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专题 11 三角函数
【考纲要求】
1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，理解任意角三角函数的定义.
2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
3．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
4．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式．
5.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
6．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
【思维导图】
【考点总结】
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，
k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝rad；②1 rad＝°
弧长公式 l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
二、同角三角函数的基本关系及诱导公式
【思维导图】【考点总结】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan_α(α≠＋kπ，k∈Z)．
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
2kπ＋α
角 π＋α －α π－α －α ＋α
(k∈Z)
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
函数名改变，符号看象
口诀 函数名不变，符号看象限
限
三、三角恒等变换【思维导图】
【考点总结】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C ：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β．
(α－β)
C ：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__β．
(α＋β)
S ：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β．
(α＋β)
S ：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β．
(α－β)
T ：tan(α＋β)＝.
(α＋β)
T ：tan(α－β)＝.
(α－β)
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S ：sin 2α＝2sin_αcos__α．C ：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
2α 2α
T ：tan 2α＝.
2α
四、三角函数的图象与性质
【思维导图】
【考点总结】
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
{x|x∈R，且x≠kπ
定义域 R R
＋，k∈Z}
值域 [－1，1] [－1，1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
在[2kπ－π，2kπ]
在[－＋2kπ，＋2kπ]
(k∈Z)上是递增函 在(－＋kπ，＋kπ)
单调性 (k∈Z)上是递增函
数，在[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上是递增函数
数，在
(k∈Z)上是递减函数[＋2kπ，＋2kπ]
(k∈Z)上是递减函数
周期是2kπ(k∈Z且 周期是2kπ(k∈Z且 周期是kπ(k∈Z且
周期性 k≠0)，最小正周期 k≠0)，最小正周期 k≠0)，最小正周期
是2π 是2π 是π
对称轴是x＝＋ 对称轴是x＝
对称中心是(，0)
对称性 kπ(k∈Z)，对称中心 kπ(k∈Z)，对称中心
(k∈Z)
是(kπ，0)(k∈Z) 是(kπ＋，0)(k∈Z)
五、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
【思维导图】
【考点总结】
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相
(A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x － － －
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
【题型汇编】
题型一：任意角的三角函数
题型二：同角三角函数的基本关系
题型三：三角函数的诱导公式
题型四：三角函数恒等变换题型五：三角函数的图象和性质
【题型讲解】
题型一：任意角的三角函数
一、单选题
1．（2022·北京市八一中学一模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京房山·二模）已知 是第一象限角，且角 的终边关于y轴对称，则
( )
A． B． C． D．
3．（2022·山东潍坊·二模）已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点 ，
在角 的终边上，且 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
4．（2022·山西临汾·一模（文））已知 角的终边过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南·一模（文））已知 是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东济南·二模）如果角 的终边过点 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河北石家庄·一模）若角 终边经过点 ，则A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·湖北·孝昌县第一高级中学三模）已知角 的终边经过点 ．则（ ）
A． B．
C． D．
题型二：同角三角函数的基本关系
一、单选题
1．（2022·宁夏·固原一中一模（文））若 ，且 在第四象限，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁·沈阳二中二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西萍乡·三模（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东广州·三模）已知 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江西南昌·三模（文））若角 的终边不在坐标轴上，且 ，则 ( )A． B． C． D．
7．（2022·广西南宁·二模（文））若 是钝角且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型三：三角函数的诱导公式
一、单选题
1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））若 ， 为第四象限角，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文）） （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建漳州·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广西柳州·二模（理））已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若 ， （ ）
A． B． C． D．
8．（2022·贵州贵阳·二模（理））若 ， （ ）
A． B． C． D．
9．（2022·江西九江·三模（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2022·安徽马鞍山·三模（文））若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
题型四：三角函数恒等变换
一、单选题
1．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·二模）已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南商丘·三模（文））已知 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．-34．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建南平·三模）在 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·内蒙古包头·二模（理））若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖北武汉·二模）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2022·江西萍乡·二模（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2022·山西·二模（理））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））若 ， ，则 （ ）
A． B．－ C． D．－12．（2022·山西晋城·三模（理））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·海南海口·二模）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：三角函数的图象和性质
1．（2022·河北邯郸·二模）函数 在 上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陕西西安·三模（文））下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）A． B． C． D．
3．（2022·安徽淮南·二模（文））函数 的部分图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西九江·一模（理））函数 的最小正周期为 ，则 的值为
（ ）．
A．2 B．4 C．1 D．
5．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知函数 的图像如图所示，则ω的值
为（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．（2022·上海松江·二模）设函数 图像的一条对称轴方程为 ，若 、 是
函数 的两个不同的零点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在 上的函数 ，若 的最大值为 ，则 的取值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知函数 的图象如图所示.则
（ ）
A．0 B． C． D．
9．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））函数 在区间 上的所有零点之和为
（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·河南郑州·三模（文））关于函数 ，有下述四个结论：
① 的一个周期为 ； ② 的图象关于直线 对称；
③ 的一个零点为 ； ④ 在 上单调递增．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
二、多选题1．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数 图象的一条对称轴方程为 ，
与其相邻对称中心的距离为 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小正周期为
C． D．
2．（2022·湖北·荆州中学三模）已知函数 ，其中 表示不超过实数 的最大
整数，关于 有下述四个结论，其中错误的结论是（ ）
A． 的一个周期是
B． 是偶函数
C． 在区间 上单调递减
D． 的最大值大于
三、解答题
1．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））设函数
.
(1)求函数 单调递减区间；
(2)求函数 在区间 上的最值.
2．（2022·山东临沂·二模）已知函数 ， ，且 在
上的最大值为 ．
(1)求 的解析式；(2)将函数 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 ，
求 的值．
3．（2022·浙江台州·二模）设函数 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 在 上的最大值.
4．（2022·浙江·三模）已知函数 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
