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§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
课标要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的
必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反
角．角α的相反角记为 － α .
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ { β | β ＝ α ＋
k ·360° ， k ∈ Z } ．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝ | α | r
扇形面积公式 S＝lr＝ | α | r 2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为 x轴的非负半轴，
建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan
α(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α
＝，tan α＝(x≠0)．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
3．若角α∈，则sin α<α0，则α是第一或第二象限角．( × )
2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ－45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
答案 C
解析 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有
C正确．
3．(必修第一册P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ等于( )
A. B．－ C. D．－答案 D
解析 |OP|＝＝13，
∴sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－.
4．(必修第一册P176T11改编)某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分
针旋转了________弧度．
答案 －4π
解析 某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了－720°，即－
4π.
题型一 角及其表示
例1 (1)(2024·宁波模拟)若α是第二象限角，则( )
A．－α是第一象限角
B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上
答案 D
解析 因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－
－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得
＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，
所以是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<
＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对
于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半
轴上，D正确．
终边所在位置
若θ分别为第一、二、三、四象限角，则的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示．
典例 已知θ为第三象限角，且＝－sin ，则角的终边在( )
A．第一或第三象限 B．第二或第四象限
C．第三象限 D．第四象限答案 D
解析 ∵θ为第三象限角，∴为第二或第四象限角，又＝－sin ，∴sin ≤0，∴角的终边在第
四象限．
(2)(2023·湖州模拟)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为______________．
答案 {α|k·360°＋30°≤α0，cos 3<0，tan 4>0，
所以sin 2·cos 3·tan 4<0.
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数
值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标
轴上的情况．
跟踪训练3 (1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 C
解析 由题意得点P(－8m，－3)，r＝，
所以cos α＝＝－，
所以m>0，解得m＝.
(2)(2023·济宁统考)若cos α·tan α<0，则角α的终边在( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
答案 C
解析 因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边在第三、四
象限．课时精练
一、单项选择题
1．给出下列四个命题，其中正确的是( )
A．－是第四象限角
B.是第二象限角
C．－400°是第一象限角
D．－315°是第一象限角
答案 D
解析 A中，－是第三象限角，故A错误；B中，＝π＋，则是第三象限角，故B错误；C
中，－400°＝－360°－40°，则－400°是第四象限角，故C错误；D中，－315°＝－360°＋
45°，则－315°是第一象限角，故D正确．
2．(2023·咸阳模拟)若坐标平面内点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 因为<5<2π，所以sin 5<0，cos 5>0，
则点P位于第二象限．
3．(2023·聊城统考)已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为sin >0，cos <0，
所以角x的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知sin x＝cos ＝－，
故角x的最小正值为2π－＝.
4．(2023·衡阳模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有
如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是( )
A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为 平方步
C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D．问题[三四]中扇形的面积为 平方步
答案 B
解析 依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120(平方步)，问题[三四]中扇形的
面积为lr＝×99×＝(平方步)．
5．将点A绕原点逆时针旋转得到点B，则点B的横坐标为( )
A．－ B．－ C．－ D.
答案 A
解析 设点A所在的终边角为θ，
则点B所在终边角为θ＋，
设点B的横坐标为x，则
x＝cos＝cos θcos －sin θsin ，
又因为cos θ＝－，sin θ＝，
所以x＝－×－×＝－.
6.在平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中
一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan αsin α，不满足；在CD上，tan α>sin α，不满足；在
EF上，sin α>0，cos α<0，tan α<0，且cos α>tan α，满足；在GH上，tan α>0，sin α<0，
cos α<0，不满足．
二、多项选择题
7．已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(
)
A．sin θ＝－
B．α为钝角
C．cos α＝－
D．点(tan θ，sin α)在第一象限
答案 ACD
解析 角θ的终边经过点(－2，－)，则sin θ＝－，A正确；
θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为
钝角，cos α＝－，B错误，C正确；
因为tan θ＝>0，sin α＝>0，
所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确．
8．(2024·长春模拟)如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点．初始时刻，质点 A在点(1,0)
处，质点B在第一象限，且∠AOB＝.质点A以 rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点B同
时以 rad/s的角速度按逆时针方向运动，则( )
A．经过1 s后，扇形AOB的面积为
B．经过2 s后，劣弧AB的长为
C．经过6 s后，质点B的坐标为
D．经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
答案 BD
解析 由题意可知，经过1 s后，∠AOB＝－＋＝，
所以此时扇形AOB的面积为α·r2＝××12＝，故A错误；
经过2 s后，∠AOB＝－2×＋2×＝，
所以此时劣弧AB的长为αr＝，故B正确；
经过6 s后，质点B转过的角度为6×＝，结合题意，此时质点B为角＋＝的终边与单位圆
的交点，所以质点B的坐标为，故C错误；
经过 s后，质点B转过的角度为×＝，质点A转过的角度为×＝－，
因为－＋＝2π，
所以经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇，故D正确．
三、填空题
9．若α＝1 560°，角θ与角α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.
答案 120°或－240°
解析 因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为k·360°＋120°，k∈Z，
令k＝－1，得θ＝－240°；令k＝0，得θ＝120°.
10．已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为________ cm2.
答案 4解析 设扇形半径为r cm，弧长为l cm，
则2r＋l＝8(00时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
综上，sin θ＋cos θ＝±.
(2)当a>0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0；
当a<0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin >0.
综上，当a>0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当a<0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
14.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心
圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所
在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角(正角)为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装
饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出
x为何值时，y取得最大值．
解 (1)由题意得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，
∴θ＝(0
