文档内容
§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的
必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反
角．角α的相反角记为 .
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝
_________
____________．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表
示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝________
弧长公式 弧长l＝_______
扇形面积公式 S＝________＝_______
3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α
＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)－是第三象限角．( )
(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cos α＝－.( )
(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( )
(4)若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为.( )
教材改编题
1. －660°等于( )
A．－π rad B．－π rad
C．－π rad D．－π rad
2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．
3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________.
题型一 角及其表示
例1 (1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则( )
A．－α是第一象限角B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上
延伸探究 若α是第一象限角，则是第几象限角？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
跟踪训练1 (1)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2021·北京)若点 P(cos θ，sin θ)与点 Q 关于 y 轴对称，写出一个符合题意的 θ＝
________.
题型二 弧度制及其应用
例2 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
跟踪训练2 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环
面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(00，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函
数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标
轴上的情况．
跟踪训练3 (1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cos α的值是( )
A．－ B.
C．－ D.或－
(2)sin 2cos 3tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
(3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sin θ＝，则实数a的值为________．
