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第五章 万有引力与宇宙航行
第 02 练 人造卫星 宇宙速度
知识目标 知识点
目标一 宇宙速度的理解和计算
目标二 卫星运行参量的比较与运算
目标三 航天器的变轨问题
1． (2022·全国·其他类型)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A. 地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B. 人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C. 月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D. 地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
【答案】D
【知识点】不考虑自转时星球表面重力加速度、天体质量和密度的计算
GMm
【解析】解：A、根据万有引力等于重力 =mg，可以计算出地球的质量，A正确；
r2
2πr GMm m4π2r
B、根据v= 可计算出卫星的轨道半径r，万有引力提供向心力，则 = 可求出地球
T r2 T2
质量，B正确；
GMm m4π2r
C、根据 = 可求出地球的质量，C正确；
r2 T2
GMm m4π2r
D、可根据则 = 计算出太阳的质量，但无法计算地球的质量，D错误．
r2 T2
本题问的是不能计算出地球质量的是，所以选D．
故选：D．
2．(2022·上海市市辖区·期中考试)已知地球半径为R，第一宇宙速度v ；地球同步卫星距地面的高
1
度为h，它的飞行速度为v 。则v 与v 大小的比值为：
2 1 2
√ R √R+h ( R ) 2 (R+h) 2
A. B. C. D.
R+h R R+h R
【答案】B
【知识点】卫星的运行规律、同步卫星与近地卫星、第一宇宙速度【解析】
Mm
v2
第一宇宙速度是沿地球表面运行的卫星的速度，由万有引力提供向心力得：G =m 1
R2 R
解得v =
√GM
，地球同步卫星围绕地球运转，则有：G
Mm
=m
v
2
2
1 R (R+h) 2 R+h
解得v = √ GM 所以v 与v 大小的比值为： v 1= √R+h ，故B正确，ACD错误。
2 R+h 1 2 v R
2
故选B。
3．(2022·上海市·历年真题)木卫一和木卫二都绕木星做匀速圆周运动。它们的周期分别为
42h46min和85h22min，它们的轨道半径分别为R 和R ，线速度分别为v 和v ，则( )
1 2 1 2
A. R R ，v R ，v >v D. R v
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【知识点】卫星运行规律及应用
GMm 4π2 mv2
【解析】解：根据万有引力提供向心力可得： =m R=
R2 T2 R
√4π2R3 √GM
解得：T= ，v=
GM R
根据题目可知，木卫一的周期小于木卫二的周期，则R v 。
1 2 1 2
故D正确，ABC错误。；
故选：D。
根据万有引力公式结合周期的大小关系先得出半径的大小关系，再结合线速度的表达式分析出线速
度的大小关系。
4．(2021·北京市·历年真题)2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上
第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，
近火点距离火星表面2.8×102km、远火点距离火星表面5.9×105km，则“天问一号”
A. 在近火点的运行速度比远火点的小
B. 在近火点的加速度比远火点的小
C. 在近火点的机械能比远火点的小
D. 在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
【答案】D
【知识点】卫星的变轨问题、卫星的运行规律、开普勒第一定律和第二定律
【解析】
A.根据开普勒第二定律知“天问一号”在近火点的运行速度比远火点的大，故A错误；
B.设火星的质量为M，“天问一号”的质量为m，到火星中心的距离为r，根据牛顿第二定律得Mm GM
G =ma，得a= ，
r2 r2
所以“天问一号”在近火点的加速度比远火点的大，故B错误；
C.“天问一号”在火星停泊轨道运行时，只有万有引力做功，其机械能守恒，故C错误；
D.“天问一号”在近火点时其所需向心力大于万有引力，在此处减速使所需要的向心力减小，而火
星对它的万有引力不变，当万有引力大于向心力，则“天问一号”做近心运动，当万有引力恰好等
于绕火星做圆周运动所需向心力时，就实现了绕火星做圆周运动，故D正确。
故选：D。
5．(2020·全国·其他类型)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆
轨道绕其运动的卫星的周期是( )
