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§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的
必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反
角．角α的相反角记为 － α .
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋
k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝ | α | r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α
＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)－是第三象限角．( × )
(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cos α＝－.( √ )
(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( × )
(4)若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为.( √ )
教材改编题
1. －660°等于( )
A．－π rad B．－π rad
C．－π rad D．－π rad
答案 C
解析 －660°＝－660× rad＝－π rad.
2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．
答案 －4π
解析 某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，
即－4π.
3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________.答案 － －
解析 因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝＝.则sin α＝＝＝－，tan α＝＝－.
题型一 角及其表示
例1 (1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则( )
A．－α是第一象限角
B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上
答案 D
解析 因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误；
对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限，所以B错误；
对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，
即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α位于第一象限，所以C错误；
对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，
所以D正确．
延伸探究 若α是第一象限角，则是第几象限角？
解 因为α是第一象限角，所以k·360°<α0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
解 (1)α＝35°＝35× rad＝π rad，
扇形的弧长l＝αr＝π×8＝π(cm)．
(2)方法一 由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(00，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确．
(2)已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数a的值是( )
A．－2 B.
C．－2或 D．1
答案 B
解析 由题设可知，＝且2a＋1>0，即a>－，
∴＝，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝，又a>－，
∴a＝.
(3)若sin αtan α<0，且>0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角答案 B
解析 由sin αtan α<0，知α是第二象限或第三象限角，
由>0，知α是第一象限或第二象限角，
所以角α是第二象限角．
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函
数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标
轴上的情况．
跟踪训练3 (1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cos α的值是( )
A．－ B.
C．－ D.或－
答案 D
解析 若α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，
则cos α＝＝＝
sin α＝＝＝
所以2sin α－cos α＝
(2)sin 2cos 3tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
答案 A
解析 ∵<2<3<π<4<，∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0.
(3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sin θ＝，则实数a的值为________．
答案
解析 根据三角函数的终边上点的定义可得，r＝，
所以sin θ＝＝>0，即a>0且a2＝11，所以a＝.
课时精练
1．与－2 023°终边相同的最小正角是( )
A．137° B．133° C．57° D．43°
答案 A
解析 因为－2 023°＝－360°×6＋137°，
所以与－2 023°终边相同的最小正角是137°.2．(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P，则cos θ等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 由角θ的终边经过点P，即P，
所以cos θ＝＝－.
3．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π)．若一个半径
为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由图可知，α＝×2π＝，所以该扇形的面积S＝××12＝.
4．(2023·惠州模拟)如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ∵点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，
∴即∴角θ所在的象限是第二象限．
5．(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号
探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，
嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，
嫦娥五号距离月球表面400 千米，已知月球半径约为1 738 千米，则嫦娥五号绕月每旋转
弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)( )
A．1 069千米 B．1 119千米
C．2 138千米 D．2 238千米
答案 D
解析 嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1 738＝2 138(千米)，
所以嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为l＝αr＝×2 138≈×2 138≈2 238(千米)．
6.(2023·丽江模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型
优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6 m，内环弧长为1.2 m，径长(外环半径与内
环半径之差)为1.2 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为( )A．2.58 m2 B．2.68 m2
C．2.78 m2 D．2.88 m2
答案 D
解析 设扇形的圆心角为α，内环半径为r m，外环半径为R m，则R－r＝1.2(m)，
由题意可知，α·r＝1.2，α·R＝3.6，
所以α(R＋r)＝4.8，
所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为S＝α(R2－r2)＝α(R＋r)(R－r)
＝×4.8×1.2＝2.88(m2)．
7．(2023·安阳模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为________．
答案
解析 因为sin >0，cos <0，
所以角α的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知sin α＝cos ＝－，
故角α的最小正值为α＝2π－＝.
8.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形
的画法：先画等边△ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到
莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________．
答案 2π－2
解析 由条件可知，弧长 ＝ ＝ ＝，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝＝2，则
以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为××2＝，中间等边△ABC的面
积S＝×2×＝.
所以莱洛三角形的面积是3×－2＝2π－2.
9．已知＝－，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解 (1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
10．如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于
点A(1,0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合；
(2)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．(注：弓形是指在圆中由弦及其所对
的弧组成的图形)
解 (1)由题意知，若点B的横坐标为－，可得B的坐标为，∴sin α＝，
于是α＝＋2kπ，k∈Z，
与角α终边相同的角β的集合为.
(2)△AOB的高为1×cos ，AB＝2sin ，
故S ＝×2sin ×cos ＝sin α，
△AOB
故弓形AB的面积S＝·α·12－sin α＝(α－sin α)，α∈.
11．在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)
D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)
答案 D
解析 ∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．
12．(多选)已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是( )
A. B.
C. D.答案 AD
解析 由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x，A＋C>，即A>－B，C>－A，
所以sin A>cos B，sin C>cos A，
所以θ是第四象限角，
所以＋＋＝－1＋1－1＝－1.
14．在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌．
如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为 8.5 m，直道长为28.85 m，点O
为半圆的圆心，点N为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行，在某次短道速滑
比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的P点处成功超过所有对手，并领先到达终
点Q(终点Q为直道的中点)．若从P点滑行到Q点的距离为31.425 m，则∠PON等于( )
A. B. C．2 D.
答案 C
解析 扇形PON的弧长为31.425－×28.85＝17，故∠PON＝＝2.
15.(2023·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀
算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与
一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为 100，小正
方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin αcos α的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设直角三角形的短直角边为x，一个直角三角形的面积为＝20，
小正方形的面积为20，则边长为2.大正方形的面积为100，则边长为10.直角三角形的面积为·x(x＋2)＝20⇒x＝2.
则直角三角形的长直角边为4.故sin α＝，
cos α＝，即sin αcos α＝.
16．如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶点A
与P重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次
回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚
动了________轮，此时点A走过的路径的长度为________．
答案 3 (＋2)π
解析 正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，
顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，
又4和6的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，
所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮．
这一轮中，点A路径A→A′→A″→A是圆心角为，半径分别为2,2，2的三段弧，故路径长
l＝·(2＋2＋2)＝，
所以点A与P重合时总路径长为(＋2)π.
