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微专题01 平面向量
【秒杀总结】
结论1：极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ， ，则 ，
（1）
（2）
（1）（2）两式相加得：
2、极化恒等式：
上面两式相减，得： ————极化恒等式
（1）平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的 ．
（2）三角形模式： （M为BD的中点）
结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．
已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明： ．
【证明】（坐标法）设 ，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，
则 ，设 ，则结论3：三点共线的充要条件
设 、 、 是三个不共线向量，则A、B、P共线 存在 使 ．
特别地，当P为线段AB的中点时， ．
结论4：等和线
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然．
（二）等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线 上或者在平行
于 的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线 以及与直线 平行的直线称为等和
线．
（1）当等和线恰为直线 时， ；
（2）当等和线在 点和直线 之间时， ；
（3）当直线 在点 和等和线之间时， ；
（4）当等和线过 点时， ；
（5）若两等和线关于 点对称，则定值 互为相反数；
B
1
B
P
Q l
O
A A
1
结论5：奔驰定理
【奔驰定理】若O为 内任一点，且 ，则【典型例题】
例1．在 中， 是 的中点， ，则 ____．
【答案】-16
【解析】因为 是 的中点，由极化恒等式得：
．
例2．正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】取AB的中点D，连结CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O
在CD上，且 ，所以 ， （也可用正弦定理求AB）
又由极化恒等式得：
因为P在圆O上，所以当P在点C处时，
当P在CO的延长线与圆O的交点处时，
所以
例3．已知圆 与 ，定点 ，A、B分别在圆 和圆 上，满足
，则线段AB的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以 为邻边作矩形 ，则
由 得 ，即 ，的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
，
．
例4．在平面内，已知 ， ， ，若 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以四边形 是平行四边形，
又 ，所以四边形 是矩形，从而
，
因为 ，所以 ，即
例5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若 ，则 （ ）
． B． C． D．
A
【答案】B
【解析】 ，又 ， ．
例6．给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 ，点 在以 为圆心的圆弧 上
变动．若 ，其中 ，则 的最大值是__________．
【答案】2
【解析】（秒杀）作平行于AB的直线l，当且仅当l与圆相切时， 的取最大值2．
令 ，则由
得 ．
由 三点共线可得
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京西城·高三统考期末）在 中， ．P为 边上的动点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立直角坐标系，
则 ，直线 所在直线方程为 ，
设 ， ，则 ， ，
，当 时， ，当 时， ，
故其取值范围为 ，
故选：B.
2．（2023·北京昌平·高三统考期末）已知向量 满足 ，则
的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】把 平移到共起点，以 的起点为原点， 所在的直线为 轴， 的方向为 轴的正方向，见下
图，设 ，则
又 则点 的轨迹为以 为直径的圆，又因为 所以
故以 为直径的圆为 ，所以 的最大值就是以 为直径的圆上的点到
原点距离的最大值，所以最大值为
故选：C
3．（2023·广西桂林·统考一模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且
，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点， ， ，则
的最小值为（ ）A． B．1 C． D．4
【答案】B
【解析】由于M为线段BC的中点，则
又 ，所以 ，又 ，
所以 ，则
因为 三点共线，则 ，化得
由
当且仅当 时，即 时，等号成立， 的最小值为1
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在半径为4的扇形 中， ，点 是 上的一点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，如图，以 所在的直线为 轴，以 的垂线为 轴，建立平面直角
坐标系.则由已知可得， ， ， ，
根据三角函数的定义知 ， .
则 ， ，
所以， ，
因为， ，所以 .
则，当 ，即 时，该式子有最小值为-8.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）在平面内，定点 满足 ，
，动点P，M满足 ， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 ，即点 到 三点的距离相等，可得 为 的外心，
又由 ，
可得 ，所以 ，
同理可得 ，所以 为 的垂心，
所以 的外心与垂心重合，所以 为正三角形，且 为 的中心，
因为 ，解得 ，
所以 为边长为 的正三角形，
如图所示，以 为原点建立直角坐标系，则 ，
因为 ，可得设 ，其中 ，
又因为 ，即 为 的中点，可得 ，所以 .