√3π √4π √ 1 √ 1
A. B. C. D.
Gρ Gρ 3πGρ 4πGρ
【答案】A
【知识点】天体质量和密度的计算
【解析】
设星球的质量为M，半径为R，卫星的质量为m，运行周期为T，在该星体表面附近沿圆轨道绕其
Mm 4π2
运动的卫星所需的向心力由星球对其的万有引力提供，则根据牛顿第二定律得：G =m R
R2 T2
①
M
ρ=
星球的密度： 4 ②
πR3
3
√3π
联立①②解得T= ，故A正确，BCD错误；
Gρ
故选：A。
6．(2021·河北省石家庄市·期中考试)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，
该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动，如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 、v ，
1 2
近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
√GM √GM
A. v >v ，v = B. v >v ，v >
1 2 1 r 1 2 1 r
√GM √GM
C. v v 。
1 2
√GM
若卫星绕地心做轨道半径为r的圆周运动时，线速度大小为 ，将卫星从半径为r的圆轨道变轨
r
√GM
到图示的椭圆轨道，必须在近地点加速，所以有：v > ，故ACD错误，B正确。
1 r
故选B。
1． (2022·江苏省·历年真题)探测器探测到土星外层上有一个环．为了判断它是土星的一部分还是
土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定( )
A. 若v2∝R，则该环是土星的一部分 B. 若v2∝R，则该环是土星的卫星群
1 1
C. 若v∝ ，则该环是土星的一部分 D. 若v2∝ ，则该环是土星的卫星群
R R
【答案】D
【知识点】卫星的运行规律
【解析】解：AC.若该层是土星的一部分则各层转动的角速度相等，根据v=ωR得：v∝R，故
A、C错误；
Mm v2 GM
BD.若该层是土星的卫星群，则向心力等于万有引力，根据G =m 得：v2= ，即
R2 R R
1
v2∝
，故B错误，D正确。
R❑
故选：D。
若是土星的一部分，则各层转动的角速度相等，根据v=ωR可以判断v与R的关系；若该层是土星
Mm v2
的卫星群，则向心力等于万有引力，根据G =m ，可以判断v与R的关系．
R2 R
2．(2020·云南省昆明市·单元测试)a是静止在地球赤道上的物体，b是探测卫星，c是地球同步卫星，
它们在同一平面内沿不同的轨道绕地心做匀速圆周运动，且均沿逆时针方向绕行，若某一时刻，它
们正好运行到同一条直线上(如图所示)。则再经过6小时，图中关于a、b和c三者位置的图示可能正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】卫星的运行规律、同步卫星与近地卫星
【解析】
根据万有引力提供向心力知，轨道半径越大，周期越大，则角速度越小，所以经过相同的时间，可
以比较出三卫星转过的角度，而同步卫星又与地球保持相对静止。
同步卫星又与地球保持相对静止，所以物体a、卫星c的角速度相同。所以c始终在a的正上方；bc
比较，c的半径大，所以c的角速度小，经过6h，b转过的角度大一点，故D正确，ABC错误。
故选D。
3．(2022·全国·其他类型)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进
入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A. 不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的动能都相同
B. 不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C. 卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D. 卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
【答案】B
【知识点】卫星的变轨问题、卫星的运行规律、牛顿第二定律的理解及简单运用
【解析】
卫星原来在椭圆轨道1绕地球运动，变轨过程卫星做离心运动要加速，卫星做圆周运动过程万有引
力提供向心力，另外要注意加速度和动量都是矢量。
A.卫星由轨道1在P点进入轨道2做离心运动，要加速，所以在轨道1和在轨道2运行经过P点的速度
不同，故A错误；
GM
B.在轨道1和在轨道2运行经过P点，都是万有引力提供向心力，由a= 可知，卫星在P点的加
r2
速度都相同，故B正确；GM
C.由a= 可知，由于r不同，加速度的方向指向地球，方向不同，所以卫星在轨道1的任何位置
r2
的加速度都不同，故C错误；
D.卫星在轨道2的任何位置的速度方向不同，所以动量不同，故D错误。
故选B。
4．(2022·云南省·单元测试)2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，
将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，
已知地球半径为R，万有引力常量为G，则( )
2πR
A. 试验船的运行速度为
T
2π √(R+h) 3
B. 地球的第一宇宙速度为
T R
2π(R+h) 3
C. 地球的质量为
GT2
4π2 (R+h) 2
D. 地球表面的重力加速度为
RT2
【答案】B
【知识点】不考虑自转时星球表面重力加速度、天体质量和密度的计算、第一宇宙速度
【解析】
2π(R+h)
