场。AB为绝缘光滑且固定的四分之一圆弧轨道，轨道半径为R，O为圆心，
B位于O点正下方。一质量为m、电荷量为q的带正电小球，以初速度vA竖直向下从A点沿切线
进入半圆轨道内侧，沿轨道运动到B处以速度vB射出。已知重力加速度为g，匀强电场场强大小
，空气阻力不计，下列说法正确的是（ ）
A．从A到B过程中，小球的机械能先增大后减小
B．从A到B过程中，小球对轨道的压力先减小后增大C．在A、B两点的速度大小满足vA>vB
D．从B点抛出后，小球速度的最小值为
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【变式训练4】（2022·全国·三模）如图所示，A、O、B为竖直平面内的三个点，其中A、O连线
水平且相距L，∠AOB=60°，在此空间同时还存在水平向右的匀强电场。用长为 L的绝缘细线悬
挂质量为m、电荷量为q的带正电小球于O点，把小球从A点无初速释放后，刚好能运动到B点，
取重力加速度为g。求：
（1）小球运动到B点时对细线的拉力大小；
（2）小球从A点运动到B点的过程中速度的最大值。
【方法技巧】把握三点，合理利用“等效法”解决问题
（1）把电场力和重力合成一个等效力，称为等效重力。
（2）等效重力的反向延长线与圆轨迹的交点为带电体在等效重力场中运动的最高点。
（3）类比“绳球”“杆球”模型临界值的情况进行分析解答。
【知识点五】带电粒子在电场中的力电综合问题
一、带电粒子在交变电场中的运动
1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化（如方波）
的情形．
（1）当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定了粒子的运动
情况，粒子可以做周期性的直线运动．
（2）当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分
运动具有周期性．
2．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地
判断粒子的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等．
很多时候可将――→a－t图象――→v－t图象．
3．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电
场时可认为是在匀强电场中运动．
【方法总结】带电粒子在交变电场中的运动是高考必备的核心知识点之一，因电场力出现周期性
变化，其加速度、速度等均做周期性变化，运动过程较为复杂．可借助粒子运动的 a-t图象、v-t图象描述粒子在交变电场中的运动情况，图象可直观体现物理过程，而且可以根据图象斜率、围
成面积等表示的物理意义去求解相关物理量，从而使问题的求解变得简捷．
【例5】（2022·江苏·高考真题）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形
区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为 d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方
向交替变化， 边长为 ， 边长为 ，质量为m、电荷量为 的粒子流从装置左端中点射
入电场，粒子初动能为 ，入射角为 ，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力。
（1）当 时，若粒子能从 边射出，求该粒子通过电场的时间t；
（2）当 时，若粒子从 边射出电场时与轴线 的距离小于d，求入射角 的范围；
（3）当 ，粒子在 为 范围内均匀射入电场，求从 边出射的粒子与入射粒子
的数量之比 。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【变式训练5】（2022·安徽合肥·一模）如图甲所示，水平正对放置的金属板A、B相距为d，右
端放置垂直于板的靶MN，在两板间加上如图乙所示的电压。质量为 m、电荷量为q的正粒子束
由静止经电压U加速后，从A、B左侧的中点O沿平行于板的方向连续射入，粒子能全部打在靶
MN上且所有粒子在A、B间的飞行时间均为T，不计粒子重力及粒子间的相互作用。求：
（1）粒子进入AB板间的速度；
（2）金属板长度；
（3）在距靶MN的中心O'点多远的范围内有粒子击中。【要点提炼】处理方法：将粒子的运动分解为垂直电场方向上的匀速运动和沿电场方向的变速运
动。
二、电场中的力、电综合问题
1.带电粒子在电场中的运动
（1）分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程（平衡、加速或减速，轨迹是直
线还是曲线），然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解
题。
（2）受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看
重力与其他力相比较是否能忽略。一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，
电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用。
2.用能量观点处理带电体的运动
对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理。即使都是恒力作用的问题，用能量
观点处理也常常更简捷。具体方法有：
（1）用动能定理处理
思维顺序一般为：
①弄清研究对象，明确所研究的物理过程。
②分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功。
③弄清所研究过程的始、末状态（主要指动能）。
④根据W＝ΔE 列出方程求解。
k
（2）用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理
列式的方法常有两种：
①利用初、末状态的能量相等（即E ＝E ）列方程。
1 2
②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程。
（3）两个结论
①若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。
②若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。
【方法总结】处理电场中能量问题的基本方法
在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关
系。1.应用动能定理解决问题需研究合外力的功（或总功）。
2.应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化。
3.应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。
4.有电场力做功的过程机械能一般不守恒，但机械能与电势能的总和可以不变。
【例6】如图所示，一个上表面绝缘、质量为 m =1kg 的不带电小车 A 置于光滑的水平面上，其
A
左端放置一质量为 m =0.5kg、带电量为 q=1.0×10-2C 的空盒 B，左端开口。小车上表面与水平桌
B
面相平，桌面上水平放置着一轻质弹簧，弹簧左端固定，质量为 m =0.5kg 的不带电绝缘小物块
C
C 置于桌面上 O 点并与弹簧的右端接触（不连接），此时弹簧处于原长，现用水平向左的推力
将C 缓慢从 O 点推至M 点（弹簧仍在弹性限度内）的过程中，推力做的功为 W =11 J ，撤去
F
推力后，C 沿桌面滑到小车上的空盒 B 内并与其右壁相碰，碰撞时间极短，且碰后 C 与 B 粘
在一起。在桌面右方区域有一方向向左的水平匀强电场，电场强度大小为 E=1×102 N / m ，电场
作用一段时间后突然消失，最终小车正好停止，货物刚好到达小车的最右端。已知物块 C 与桌面
间动摩擦因数μ =0.4 ，空盒 B与小车间的动摩擦因数μ =0.1，OM 间距 s =5cm，O 点离桌子边
1 2 1
沿 N点距离 s =90cm ，物块、空盒体积大小不计，g取10m / s2.求：
2
（1）物块C 与空盒B 碰后瞬间的速度 v；
（2）小车的长度L；
（3）电场作用的时间 t。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【变式训练6】（2022·河南·模拟预测）如图所示，一内壁光滑的绝缘圆管A固定在竖直平面内。
圆环的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB=2L，圆环的半径为r=
L（圆管的直径忽略不计），过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点。在虚线AB的上方
存在水平向右的、范围足够大的匀强电场；虚线AB的下方存在竖直向下的、范围足够大的匀强
电场，电场强度大小等于 。圆心O正上方的P点有一质量为m、电荷量为−q（q>0）的绝缘
小物体（视为质点），PC间距为L。现将该小物体无初速释放，经过一段时间，小物体刚好沿切
线从A点无碰撞地进入圆管内，并继续运动。重力加速度用g表示。
（1）虚线AB上方匀强电场的电场强度为多大？
（2）小物体从管口B离开后，经过一段时间的运动落到虚线AB上的N点（图中未标出N点），
则N点距离C点多远？【方法技巧】 动量、能量关系在电学中应用的题目，一般过程复杂且涉及多种性质不同的力．因
此，通过审题，抓住受力分析和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各力做功的特
点来选择相应规律求解．动能定理和能量守恒定律在处理电场中能量问题时仍是首选．
