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第五章 三角函数
要点一：终边相同的角
1．终边相同的角
凡是与 终边相同的角，都可以表示成 的形式.
要点诠释：
(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差 的整数倍.
特例：
终边在x轴上的角集合 ，
终边在y轴上的角集合 ，
终边在坐标轴上的角的集合 .
在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.
2．弧度和角度的换算
π
1∘=
(1)角度制与弧度制的互化：π弧度 =180∘ ， 180 弧度，1弧度
1 1
S= l r= |α|r2
l=|α|r 2 2
(2)弧长公式： (α是圆心角的弧度数)，扇形面积公式： .
要点诠释：
(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如 等等，一般地, 正角的弧度数
是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
l
|α|=
r
(2)角α的弧度数的绝对值是： ，其中， 是圆心角所对的弧长， 是半径.
要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关
系式、诱导公式：
1.三角函数定义：
角α 终边上任意一点P为 (x,y) ，设 |OP|=r 则：
y x y
sinα= ,cosα= ,tanα=
r r x
要点诠释：
三角函数的值与点 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离
,那么 , , ．
2.三角函数符号规律：
一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)；要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第
四象限余弦值为正．
3.特殊角的三角函数值
π π π
0 π 2π
6 4 3
1 √2 √3
sin 0 1 0 -1 0
2 2 2
√3 √2 1
cos 1 0 -1 0 1
2 2 2
√3
tan 0 1 √3 不存在 0 不存在 0
3
4.同角三角函数的基本关系：
要点诠释：
(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关
系式都成立；
(2) 是 的简写；
(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“ ”的选取．
5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):
sin( )=sin ，cos( )=-cos ，tan( )=-tan
sin( )=-sin ，cos( )=-cos ，tan( )=tan
sin( )=-sin ，cos( )=cos ，tan( )=-tan
sin( )=-sin ，cos( )=cos ，tan( )=-tan
sin( )=sin ，cos( )=cos ，tan( )=tan ，
sin( )=cos ，cos( )=sin
sin( )=cos ，cos( )=-sin
要点诠释：
k⋅90∘ ±α
(1)要化的角的形式为 ( 为常整数)；
(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4) ； .
要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
1.三角函数 的图象与性质：
y=sinx y=cosx
定
义 (-∞，+∞) (-∞，+∞)
域
值
[-1，1] [-1，1]
域
奇
偶 奇函数 偶函数
性
增区间 减区间
增区间 减区间
单
调
性
周
期 最小正周期 最小正周期
性
最 当 时， 当 时，
值
当 时，
当 时，
对称轴 对称中心
对 对称中心 对称轴
称
性
y=cosx的图象是由y=sinx的图象左移 得到的.
2．三角函数 的图象与性质：
y=tanx
定义
域
值域 R
奇偶
奇函数
性
单调
性
增区间
周期
性
最值 无最大值和最小值
对称
性
对称中心要点四：函数 的图象与性质
1．“五点法”作简图
用“五点法”作 的简图，主要是通过变量代换，设 ，由 z 取
来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
要点诠释：
y Asin(x)
用“五点法”作 图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为 .
2． 的性质
(1)三角函数的值域问题
三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方法有：化为代数函
数的值域或化为关于 的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上
的值域.
(2)三角函数的单调性
函数
y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)
的单调区间的确定，基本思想是把
ωx+ϕ
看作一个整体，比如：
π π
2kπ− ≤ωx+ϕ≤2kπ+ (k∈Z)
由 2 2 解 出 x的 范 围 所 得 区 间 即 为 增 区 间 ， 由
π 3π
2kπ+ ≤ωx+ϕ≤2kπ+ (k∈Z)
2 2 解出x的范围，所得区间即为减区间；
要点诠释：
（1）注意复合函数的解题思想；
（2）比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在转化为属于同一单调区间上的两个同名函
数值，再利用单调性比较.
3．确定 的解析式的步骤
①首先确定振幅和周期，从而得到 ；
②确定 值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点 作为突破口，要注意从图象的升降情况
找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点.
要点五：正弦型函数 的图象变换方法
先平移后伸缩向左(>0)或向右(0)
平移个单位长度
的图象
横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的 (纵坐标不变)
的图象
纵坐标伸长(A1)或缩短(00,cosA<0,sinA−cosA>0.
249 7
(sinA−cosA) 2 =1−2sinAcosA= ,∴sinA−cosA= .
25 5
又
{ 1 { 4
sinA+ cosA=
¿¿¿¿
sinA=
¿¿¿¿
5 5
由 得
4
∴tanA=− .
3
sinA+cosA= 1 cos2A= (1 −sinA ) 2 ,
5 5
方法二：由 可得
1−sin2A= (1 −sinA ) 2 ,
5 25sin2A−5sinA−12=0,
即 整理得
(5sinA−4)(5sinA+3)=0,
即
4 3 3
∴sinA= sinA=− sinA=−
5 或 5 ，由已知0
