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第1讲 任意角、弧度制及三角函数的概念
复习要点 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理
解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
一 角的概念
1．角的形成
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
角的分类
3．所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋
k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
二 弧度的定义和公式
1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．公式：(1)弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度，180°＝π 弧度；
(2)弧长公式：l＝ | α | R ；
(3)扇形面积公式：S ＝lR 和S ＝ | α | R 2 .
扇形 扇形
三 任意角的三角函数
1．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝
y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
2．任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，
cos α＝，tan α＝(x≠0)．
3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常/用/结/论
1．一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．象限角3．轴线角
1．判断下列结论是否正确．
(1)锐角是第一象限角，反之亦然．()
(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是.()
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()
(4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限．()
2．下列各角中，与160°是同一象限角的是( )
A．600° B．520°
C．－140° D．－380°
解析：160°是第二象限角，600°是第三象限角，520°是第二象限角，－140°是第三象
限角，－380°是第四象限角．故选B.
答案：B
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．－400°是第四象限角
B．60°角与600°角是终边相同的角
C．钝角一定是第二象限角
D．将表的分针拨慢10 min，则分针转过的角的弧度数为
解析：对于A，－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故A正确；对于
B，因为600°≠k·360°＋60°，k∈Z，所以60°角与600°角终边不同，故B错误；对于C，因
为钝角的范围为，所以钝角是第二象限角，故C正确；对于D，分针拨慢10 min，则分针转过的角的弧度数为×2π＝，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
4．(1)已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
(2)已知角θ的终边经过点P(－12,5)，则cos θ＝________，sin θ＝________，tan θ＝
________.
解析：(1)∵α＝30°＝，l＝|α|r，∴r＝＝12，∴扇形面积S＝lr＝×2π×12＝12π.
(2)根据三角函数的定义，易知x＝－12，y＝5，r＝＝13，cos θ＝＝－，sin θ＝＝，
tan θ＝＝－.
答案：(1)12π (2)－ －
题型 任意角的概念的多维研讨
维度1 终边相同的角与象限角
典例1设角α＝－350°，α＝860°，β＝π，β＝－π.
1 2 1 2
(1)将α，α 用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
1 2
只有把大角(或负角)转化为2kπ＋α，其中0≤α＜2π时，才容易判断其所在象限．
(2)将β，β 用角度制表示出来，并 在－ 720° ～ 0° 之间找出与它们有相同终边的所有角 ．
1 2
寻找终边相同的角，应用k·360 °＋α列不等式，解出k的值，当然是最严谨的；另一
种方法即对k赋值，使其落入要求的范围．
解：(1)α＝－350°＝－π＝－＝－2π＋，
1
α＝860°＝π＝π＝4π＋π.
2
∴α 的终边在第一象限，α 的终边在第二象限．
1 2
(2)β＝π＝×180°＝108°，
1
设θ＝k·360°＋β(k∈Z)，
1
∵－720°<θ<0°，
∴ － 720°< k ·360° ＋ 108°<0° (k∈Z)．
求k的过程，采用验证法，把k＝－2，k＝－1代入验证．
∴k＝－2或k＝－1，
∴在－720°～0°之间与β 有相同终边的角是－612°和－252°.
1
同理β＝－420°，且在－720°～0°之间与β 有相同终边的角是－60°.
2 2
1．终边相同的角的集合的应用
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相
同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
2．象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是
第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相
同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
对点练1(1)设集合M＝{x，N＝{x，那么( )
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝∅
⊆
(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．
⊆
解析：(1)由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N
中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M N.
(2)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0,2π)内，终边在
⊆
直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的
角α构成的集合为.
答案：(1)B (2)
维度2 判断角的终边所在的象限
典例2(1)已知α与120°角的终边关于x轴对称，则是( )
A．第二或第四象限角
B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
(2)已知角α是第三象限角，试判断①π－α是第几象限角？②是第几象限角？③2α是
第几象限角？
(1)解析：由α与120°角的终边关于x轴对称，可得α＝k·360°－120°，k∈Z，
所以 ＝ k ·180° － 60° ， k ∈ Z ，
先思考k·180 °的位置(即x轴上)，再由此顺时针旋转60 °.
取k＝0,1可确定的终边在第二或第四象限．故选A.
(2)解：∵α是第三象限角，
∴ 2 k π ＋ π< α <2 k π ＋， k∈Z.
严谨的推理，值得学习. 即把条件转化为不等式或方程．
①∵－2kπ－<π－α<－2kπ，k∈Z.
∴π－α是第四象限角．
②∵kπ＋<0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确．故选ACD.
(2)由题设可知， ＝且 2 a ＋ 1>0 ，先计算r＝，严格定义cos θ＝，隐含条件是cos θ＞
0，这一点不能忽略！
即a>－，∴＝，
则11a2＋20a－4＝0，
解得a＝－2或a＝，又a>－，
∴a＝.故选B.
利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值； 已知角 α
的三角函数值，也可以求出角 α 终边的位置 ．
此类问题，关键是由条件转化为含参方程，并注意隐含条件的限制.
对点练4(1)(2024·重庆模拟)角α终边上有一点P(m,2)，则“cos α＝－”是“m＝－”
的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2024·山东泰安模拟)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α
＝________，tan α＝________.解析：(1)角α终边上有一点P(m,2)，cos α＝＝－<0，解得m＝－，所以“cos α＝
－”是“m＝－”的充要条件．故选C.
(2)设P(x，y)，由题设知x＝－，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，
所以sin α＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
所以cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cos α＝＝－，tan
α＝.
答案：(1)C (2)－ 或－
题型 利用三角函数的定义解三角不等式
典例5不等式sin x≥的解集为________．
解析：如图，过点作平行于x轴的直线，交单位圆于点P ，P ，则以OP ，OP 为终边
1 2 1 2
的角的正弦值为，终边落在阴影部分的角的正弦值大于，∴sin x≥的解集为{x.
解正弦不等式，区域角我们可以说：“大于取上边，小于取下边”. 如图，迅速确定
sin x＝的边界，这两条边界线所夹的上边和下边的区域，分别对应sin x≥和sin x≤的解集．
故答案为{x.
典例6不等式 cos x ≥ －的解集为 ________ .
同正弦不等式类似，解余弦不等式，“大于取右边，小于取左边”，可以迅速判断余
弦不等式的解．
解析：如图，过点作垂直于x轴的直线与单位圆交于点Q，Q，
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则以OQ ，OQ 为终边的角的余弦值为－，终边落在阴影部分的角的余弦值大于－.
1 2
∴cos x≥－的解集为{x.
故答案为{x.
对点练5函数f(x)＝＋lg(2cos x－)的定义域为________．
解析：由得
在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集，
如图中阴影部分所示，∴函数f(x)的定义域为{x.
答案：{x