即 的最大值为 .
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习） 中， ，O是 外接圆圆心，是
的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】过点O作 ，垂足分别为D，E，如图，因O是 外接圆圆心，则D，E分
别为AC， 的中点，
在 中， ，则 ，即 ，
，同理 ，
因此，
，
由正弦定理得： ，当且仅当 时取“=”，所以 的最大值为3.
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦， ，若点P为⊙C上一
动点，则 的取值范围是（ ）
A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]
【答案】D
【解析】取AB中点为Q，连接PQ
，
，
又 ，
，
∵点P为⊙C上一动点，
∴
的取值范围[－8，72].
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）在 中，D为三角形所在平面内一点，且 ，则
（
）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】如图，设AD交BC于E，且 ，由B,E,C三点共线可得：
，∴ ，
∴ .
设 ，则 ，∴ .
又 ，∴ ，∴ .
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， 满足 ， 在 方向上的投影为2，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， 向量的夹角为 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 .
不妨设 ， ，设 ，
则 ，整理得 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，记圆心为 ，
又 ，即 ，
当直线 过圆心 ，且垂直于 轴时， 可取得最小值，即 .故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为2的菱形 中，点 为 上一动点，点 满足
， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知： ，设
以 与 交点为原点， 为 轴， 为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
， ，设
则 ，当 时，
本题正确选项：
11．（2023·全国·高三专题练习） 是 所在平面上的一点,满足 ,若 ,则
的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，且方向相同．
∴ ，
∴ ．选A．
12．（2023·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切
的圆上．若 = + ，则 + 的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
【答案】A
【解析】[方法一]：特殊值法
,故选A
[方法二]：解析法
如图所示，建立平面直角坐标系.设 ,
易得圆的半径 ，即圆C的方程是 ，
，若满足 ，
则 ， ，所以 ，
设 ，即 ，点 在圆 上，
所以圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值是3，即 的最大值是3，故选A.
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中， ， ，O为△ABC内的一点，设
，则下列说法正确的是（ ）
A．若O为△ABC的重心，则 B．若O为△ABC的内心，则
C．若O为△ABC的外心，则 D．若O为△ABC的垂心，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，重心为中线交点，则 ，即 ，
因为 ，
则 ，
所以 ， ，所以 ，故A正确；
对于B选项，内心为角平分线交点，则 ，
即 ，所以 ，
由A选项，则 ， ，
所以 ，故B错误；
对于C选项，外心为垂直平分线交点，即 的外接圆圆心，
因为 ，设 为边 的中点，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，则 ，
，
所以 ，易知 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
对于D选项，垂心为高线交点，设 ，垂足为边 上点 ，则 ， ， 共线，
由C选项，因为 ， ，
所以 ，
因为 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故D正确；
故选：ACD
14．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， 是互不相等的非零向量，其中 ， 是互相垂直的单位向量，
，记 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B．若 ，则 的最大值为2
C．若 ，则 的最大值为
D．若 ，则 的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A选项，如图，若 ，则 ，所以 ，又 ，所以
，所以O，A，B，C四点在同一个圆上，故A正确；
对于B选项，若 ，由A选项知，O，A，B，C四点在同一个圆上，
又 ，则其长度为圆上弦的长度.当线段 为该圆的直径时， 最大，且最大值等于
，故B错误；
对于C选项，由题可得A，B，C均在以 为圆心、1为半径的圆上，
设 ，又 ，则
.其中 .
则，
当 时取等号.故C错误.
对于D选项，由C选项分析结合 可知 .
又 ，则
，
则由重要不等式有： .
得 ，当且仅当 时取等号.故D正确.
