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考点 29 三角函数的图象与性质
【命题解读】
三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，
先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、
周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.
【基础知识回顾】
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定
义 R R
域
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶
奇函数 偶函数 奇函数
性
在[2kπ－π，
2kπ](k∈Z)上是
单 在(k∈Z)上是递增函
递增函数，在
调 数，在(k∈Z)上是递减 在(k∈Z)上是递增函数
[2kπ，2kπ＋π]
性 函数
(k∈Z)上是递减
函数
周 期 是
周 周 期 是 2kπ(k∈ Z 且
2kπ(k∈ Z 且 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小
期 k≠0)，最小正周期是
k≠0)，最小正 正周期是π
性 2π
周期是2π对称轴是 x＝
对 对 称 轴 是 x ＝ ＋
kπ(k∈Z)，对称 对称中心是
称 kπ(k∈Z)，对称中心是
中心是 (k∈Z)
性 (kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
1、函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以
故函数的定义域为 ，选D。
2、下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
【答案】B
【解析】函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.
3、（安徽省淮南市2019届高三模拟） 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则ω等于( )
A. B.
C．2 D．3【答案】B
【解析】因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，
y＝sin ωx是减函数．由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，所以ω＝。
4、下列关于函数 的说法正确的是
A．在区间 上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于 成中心对称
D．图象关于直线 成轴对称
【答案】 ．
【解析】令 ，解得 ， ，显然 满足上述关系式，
故 正确；易知该函数的最小正周期为 ，故 正确；
令 ，解得 ， ，任取 值不能得到 ，故 错误；
正切函数曲线没有对称轴，因此函数 的图象也没有对称轴，故 错误．
5、 函数y＝cos的单调减区间为______________．
【答案】：(k∈Z)
【解析】：由y＝cos＝cos得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
6、 函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________________．
【答案】：，k∈Z
【解析】：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z．考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝的定义域为
(2)函数y＝＋lg(2sinx－1)的定义域为
．
【答案】（1）．（2）(k∈Z)
【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出上y＝sinx和y＝cosx
的图象，
如图所示．在内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，∴原函数的定义域
为.
(2)由题意得根据图象解得＋2kπ≤x＜＋2kπ，
即定义域为(k∈Z)．
变式1、 (1)函数y＝的定义域为________.
(2)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.
【答案】（(1)(2)
【解析】 (1)要使函数有意义，必须有
即
故函数的定义域为.
(2)函数有意义，则即
解得
所以2kπ<x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函数的定义域为.
变式2、函数y＝的定义域为________．
【答案】
【解析】法一：要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0.利 用图象，在同
一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x
为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
法二：sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π
＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．所以定义域为.方法总结：三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单
的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
考向二 三角函数的值域(最值)
例2、（1）[2017·全国Ⅱ高考]函数f＝sin2x＋cosx－(x∈)的最大值是____．
(2)函数y＝的值域为_ __．
(3)函数f(x)＝cos2x＋6cos(－x)的最大值为____．
【答案】（1）1；（2）[，＋∞)．（3）5
【解析】（1）f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－cos2x＋cosx＋＝－2＋1，由自变量的范围：x∈可得：cosx∈[0，
1]，当cosx＝时，函数f(x)取得最大值1.
(2)∵y＝＝1－，∴当sinx＝－1时，
y ＝1＋＝，∴值域为[，＋∞)．
min
(3) ∵f(x)＝cos2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sinx＝－22＋，
∴当sinx＝1时函数的最大值为5.
变式1、(1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．
(2)设x∈，则函数y＝的最大值为________．
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为___________________________________．
【答案】 (1) (2) (3)
【解析】 (1)当x∈时，2x－∈，
∴sin∈，
故3sin∈，
∴函数f(x)在区间上的值域为.
(2)因为x∈，所以tan x＞0，y＝＝＝＝≤＝，
当且仅当3tan x＝时等号成立，故最大值为.
(3)设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，y ＝1；当t＝－时，y ＝－－.
max min
∴函数的值域为.
变式2、函数 的最大值为________，最小值为________．
【答案】
【解析】：(1)由 ，得 .
