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专题 01 任意角和弧度制、三角函数的概念
目录
题型一： 象限角及终边相同的角..................................................................................................2
题型二： 扇形的弧长及面积公式..................................................................................................7
题型三： 根据定义求三角函数值.................................................................................................11
题型四： 三角函数的符号.............................................................................................................12
知识点总结
知识点一、角的概念
(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个
零角．任意角包括正角、负角和零角．
(2)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的
非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在
坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角)．
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ { β | β ＝ α
＋ k ·360 ° ， k ∈ Z }．
知识点二、弧度制
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角，弧度单位用符号rad表示，
读作弧度．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数
是0.
(2)角度和弧度的换算→
(3)半径为r的圆中，圆心角为α rad的角所对的弧长公式：l＝ | α |· r ，扇形的面积公式：S＝
lr＝ | α |· r 2 .
知识点三、三角函数的概念
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝
y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号
三角函 定义域(弧度制 第一象限符 第二象限符 第三象限符 第四象限符
数 下) 号 号 号 号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
{α|α≠kπ
tan α ＋ － ＋ －
＋，k∈Z}
例题精讲
题型一：象限角及终边相同的角
【要点讲解】1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的
角.
α
2.确定nα, (n∈N*)的终边位置的方法
n
α
先用终边相同角的形式表示出角 α的范围,再写出nα或 的范围,然后根据n的可能取值讨
n
α
论确定nα或 的终边所在位置.
n【例1】（2023秋•绥化期末）已知集合 ， ，则角 的终边
落在阴影处（包括边界）的区域是
A． B．
C． D．
【解答】解：集合 ， ，表示第一象限的角，
故选： ．
【变式训练1】（2022秋•南京期末）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角 的
集合为 ， ．
【解答】解：分别与角 ， 终边相同的角为 ， ．
因此终边落在阴影区域（包括边界）的角的集合是 ，
．
故答案为： ， ．【变式训练2】（2023春•浦北县校级月考）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边
界）的角 的集合是 ， ．
【解答】解：分别与角 ， 终边相同的角为 ， ．
因此终边落在阴影区域（包括边界）的角的集合是 ，
．
故答案为： ， ．
【例2】（2022秋•荔湾区期末）已知 是第二象限角，则 可以是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解答】解：因为 是第二象限角，即 ， ；
所以 ， ；
当 为偶数时， 是第一象限角；
当 为奇数时， 是第三象限角．
故选： ．
【变式训练1】（2022秋•建华区校级期末）已知 是锐角，则
A． 是小于 的正角 B． 是第三象限角
C． 只是锐角 D． 是第一或第二象限角【解答】解：因为已知 是锐角，所以 ．故选项 符合题意，选项 不符合
题意；
所以 ，即 是第三象限角，故选项 符合题意．
所以 ，即 只是锐角．故选项 符合题意．
故选： ．
【变式训练2】（2022秋•瑶海区校级月考）若 是第四象限的角，则 是
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【解答】解：由 是第四象限的角，可得 是第一象限角，
是第四象限角．
故选： ．
【变式训练3】（2021秋•宁武县校级期末）设 是第四象限的角．
（1）试讨论 是哪个象限的角；
（2）写出 的范围；
（3）写出 的范围．
【解答】解：（1） 角 是第四象限角，即： ， ．
， ．
当 取偶数时， 是第四象限角，当 取奇数时， 是第二象限角，
故 是第二象限角或第四象限角．
（2） ， ，
， ，即 的范围为 ， ， ．
（3） ， ，
， ，即 的范围为 ， ．
【例3】（2022秋•荔湾区校级期末）若角 与角 的终边关于 轴对称，则必有A． B．
C． D．
【解答】解： 角 与角 的终边关于 轴对称，
， ，
即 ， ，
故选： ．
【变式训练1】（2023•石城县校级开学）已知角 与 的终边关于 轴对称，则 与 的
关系为
A． B．
C． D．
【解答】解： 角 与 的终边关于 轴对称，
， ，
即 ， ，
故选： ．
【变式训练2】（2022春•浦东新区校级月考） 的终边与 的终边关于直线 对称，
则 ．
【解答】解：故答案为： ．
【变式训练3】（2021春•延庆区期中）直角坐标系 中，以原点 为顶点，以 轴正半
轴为始边，那么，角 的终边与 的终边关于 轴 对称；角 的终边与 的
终边关于 对称．
【解答】解：以原点 为顶点，以 轴正半轴为始边，
角 的终边与 的和为 ，故角 的终边与 的终边关于 轴对称；
角 的终边与 的和等于 ， 角 的终边与 的终边关于直线 对称，
故答案为： 轴；直线 ．
题型二：扇形的弧长及面积公式
【要点讲解】1.求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问
题;
2.在解决弧长问题、扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
