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专题 01 任意角和弧度制、三角函数的概念
目录
题型一： 象限角及终边相同的角..................................................................................................2
题型二： 扇形的弧长及面积公式..................................................................................................5
题型三： 根据定义求三角函数值..................................................................................................7
题型四： 三角函数的符号...............................................................................................................8
知识点总结
知识点一、角的概念
(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个
零角．任意角包括正角、负角和零角．
(2)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的
非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在
坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角)．
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ { β | β ＝ α
＋ k ·360 ° ， k ∈ Z }．
知识点二、弧度制
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角，弧度单位用符号rad表示，
读作弧度．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数
是0.
(2)角度和弧度的换算→
(3)半径为r的圆中，圆心角为α rad的角所对的弧长公式：l＝ | α |· r ，扇形的面积公式：S＝
lr＝ | α |· r 2 .
知识点三、三角函数的概念
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝
y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号
三角函 定义域(弧度制 第一象限符 第二象限符 第三象限符 第四象限符
数 下) 号 号 号 号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
{α|α≠kπ
tan α ＋ － ＋ －
＋，k∈Z}
例题精讲
题型一：象限角及终边相同的角
【要点讲解】1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的
角.
α
2.确定nα, (n∈N*)的终边位置的方法
n
α
先用终边相同角的形式表示出角 α的范围,再写出nα或 的范围,然后根据n的可能取值讨
n
α
论确定nα或 的终边所在位置.
n【例1】（2023秋•绥化期末）已知集合 ， ，则角 的终边
落在阴影处（包括边界）的区域是
A． B．
C． D．
【变式训练1】（2022秋•南京期末）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角 的
集合为 ．
【变式训练2】（2023春•浦北县校级月考）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边
界）的角 的集合是 ．【例2】（2022秋•荔湾区期末）已知 是第二象限角，则 可以是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【变式训练1】（2022秋•建华区校级期末）已知 是锐角，则
A． 是小于 的正角 B． 是第三象限角
C． 只是锐角 D． 是第一或第二象限角
【变式训练2】（2022秋•瑶海区校级月考）若 是第四象限的角，则 是
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【变式训练3】（2021秋•宁武县校级期末）设 是第四象限的角．
（1）试讨论 是哪个象限的角；
（2）写出 的范围；
（3）写出 的范围．
【例3】（2022秋•荔湾区校级期末）若角 与角 的终边关于 轴对称，则必有
A． B．
C． D．【变式训练1】（2023•石城县校级开学）已知角 与 的终边关于 轴对称，则 与 的
关系为
A． B．
C． D．
【变式训练2】（2022春•浦东新区校级月考） 的终边与 的终边关于直线 对称，
则 ．
【变式训练3】（2021春•延庆区期中）直角坐标系 中，以原点 为顶点，以 轴正半
轴为始边，那么，角 的终边与 的终边关于 对称；角 的终
边与 的终边关于 对称．
题型二：扇形的弧长及面积公式
【要点讲解】1.求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问
题;
2.在解决弧长问题、扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
【例4】（2023春•顺庆区校级期中）在直径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长是
A． B． C． D．
【变式训练1】（2023春•湖北期中）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为A．1 B．2 C． D．
【变式训练2】（2023春•钦南区校级期中）已知扇形的周长为4，扇形圆心角的弧度数为
2，则扇形的弧长为
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练3】（2023春•葫芦岛月考）已知扇形的周长为9，半径为3，则扇形圆心角的
弧度数为
A．3 B．1 C． D．
【例5】（2023春•辽宁月考）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形
弧长的近似计算公式： ，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，
“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如
图，已知扇形的面积为 ，扇形所在圆 的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的
近似值为
A． B． C． D．【变式训练1】（2023春•浙江期中）如图从半径为定值的圆形纸片 上，以 为圆心截取
一个扇形 卷成圆锥，若要使所得圆锥体积最大，那么截取扇形的圆心角大小为
A． B． C． D．
【变式训练2】（2023春•振兴区校级期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中
《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧 和弦 所围成的
图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为 ，则此弧田的面积为
A． B． C． D．
【变式训练3】（2023春•海陵区校级月考）如图，在半径为 、圆心角为 的扇形 弧
上任取一点 ，作扇形的内接矩形 ，使点 在 上，点 、 在 上，则这个
矩形面积的最大值为A． B． C． D．
题型三：根据定义求三角函数值
【要点讲解】(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离|OP|=r,然后利用
三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离r,再
利用三角函数的定义求解,应注意分情况讨论.
