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§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
课标要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的
必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成是一条射线绕着它的________从一个位置旋转到另一个位置所形成的
图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与 α 终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为 S＝
________________________．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于____________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号
rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 α＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝____________
弧长公式 弧长l＝________
扇形面积公式 S＝________＝____________
3.任意角的三角函数
(1)定义：设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，那么sin α＝________，cos α＝
________，tan α＝________ (x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．常用结论
1．象限角
2．轴线角
3．若角α∈，则sin α<α0，则α是第一或第二象限角．( )
2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ－45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
3．已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ等于( )
A. B．－ C. D．－
4．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度.
题型一 角及其表示
例1 (1)(2024·宁波模拟)若α是第二象限角，则( )
A．－α是第一象限角B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上
终边所在位置
若θ分别为第一、二、三、四象限角，则的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示．
典例 已知θ为第三象限角，且＝－sin ，则角的终边在( )
A．第一或第三象限 B．第二或第四象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2023·湖州模拟)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为______________.
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的
终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N )的终边位置的方法
+
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
跟踪训练1 (1)(2023·临沂模拟)若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α构成的集合为_______________________．
题型二 弧度制及其应用
例2 (1)已知一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，则此扇形的弧长为________ cm，面积为
________ cm2.
延伸探究 若本例(1)条件不变，求扇形的弧所在弓形的面积．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________(2)已知扇形AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB等于________．
跟踪训练2 (1)(多选)(2023·广安模拟)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确
的有( )
A．圆的半径为2
B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A. B. C．3 D.
题型三 三角函数的概念
例3 (1)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，终边与单位
圆交于点P，则cos 2α等于( )
A．－ B．± C. D.
(2)sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
跟踪训练3 (1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
A．－ B．－
C. D.
(2)(2023·济宁统考)若cos α·tan α<0，则角α的终边在( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