故选：AD
15．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知
O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为 ， ， ，且 ．
设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（
）
A．若 ，则
B．若 ， ， ，则
C．若O为△ABC的内心， ，则
D．若O为△ABC的垂心， ，则
【答案】ACD
【解析】对A，由奔驰定理可得， ，又 不共线，故 ，A对；
对B， ，由 得 ，故 ，B
错；
对C，若O为△ABC的内心， ，则 ，又
（ 为内切圆半径），三边满足勾股定律，故 ，C对；
对D，若O为△ABC的垂心，则 ， ，
又 ，
同理 ，∴ ，
∵ ，则 ，
且
如图， 分别为垂足，
设 ， ，则 ，
又 ，故 ，
由 ，解得 ，
由 ，故 ，D对故选：ACD
16．（2023·全国·高三专题练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已
成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐
步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人
曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其
中 ，动点P在 上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧 于点Q，且
，则下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
【答案】ABD
【解析】如图，作 ,分别以 为x,y轴建立平面直角坐标系，
则 ,
设 ，则 ,
由 可得 ，且 ，
若 ，则 ，
解得 ，（负值舍去），故 ，A正确；
若 ，则 ， ，故B正确；，
由于 ，故 ，故 ，故C错误；
由于 ，
故
，而 ，
故 ，故D正确，
故选：ABD
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆О是边长为 的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切
于点D，点M为圆上任意一点， （ ， ），则 可以取值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】CD
【解析】根据三角形面积公式得到 ，可得到内切圆的半径为1；
以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
可得到点的坐标为： ， ， ， ， ，
， ， ，
∵∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
，
故选项CD满足.
故选：CD.
18．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是
内的一点， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则 .若
是锐角 内的一点， 、 、 是 的三个内角，且点 满足
，则（ ）
A． 为 的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】A项： ，即 ，
， ， ，
同理可得 ， ，
故 为 的垂心，A正确；
B：如图，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ， ，
则
，B正确；
C项：在 中，由正弦定理易知 ，
因为 ， ，
所以 ，
即 ， ，
同理可得 ，
故 ，C错误；
D项： ，同理可得 ， ，
则
，
同理可得 ， ，
因为 ，
所以将 、 、 代入，可得 ，
因为 ，所以 ，
故 成立，D正确，
故选：ABD.
三、填空题
19．（2023·全国·高三专题练习）在 中，点 分别是线段 的中点，点 在直线 上，
若 的面积为2，则 的最小值是_____________.
【答案】
【解析】如图，取BC中点为M，做 ，
则 ，又 ，
，则 ，
得 .
注意到 ，
则 .又由图可得 ，
则 ，
当且仅当 ，且 ，即 时取等号.
故答案为：
20．（2023·四川南充·统考一模）已知向量 与 夹角为锐角，且 ，任意 ， 的最小值为 ，若向量 满足 ，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】设向量 与 的夹角为 ， ，则 ，
，
所以当 时， 取得最小值为 ，
即 ，
所以 .
如图所示，设 ，三角形 是等边三角形，
设 是 的中点，则 ，
由于 ，所以 ，
所以 点的轨迹是以 为直径的圆，圆的半径为 ，
根据圆的几何性质可知， 即 的取值范围为 .
故答案为：
21．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知圆 半径为 是圆 上不重合的点， 则
的最小值为_____.
【答案】
【解析】取 中点C，劣弧AB的中点D，，
显然，P为劣弧AB的中点D时， 最小，
记 ，由垂径定理可得： ，即 ，
则 ，
当 时， 取最小值，最小值为 .
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足 ，若 ，则
的最小值是_____________．
【答案】
【解析】设 ，由 ，根据三角不等式，有
，
得 ，
故
.
故答案为： .
23．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： 与 的夹角为
，记 是 的最大值，则 的最小值是__________．【答案】
【解析】如图，
设 为AB中点，令 ，
则 ①，
因为 ，
故有 ，
②，
由①②得 ，从而 ，
因为 ，所以 ，即点C在以AB为直径的圆E上.
，
，
当且仅当 时，即 时等号成立.
故答案为：
24．（2023·全国·高三专题练习）点M在△ABC内部，满足 ，则
____________．
【答案】
【解析】如图，分别延长 至 至 至 ，使 ， ，连接.
由 ，得 ，
∴点 是 的重心，
延长EM交DF于G，则MG＝ EG，
过M作MH⊥DF于H，过E作EI⊥DF与I，则MH＝ EI，
故 ，同理可证 ，
∴ ，
设 ，
设 ，
则
，
同理 ，
∴ ： .
故答案为：3:4.
