文档内容
第 01 讲 三角函数的概念与诱导公式
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解任意角的概念和弧度 高考对此也经常以不同的方式进行考
制，能进行弧度与角度的互 查，将三角函数的定义、同角三角函
化，体会引入弧度制的必要 数关系式和诱导公式综合起来考查，
性． 且考查得较为灵活，需要深人理解概
2023年甲卷第14题，5分
（2）理解同角三角函数的基本 念、熟练运用公式．
2022年浙江卷第13题，5分
关 系 式 ，
2021年甲卷第8题，5分
．
（3）掌握诱导公式，并会简单
应用．知识点一：三角函数基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
S={β|β=k⋅360°+α，k∈Z}
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是 ．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，
就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：2、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角
的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
π 180°
1°= rad 1rad=
180°=πrad 180 π
（2）角度制和弧度制的互化： ， ， ．
1 1
l=|α|⋅r S= lr= |α|⋅r2
2 2
（3）扇形的弧长公式： ，扇形的面积公式： ．
3、任意角的三角函数
y
tanα= (x≠0)
（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，则 sinα=y ，cosα=x， x ．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P
P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设点 P
到
y x y
sinα= cosα= tanα= (x≠0)
O r r x
原点 的距离为r，则 ， ，
三角函数的性质如下表：
第一象 第二象限 第三象 第四象
三角函数 定义域
限符号 符号 限符号 限符号
sinα R ＋ ＋ － －
cosα R ＋ － － ＋
π
tanα {α|α≠kπ+ ，k∈Z} ＋ － ＋ －
2
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切
线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
三角函数线
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
知识点二：同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：
sin2α+cos2α=1．
sinα π
=tanα(α≠ +kπ)
（2）商数关系： cosα 2 ；
知识点三：三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ+α(k∈Z) π+α −α π−α −α +α
2 2
正弦 sinα −sinα −sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα −cosα cosα −cosα sinα −sinα
正切 tanα tanα −tanα −tanα
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作 ；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断 所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【解题方法总结】
sinα
=tanα
1、利用
sin2α+cos2α=1可以实现角α
的正弦、余弦的互化，利用
cosα
可以实现角α 的弦切
互化．
2、“
sinα+cosα，sinαcosα，sinα−cosα
”方程思想知一求二．
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
例1．（2023·辽宁·校联考一模）已知角 的终边上一点的坐标为 ，则 的最小正值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，而 ，
所以角 的终边上点的坐标可写为： ，
所以 ，因此 的最小正值为 .
故选：D
例2．（2023·全国·高三专题练习）下列与角 的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，B， ， 中角度和弧度混用，不正确；
对于C，因为 与 是终边相同的角，
故与角 的终边相同的角可表示为 ，C正确；
对于D， ，不妨取 ，则表示的角 与 终边不相同，D错误，
故选：C
例3．（2023·广东·高三统考学业考试）下列各角中与 角的终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】与 角的终边相同的角为 ，
当 时， ，B正确；
经验证，其他三个选项均不合要求.
故选：B
变式1．（2023·北京·高三北大附中校考阶段练习）已知角 的终边为射线 ，则下列正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为角 的终边为射线 ，所以，角 时， ，
所以，角 的集合为 ，故A选项错误；
所以， ，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误.
故选：C
【解题方法总结】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐
角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
题型二：等分角的象限问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知 是锐角，那么 是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
【答案】C
【解析】因为 是锐角,所以 ,所以 ,满足小于180°的正角.
其中D选项不包括 ，故错误.
故选：C
例5．（2023·全国·高三专题练习）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】A
【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.
∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.
∴2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角，即其终边不可能在第一、二象限.
故选A.
例6．（2023·浙江·高三专题练习）若角 满足 ＝ (k∈Z)，则 的终边一定在( )
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当 时， ，终边位于第一象限
当 时， ，终边位于第二象限
当 时， ，终边位于 轴的非正半轴上
当 时， ，终边位于第一象限
综上可知，则 的终边一定在第一象限或第二象限或 轴的非正半轴上
故选
变式2．（1990·上海·高考真题）设 角属于第二象限，且 ，则 角属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】 为第二象限角， ，
；
当 时， 为第一象限角；当 时， 为第三象限角；
为第一或第三象限角；
， ， 为第三象限角.