【例4】（2023春•顺庆区校级期中）在直径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 的圆心角所对的弧长为 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•湖北期中）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：根据题意：作出如下图形，，
则 为等边三角形，故 ，
则这条弦所对的圆心角为 ．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•钦南区校级期中）已知扇形的周长为4，扇形圆心角的弧度数为
2，则扇形的弧长为
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：设扇形的半径为 ，弧长为 ，则 ，
解得 ， ．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•葫芦岛月考）已知扇形的周长为9，半径为3，则扇形圆心角的
弧度数为
A．3 B．1 C． D．
【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为 ，扇形弧长为 ，周长为 ，圆的半径为 ，
由题意可得： ， ，
可得： ，
则由 ，可得： ．
故选： ．
【例5】（2023春•辽宁月考）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式： ，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，
“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如
图，已知扇形的面积为 ，扇形所在圆 的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的
近似值为
A． B． C． D．
【解答】解：设扇形的圆心角为 ，
由扇形面积公式可知 ，所以 ，
如图，取 的中点 ，连接 ，交 于点 ，
则 ．易知 ，则 ，
所以 ， ， ，
所以扇形弧长的近似值为 ．故选： ．
【变式训练1】（2023春•浙江期中）如图从半径为定值的圆形纸片 上，以 为圆心截取
一个扇形 卷成圆锥，若要使所得圆锥体积最大，那么截取扇形的圆心角大小为
A． B． C． D．
【解答】解：设扇形的半径为 ，圆心角为 ， ，则扇形的弧长为 ，
设圆锥的底面半径为 ，高为 ，则 ，
则 ，
因为 ，
则 圆 锥 体 积
当且仅当 ，即 时取等号．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•振兴区校级期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中
《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧 和弦 所围成的
图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为 ，则此弧田的面积为A． B． C． D．
【解答】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为 ，
如图所示，
过点 作 ，垂足为 ，
可得 ， ，
可得扇形的面积为 ， 的面积为 ，
所以此弧田的面积为 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•海陵区校级月考）如图，在半径为 、圆心角为 的扇形 弧
上任取一点 ，作扇形的内接矩形 ，使点 在 上，点 、 在 上，则这个
矩形面积的最大值为A． B． C． D．
【解答】解：设 ，矩形 面积为 ，
扇形 的半径为 ，圆心角为 ，
所以 ， ， ，
所以 ．
化简得： ， ，
当 ，即 时，
取最大值 ．
故选： ．
题型三：根据定义求三角函数值
【要点讲解】(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离|OP|=r,然后利用
三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离r,再
利用三角函数的定义求解,应注意分情况讨论.
【例6】（2023春•辽宁月考）已知角 的终边经过点 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，得 ．
故选： ．【变式训练1】（2022秋•汕尾期末）已知角 的终边经过点 ，且 ，则
A．8 B． C．4 D．
【解答】解： 角 的终边经过点 ，且 ，
，解得 ．
故选： ．
【变式训练2】（2022秋•揭东区期末）已知角 的终边点为 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解： 角 的终边点为 ，
．
故选： ．
【变式训练3】（2023•开封三模）设 是第二象限角， 为其终边上一点，且
，则
A． B． C． D．
【解答】解：由三角函数定义可知： ，
又 是第二象限角，
故 ，
所以 ．故选： ．
题型四：三角函数的符号
【要点讲解】已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出
角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情
况.
【例7】（2023春•深圳校级月考）已知 满足： ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由 可得 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•红花岗区期中）若 ， ，则 是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解答】解：由 ， ，
得 ， ， 是第一象限角．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•皇姑区校级期中）点 位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解： ，
，
所以点 位于第三象限．
故选： ．【变式训练3】（2023•广西模拟） 的值所在的范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
且 ，所以 ，
所以 ，
所以 的值所在的范围是 ， ．
故选： ．
【变式训练4】（2023春•天河区校级期中）已知 是第二象限角，则点 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解： 是第二象限角，
， ，
，
点 在第三象限．
故选： ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋•徐汇区校级期末）以下命题正确的是A．终边重合的两个角相等 B．小于 的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角 D．锐角是第一象限的角
【解答】解： ，当 ， 时， 与 终边重合，但两个角不相等， 错误，