A.飞船的线速度v= ，故A错误；
T
Mm 4π2 4π2 (R+h) 3
C.根据G =m(R+h) ，解得地球的质量M= ，故 C错误；
(R+h) 2 T2 GT2
B.地表附近G
Mm
=m
v
1
2
，得v =
√GM
=
2π √(R+h) 3
，故B正确；
R2 R 1 R T R
Mm GM 4π2 (R+h) 3
D.地表附近G =mg，得g= = ，故D错误。
R2 R2 R2T2
故选B。
5．(2021·安徽省·历年真题)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994
年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的
距离为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物
理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该
黑洞质量约为( )A. 4×104M B. 4×106M C. 4×108M D. 4×1010M
【答案】B
【知识点】天体质量和密度的计算
【解析】
地球绕太阳运行，根据万有引力提供向心力列方程得到太阳质量的表达式，同理可得S2绕黑洞运
行时黑洞质量的表达式，由此求解。设地球的质量为m，地球到太阳的距离为r=1AU，地球的公
转周期为T=1年，
GMm 4π2
由万有引力提供向心力可得： =mr ，
r2 T2
4π2r3
解得：M= ；
GT2
对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R=1000AU，
T'
根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期( )为8年，则周期为T'=16年，
2
半长轴为R的天体围绕黑洞做椭圆运动与半径为R的天体绕黑洞做匀速圆周运动的周期是一样的，
4π2R3
则M = ，
黑 GT'2
R3T2
因此有：M = M，代入数据解得：M ≈4×106M，故B正确，ACD错误。
黑 r3T'2 黑
故选：B。
6．(2021·福建省·历年真题)一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在
动力减速阶段，探测器速度大小由96m/s减小到0，历时80s。在悬停避障阶段，探测器启用最大
推力为7500N的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约
1 1
为地球半径的 ，火星质量约为地球质量的 ，地球表面重力加速度大小取10m/s2，探测器在动
2 10
力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：
(1)在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
(2)在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
【答案】
解：(1)设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为v ，末速度大小为v ，加速度大小为
1 2
a。由匀变速直线运动速度与时间关系公式有v =v -at
2 1
代入题给数据解得a=1.2m/s2
设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有
1
s=v t- at2
1 2 1
联立解得s=3840m
(2)设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为M 、r 和g ，地球的质量、半径和表面
火 火 火
M 1 r 1
重力加速度大小分别为M 、r 和g ，已知： 火= ， 火= 。
地 地 地 M 10 r 2
地 地
GM m
由万有引力等于重力，对质量为m的物体，在火星表面上，有 火 =mg
r2 火
火
GM m
在地球表面上，有 地 =mg ，式中G为引力常量。
r2 地
地
解得：g =4m/s2
火
设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为m ，由力的平衡条件有
max
F=m g
max 火
联立解得m =1875kg
max
即在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量为1875kg。
答：(1)在动力减速阶段，探测器的加速度大小为1.2m/s2，下降距离为3840m；
(2)在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量为1875kg。
【知识点】星球表面的抛体问题、不考虑自转时星球表面重力加速度
【解析】(1)在动力减速阶段，根据速度与时间关系公式求探测器的加速度大小，由位移与时间关
系公式求下降距离；
(2)根据万有引力等于重力，求出火星表面重力加速度大小。在悬停避障阶段，根据平衡条件求该
变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
解决本题的关键要掌握万有引力定律应用的常用思路：万有引力等于重力，利用比例法求解火星表
面重力加速度大小。1． (2019·全国·其他类型)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星
至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 、v ，近地点
1 2