故选：C.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知角 的终边与 的终边重合，则 的终边不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为角 的终边与 的终边重合，
所以 ， ，所以 ， ，令 ，则 ，此时 的终边位于第二象限；
令 ，则 ，此时 的终边位于第三象限；
令 ，则 ，此时 的终边位于第四象限．
所以 的终边不可能在第一象限，
故选：A．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若角 是第一象限角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】C
【解析】因为 是第三象限角，所以 ，
所以 ，
当 为偶数时， 是第一象限角，
当 为奇数时， 是第三象限角.
故选：C．
【解题方法总结】
先从 的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2） 的象限分布图示．
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
例7．（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，
则该扇形的周长为__________.
【答案】
【解析】设扇形的半径为 ，利用扇形面积计算公式 ，
可得 ；
所以该扇形的弧长为 ，
所以周长为 .
故答案为：例8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知扇形圆心角 所对的弧长 ，则该
扇形面积为__________.
【答案】
【解析】由弧长公式可得 ，所以扇形面积为 ，
故答案为：
例9．（2023·全国·高三专题练习）在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为 ，
它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，
假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为 ，圆面剩余部分的面积为 ，当 时，扇面较为美
观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________.
【答案】
【解析】设扇子圆心角为 ，则圆面剩余部分的圆心角为 ，圆的半径为 ，
则 ， ，
因为 ，即 ，即 ，
所以 .
故答案为：
变式5．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周
四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，
径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_____平方米.
【答案】100
【解析】因为径长为20米，下周长为20米，
所以由题意中“以径乘周四而一”可知，
该扇形菜田的面积 平方米。故答案为：100.
变式6．（2023·福建厦门·高三福建省厦门第六中学校考阶段练习）若一个扇形的周长是4为定值，则当该
扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是__.
【答案】2
【解析】设扇形的圆心角弧度数为 ，半径为 ，
则 ， ，
当且仅当 ，解得 时，扇形面积最大.
此时 .
故答案为：2.
变式7．（2023·江西鹰潭·高三鹰潭一中校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为 ，半径为r，弧长为l，若
扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角 ______弧度．
【答案】 .
【解析】由题意，扇形的圆心角为 ，半径为r，弧长为l，且扇形周长为20，
可得 ，即 ，
则扇形的面积 ，
当 时，扇形面积取得最大值，此时 .
故答案为： .
【解题方法总结】
应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
题型四：三角函数定义题
例10．（2023·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知 是角 终边上的一点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数的定义可知 ，
故选：B
例11．（2023·全国·高三对口高考）如果点P在角 的终边上，且 ，则点P的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数定义知： ， ，
所以 ， ，即P的坐标是 .
故选：B
例12．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转
至 ，则点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】设射线 与 轴非负半轴所成夹角为 ，则 ， ，
射线 与 轴非负半轴所成夹角为 ，则 ，
所以 ，又 ， ，所以 .
故选：D
变式8．（2023·全国·高三专题练习）设 ，角 的终边与圆 的交点为 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画图，角 的终边与圆 的交点为 ，
设 ，则 ， ，代入得 ，
解得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵在单位圆中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D
变式9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平面直角坐标系 中，动点P，Q从点 出发在
单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，则P，Q两点
在第2019次相遇时，点P的坐标为________.
【答案】
【解析】由题意求得，P，Q两点每一秒钟相遇一次，则P，Q两点在第2019次相遇时，经过了2019秒，
求得点P转过的周数，可得点P的坐标．因为点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒
钟转 弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即 ，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两
点相遇2019次时，共用了2019秒，所以此时点P所转过的弧度为 ，由终边相同
的角的概念可知， 与 的终边相同，所以此时点P位于y轴上，故点P的坐标为 .
故答案为： .
【解题方法总结】
（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符
号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值
例13．（2023·全国·高三对口高考）若 ，则（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】C
【解析】由 ，即 为第四象限角，
所以 且 .
故选：C
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是角 终边上一点，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，则点 在第四象限，
由 ，故 .
故选：C.
例15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 是第二象限角，则点 所在的象限是
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为 是第二象限角，所以 ， ，
进而硧定 ， .
所以点 在第四象限.
故选：D
变式10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 是第二象限角，则点（ ， ）所在的象限是
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由题意知： ， ，进而得到 ， ，所以点（ ， ）位于第三象限.
故选：C
变式11．（2023·河南许昌·高三校考期末）在平面直角坐标系中，点 位于第（ ）
象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】因为 ，
，
所以点 位于第二象限.