， ，但它不是锐角， 错误，
， 是第二象限角，但不是钝角， 错误，
，锐角一定是第一象限角， 正确，
故选： ．
2．（2023春•浦东新区期末）下列命题中正确的是
A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角 D．小于 的角都是锐角
【解答】解：对于 ，终边相同的角可表示为 ，故 错误；
对于 ，锐角的取值范围为 ，故 正确；
对于 ，第二象限角的取值范围为 ，故 错误；
对于 ，锐角的取值范围为 ，其 ，则 ，但 不是锐角，故 错误．
故选： ．
3．（2023春•丰城市校级期中）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量
还有密位制 ，密位制的单位是密位 密位等于圆周角的 ，即
密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与
十位数字之间画一条短线，例如 3密位写成 ，123密位写成 ，设圆的半径为
1，那么 密位的圆心角所对的弧长为
A． B． C． D．
【解答】解：因为1密位等于圆周角的 ，
所以密位 的圆心角为 ，又圆的半径为1，
所以弧长 ．
故选： ．
4．（2022秋•襄城区校级期末）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，
如图是会徽的几何图形，设弧 长度是 ，弧 长度是 ，几何图形 面积为 ，
扇形 面积为 ，若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：设 ，由 ，得 ，即 ，
所以
．
故选： ．
5．（2023春•和平区校级期中）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积 的最大值为
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：设扇形的弧长为 ，半径为 ，
则 ，即 ，扇形的面积 ， ，
当且仅当 时，该扇形的面积 取到最大值25．
故选： ．
6．（2022秋•苏州期末）毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在
地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑
站距离地球南极点约 ，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转 ，昆
仑站运动的路程约为
A． B． C． D．
【解答】解：因为昆仑站距离地球南极点约 ，地球每自转 ，
所以由弧长公式得： ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．（2022秋•聊城期末）下列说法正确的是
A．在 范围内，与 角终边相同的角是
B．已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是C．不等式 的解集为
D．函数 的定义域是
【解答】解： ：与 角终边相同的角为 ， ，
令 ，则 ，故 正确；
：由已知可得圆的半径为 ，所以弧长为 ，故 正确；
：解不等式 可得： ，故 错误；
：令 ，解得 ， ，故 正确，
故选： ．
8．下列命题中正确的是
A．若角 的终边上有一点 ，则角 不是象限角
B． 和 均是第一象限角
C．若某扇形的面积为 ，半径为 ，弧长 满足 ，则该扇形圆心角
的弧度数是
D．若 ，且角 与角 的终边相同，则 的值是 或
【解答】解：对于 ，因为点 在 轴上，所以角 的终边在 轴负半轴上，所以角 不
是象限角，故 正确；
对于 ， ，因为 为第一象限角，所以 为第一象限角，由于
，因为 不是第一象限角，所以 不是第一象限角，故 错
误；对于 ，可得 ，解得 ，或 ，所以圆心角的弧度数为 ，或5，
故 错误；
对于 ，因为角 与角 的终边相同，所以 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ，2，所以 ，或 ，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．（2023春•新余期末）如图所示，已知扇形 的圆心角 为 ，半径长为6，
则阴影部分的面积是 ．
【解答】解：由图像知，记阴影部分面积为 ，扇形面积为 ，则 ，
由题意得 ， ，
所以 ，
所以阴影部分的面积为 ．
故答案为： ．
10．（2022秋•荔湾区校级期末）已知扇形的面积为 ，则该扇形的周长的最小值为
8 ．
【解答】解：设半径为 ，弧长为 ，则 ，
，扇形周长为 ，
当且仅当 ，即 ， 时，扇形周长的最小值为 ．
故答案为：8．
11．（2023•柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作
为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特
点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图
所在圆的圆心 在线段 上，若 ， ，则扇形 的面积为
．
【解答】解：如图，过点 作 ，设 所在圆的半径为 ，
则 ，在 中， ， ，
所以 ， ，
所以， ．
在 中，有 ，
，整理可得， ，
因为 ，所以 ，
所以，扇形 的面积为 ．
故答案为： ．
12．（2023春•西湖区校级月考）已知扇形的圆心角为 ，周长为12，则扇形的面积为
8 ．
【解答】解：设扇形的半径为 ，
由题意得 ，即 ，
所以扇形的面积 ．
故答案为：8．
四．解答题（共3小题）
13．（2020秋•唐山月考）如图，某游乐园的平面图呈圆心角为 的扇形 ，其两个
出入口设置在点 及点 处，且园内有一条平行于 的小路 ．已知某人从 沿 走
到 用了8分钟，从 沿 走到 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．
（1）求 的面积；
（2）求该扇形的半径 的长．
【解答】解：（1）由题意 （米 ， （米 ， ，
可得 的面积 （平方米），
所以 的面积为 平方米．
（2）设扇形的半径为 ，连结 ，
由题意 ，在 中， ，
即 ，
解得 （米 ，
则该扇形半径 的长为370米．
14．（2023 春•静安区校级期中）如图，有一块扇形草地 ，已知半径为 ，
，现要在其中圈出一块矩形场地 作为儿童乐园使用，其中点 ， 在弧
上，且线段 平行于线段 ；
（1）若点 为弧 的一个三等分点，求矩形 的面积 ；
（2）设 ，当 在何处时，矩形 的面积 最大？最大值为多少？
【解答】解：（1）如图，作 于点 ，交线段 于点 ，连接 、 ，
，
， ， ，，
，
；
（2）因为 ，
则 ， ， ，
，
，
，
即 时， ，此时 在弧 的四等分点处．
15．（2014春•泗县校级月考）在与角 终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3） 内的角．
【解答】解：
和 终边相同
其余的终边相同的角度可以写成
（1）当 时是最小的正角， ；
（2）当 时是最大的负角， ；
（3）当 ， ，0，1时， 、 、 、 符合条件．