∴－3≤x＜－或0＜x＜．
∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪．
(2)令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈．
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，∴当t＝时，y ＝，当t＝－时，y ＝．
max min
∴函数 的最大值为，最小值为．
方法总结：求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求
值域(最值)
考向三 三角函数的单调性
例3、写出下列函数的单调区间：(1)y＝sin；(2)y＝|tan x|．
【解析】：(1)y＝sin＝－sin，
它的递增区间是y＝sin的递减区间，
它的递减区间是y＝sin的递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z．
故所给函数的递减区间为，k∈Z；
递增区间为，k∈Z．
(2)观察图象(图略)可知，y＝|tan x|的递增区间是，k∈Z，
递减区间是，k∈Z．
变式1：已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是____________．
【答案】：
【解析】：由＜x＜π，ω＞0得，＋＜ωx＋＜ωπ＋，又y＝sin x在上递减，
所以 ，解得≤ω≤．
变式2：函数y＝cos的单调递增区间为_______________．
【答案】：(k∈Z)
【解析】：函数y＝cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z．
由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z．
方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝
sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它
们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
例4、（1） 函数y＝－2cos2＋1是________．
①最小正周期为π的奇函数； ②最小正周期为π的偶函数；
③最小正周期为的奇函数； ④最小正周期为的非奇非偶函数．
（2）当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f满足________．
①是奇函数且图象关于点对称； ②是偶函数且图象关于点(π，0)对称；
③是奇函数且图象关于直线x＝对称； ④是偶函数且图象关于直线x＝π对称．
（3） 函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________．
【答案】：（1）①（2）③ （3）kπ＋(k∈Z)
【解析】：（1）因为y＝－cos＝sin 2x，所以是最小正周期为π的奇函数．
（2）∵当x＝时，函数f(x)取得最小值，
∴sin＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
∴f(x)＝sin＝sin．
∴y＝f＝sin(－x)＝－sin x．
∴y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称．
（3）由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故φ＝kπ＋(k∈Z)．
变式1、(1)若函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)为偶函数，则φ的值为____．
(2)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为____．
【答案】（1）.（2）2
【解析】 (1)由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，∴f(0)＝3sin＝±3，
∴φ－＝kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ＝.
(2)由题意知π＋＝kπ＋(k∈Z)，∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ω ＝2.
min
变式2、下列函数，最小正周期为 的偶函数有
A． B． C． D．
【答案】 ．
【解析】：函数 的最小正周期为 ，且该函数为奇函数，故排除 ；
函数 的最小正周期为 ，且该函数为偶函数，故 满足条件；
函数 的最小正周期为 ，且该函数为偶函数，故 不满足条件，故排除 ；函数 的最小正周期为 ，且该函数为偶函数，故 满足条件，
方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；
如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通
过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acosωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归
的思想．
sinxx
1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=cosxx2 在 的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称，
排除A．又 ，排除B，C，故选D．
2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ ， ）单调递增
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】 为偶函数，故①正确．
当 时， ，它在区间 单调递减，故②错误．
当 时， ，它有两个零点： ；当 时，
，它有一个零点： ，故 在 有 个零点： ，故③错误．
当 时 ， ； 当 时 ，
，又 为偶函数， 的最大值为 ，故④正确．
综上所述，①④正确，故选C．
3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】作出因为 的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；
因为 ，周期为 ，排除C；作出 图象如图2，由图象知，其周期为 ，在区间( ， )单调递增，A正确；
作出 的图象如图3，由图象知，其周期为 ，在区间( ， )单调递减，排除B，
故选A．
图1
图2
图3
4、【2018年高考全国卷II理数】若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】因为 ，
所以由 得 ，
因此 ，从而 的最大值为 ，
故选A.
5、【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】
【解析】函数 ，周期为 .
6、【2020年高考全国III卷理数】.关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
7、【2018年高考全国Ⅲ理数】函数 在 的零点个数为________．
【答案】
【解析】 ， ，由题可知 ，或 ，
解得 ，或 ，故有3个零点.