故选：B
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是第二象限的点，则 的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵点 是第二象限的点，
∴ ， ，
由 可得， 的终边位于第二象限或第三象限或 轴的非正半轴；
由 可得， 的终边位于第一象限或第三象限，
综上所述， 的终边位于第三象限.
故选：C.
【解题方法总结】
正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．
余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．
正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．
题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的
例16．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知 是三角形的一个内角，且满足
，则 （ ）
A．2 B．1 C．3 D．
【答案】A
【解析】将 两边同时平方可得 ，即 ；
所以若 ，解得 ，这与 是三角形的一个内角矛盾，
所以 ，解得 ，此时求得 .
故选：A.
例17．（2023·山西阳泉·统考二模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，即 ，所以
.
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，
所以 .
故选：B.
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，两边平方得 ，
故 ，所以 与 导号，
又因为 ，所以 ， ，
所以 .
故选：C.
变式13．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】因为 ，
由题意可得 ，解得 ，
因此， .
故选：B.
变式14．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知 是关于 的方程
的两根，则 __________.
【答案】
【解析】由题意： ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为： .
变式15．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知 ，则 ________．
【答案】
【解析】 两边平方得：
，
解得： .
故答案为：
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ______．【答案】
【解析】已知 ①，则 ，
，
， ，则 ， ，
②，
联立①②，得 ，
，
故答案为： .
变式17．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 ________．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，
且 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为： .
变式18．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知 ，则 的值是__________．
【答案】5
【解析】因为 ，
所以，
故答案为：5.
变式19．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知 ，则 __________.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 、 .
故答案为：
变式20．（2023·全国·高三对口高考）若 ，求 的值为__________.
【答案】 /
【解析】由 可得 ，
因为 不适合 ，故 ，
所以 ，
故 ，
故答案为：
【解题方法总结】
（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函
数值．
（2）若无象限条件，一般“弦化切”．
题型七：诱导求值与变形
例19．（2023·山西阳泉·统考三模）已知 ，且 ，则 _______．
【答案】 /
【解析】因为 ，所以 ，故 ，所以 .
。
故答案为：
例20．（2023·四川绵阳·统考三模）已知 ， ，则 ______.
【答案】 /
【解析】由 得 ，
由 可得 ，故 .
故答案为：
例21．（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，
所以 在第一、二象限，
所以 .
故选：D.
变式21．（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用诱导公式可得 ，故选：B.
变式22．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
的值为 ，
故选：
变式23．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C．- D．
【答案】A
【解析】 .
故选：A.
【解题方法总结】
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任
意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3） 等可利用诱导公式把 的三角函数化
题型八：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例22．（2023·河南驻马店·统考三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 .
故选：D例23．（2023·全国·高三对口高考）若 ，求 的值.
【解析】由 可得 ，
故
.
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求 的值．
【解析】因为 ，
，
所以 ，
又 ，所以 .
故答案为： .
变式24．（2023·河南周口·高三校考期中）（1）若 ，求 的值；
（2）设 ，求 的值.
【解析】（1） ，则 ， ，
.
（2）∵，
∴ ．
变式25．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，角 的终边 与
单位圆的交点坐标为 ，射线 绕点 按逆时针方向旋转 弧度后交单位圆于点 ，点 的
纵坐标 关于 的函数为
(1)求函数 的解析式，并求 的值；
(2)若 ， ，求 的值
【解析】（1）因为点 在单位圆上，所以由三角函数的定义可得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
.
（2）由 可得 ，即 ，
由于 得 ，又 ，所以 ，
由平方关系得 ，
所以 .变式26．（2023·贵州贵阳·高三统考期中）已知角 满足
(1)若角 是第三象限角，求 的值;
(2)若 ，求 的值.
【解析】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有 ，
消去 得 ，解得 或
因为角 是第三象限角，所以 ， ，
（2） ，
当角 是第一象限角时， ，
当角 是第三象限角时， ，
【解题方法总结】
（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使
用公式进行变形．
（2）注意角的范围对三角函数符号的影响．
1．（2021•全国）已知 ，则
A．3 B． C． D．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
．
故选： ．
2．（2021•新高考Ⅰ）若 ，则A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可得：
．
故选： ．
3．（2023•甲卷）“ ”是“ ”的
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】
【解析】 ，可知 ，可得 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选： ．
