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考点 29 三角函数的图象与性质
【命题解读】
三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，
先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、
周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.
【基础知识回顾】
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定
义 R R
域
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶
奇函数 偶函数 奇函数
性
在[2kπ－π，
2kπ](k∈Z)上是
单 在(k∈Z)上是递增函
递增函数，在
调 数，在(k∈Z)上是递减 在(k∈Z)上是递增函数
[2kπ，2kπ＋π]
性 函数
(k∈Z)上是递减
函数
周 期 是
周 周 期 是 2kπ(k∈ Z 且
2kπ(k∈ Z 且 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小
期 k≠0)，最小正周期是
k≠0)，最小正 正周期是π
性 2π
周期是2π对称轴是 x＝
对 对 称 轴 是 x ＝ ＋
kπ(k∈Z)，对称 对称中心是
称 kπ(k∈Z)，对称中心是
中心是 (k∈Z)
性 (kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
1、函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以
故函数的定义域为 ，选D。
2、下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
【答案】B
【解析】函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.
3、（安徽省淮南市2019届高三模拟） 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则ω等于( )
A. B.
C．2 D．3【答案】B
【解析】因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，
y＝sin ωx是减函数．由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，所以ω＝。
4、下列关于函数 的说法正确的是
A．在区间 上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于 成中心对称
D．图象关于直线 成轴对称
【答案】 ．
【解析】令 ，解得 ， ，显然 满足上述关系式，
故 正确；易知该函数的最小正周期为 ，故 正确；
令 ，解得 ， ，任取 值不能得到 ，故 错误；
正切函数曲线没有对称轴，因此函数 的图象也没有对称轴，故 错误．
5、 函数y＝cos的单调减区间为______________．
【答案】：(k∈Z)
【解析】：由y＝cos＝cos得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
6、 函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________________．
【答案】：，k∈Z
【解析】：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z．考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝的定义域为
(2)函数y＝＋lg(2sinx－1)的定义域为
．
【答案】（1）．（2）(k∈Z)
【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出上y＝sinx和y＝cosx
的图象，
如图所示．在内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，∴原函数的定义域
为.
(2)由题意得根据图象解得＋2kπ≤x＜＋2kπ，
即定义域为(k∈Z)．
变式1、 (1)函数y＝的定义域为________.
(2)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.
【答案】（(1)(2)
【解析】 (1)要使函数有意义，必须有
即
故函数的定义域为.
(2)函数有意义，则即
解得
所以2kπ