【例6】（2023春•辽宁月考）已知角 的终边经过点 ，则
A． B． C． D．
【变式训练1】（2022秋•汕尾期末）已知角 的终边经过点 ，且 ，则
A．8 B． C．4 D．
【变式训练2】（2022秋•揭东区期末）已知角 的终边点为 ，则 等于
A． B． C． D．
【变式训练3】（2023•开封三模）设 是第二象限角， 为其终边上一点，且，则
A． B． C． D．
题型四：三角函数的符号
【要点讲解】已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出
角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情
况.
【例7】（2023春•深圳校级月考）已知 满足： ，则
A． B． C． D．
【变式训练1】（2023春•红花岗区期中）若 ， ，则 是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【变式训练2】（2023春•皇姑区校级期中）点 位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练3】（2023•广西模拟） 的值所在的范围是
A． B． C． D．【变式训练4】（2023春•天河区校级期中）已知 是第二象限角，则点 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋•徐汇区校级期末）以下命题正确的是
A．终边重合的两个角相等 B．小于 的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角 D．锐角是第一象限的角
2．（2023春•浦东新区期末）下列命题中正确的是
A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角 D．小于 的角都是锐角
3．（2023春•丰城市校级期中）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量
还有密位制 ，密位制的单位是密位 密位等于圆周角的 ，即
密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与
十位数字之间画一条短线，例如 3密位写成 ，123密位写成 ，设圆的半径为
1，那么 密位的圆心角所对的弧长为
A． B． C． D．
4．（2022秋•襄城区校级期末）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，
如图是会徽的几何图形，设弧 长度是 ，弧 长度是 ，几何图形 面积为 ，扇形 面积为 ，若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023春•和平区校级期中）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积 的最大值为
A．10 B．15 C．20 D．25
6．（2022秋•苏州期末）毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在
地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑
站距离地球南极点约 ，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转 ，昆
仑站运动的路程约为
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）7．（2022秋•聊城期末）下列说法正确的是
A．在 范围内，与 角终边相同的角是
B．已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是
C．不等式 的解集为
D．函数 的定义域是
8．下列命题中正确的是
A．若角 的终边上有一点 ，则角 不是象限角
B． 和 均是第一象限角
C．若某扇形的面积为 ，半径为 ，弧长 满足 ，则该扇形圆心角
的弧度数是
D．若 ，且角 与角 的终边相同，则 的值是 或
三．填空题（共4小题）
9．（2023春•新余期末）如图所示，已知扇形 的圆心角 为 ，半径长为6，
则阴影部分的面积是 ．
10．（2022秋•荔湾区校级期末）已知扇形的面积为 ，则该扇形的周长的最小值为
．
11．（2023•柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特
点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图
所在圆的圆心 在线段 上，若 ， ，则扇形 的面积为 ．
12．（2023春•西湖区校级月考）已知扇形的圆心角为 ，周长为12，则扇形的面积为
．
四．解答题（共3小题）
13．（2020秋•唐山月考）如图，某游乐园的平面图呈圆心角为 的扇形 ，其两个
出入口设置在点 及点 处，且园内有一条平行于 的小路 ．已知某人从 沿 走
到 用了8分钟，从 沿 走到 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．
（1）求 的面积；
（2）求该扇形的半径 的长．
14．（2023 春•静安区校级期中）如图，有一块扇形草地 ，已知半径为 ，
，现要在其中圈出一块矩形场地 作为儿童乐园使用，其中点 ， 在弧
上，且线段 平行于线段 ；
（1）若点 为弧 的一个三等分点，求矩形 的面积 ；
（2）设 ，当 在何处时，矩形 的面积 最大？最大值为多少？15．（2014春•泗县校级月考）在与角 终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3） 内的角．