到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
√GM √GM
A. v >v ，v = B. v >v ，v >
1 2 1 r 1 2 1 r
√GM √GM
C. v
1 2 1 r 1 2 1 r
【答案】B
【知识点】卫星的变轨问题、卫星的运行规律、开普勒第一定律和第二定律
【解析】
根据开普勒第二定律分析卫星在近地点、远地点的速度大小。根据变轨原理，将近地点速度与卫星
圆周运动的线速度比较，即可求解。
解：根据开普勒第二定律有：v >v 。
1 2
√GM
若卫星绕地心做轨道半径为r的圆周运动时，线速度大小为 ，将卫星从半径为r的圆轨道变轨
r
√GM
到图示的椭圆轨道，必须在近地点加速，所以有：v > ，故ACD错误，B正确。
1 r
故选B。
2．(2021·安徽省·历年真题)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊
轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，
已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与
地球同步卫星的轨道半径的比值约为( )
√1 √5 √2
A. √3 4 B. 3 C. 3 D. 3
4 2 5
【答案】D
【知识点】同步卫星与近地卫星
【解析】
“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，某飞船沿圆轨道绕火星飞行，地球同步卫
星三种情况均是万有引力提供向心力，根据已知条件选择带周期的向心力表达式，再求出轨道半径
之比。质量为m的环绕天体，绕质量为M的中心天体做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：
GMm 2π
=m( ) 2r，
r2 T√GMT2
环绕天体的半径与周期的关系为：r=3 ，
4π2
所以飞船绕火星的轨道半径r 与同步卫星绕地球的轨道半径r 之比为：
飞 同
r √3 M T2 √0.1 2 √2
飞= 火 飞=3 ×( ) 2=3 ，故ABC错误，D正确。
r
同
√3
M
T❑2 1 1 5
地 地
故选：D。
3．(2022·山东省·历年真题)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星
围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同
方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面
重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
gR2T2 1 gR2T2 1 gR2T2 1 gR2T2 1
A. ( )3-R B. ( )3 C. ( )3-R D. ( )3
2n2π2 2n2π2 4n2π2 4n2π2
【答案】C
【知识点】卫星的运行规律、不考虑自转时星球表面重力加速度
【解析】解：卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈，
T GMm 4π2
可知卫星运行的周期T'= ，其万有引力提供向心力有： =m (R+h)
n (R+h) 2 T'2
GMm
在地表附近，任意物体所受到的万有引力近似等于重力有：
=mg
R2
gR2T2 1
联立解得：h=( )3-R
4n2π2
故ABD错误，C正确；
故选：C。
利用万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，以及在地面上万有引力等于重力列式，可求解高度。
4．(2021·浙江省·历年真题)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运
动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3:2，则火星与地球绕太
阳运动的( )A. 轨道周长之比为2:3
B. 线速度大小之比为√3:√2
C. 角速度大小之比为2√2:3√3
D. 向心加速度大小之比为9:4
【答案】C
【知识点】卫星运行规律及应用
【解析】
GMm v2
轨道周长C=2πr，根据 =ma =m =mω2r得出线速度、角速度及向心加速度与半径的关
r2 n r
系。本题的关键是根据万有引力提供向心力得出线速度、角速度及向心加速度与半径的关系。
A.由周长公式可得C =2πr ，C =2πr ，
地 地 火 火
C 2πr 3
则火星公转轨道与地球公转轨道周长之比为
火= 火=
，A错误；
C 2πr 2
地 地
Mm v2
BCD.由万有引力提供向心力，可得G =ma=m =mω2r，
r2 r
则有a=
GM
，v=
√GM
，ω=
√GM
，
r2 r r3
a r❑2 4 v √r √2 ω √r3 2√2
即 火= 地 = ; 火= 地= ; 火= 地= ，
a r❑2 9 v √r √3 ω √r3 3√3
地 火 地 火 地 火
BD错误，C正确。故选C。
5．(2022·浙江省·历年真题)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q
点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号( )
A. 发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月
C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【答案】C
【知识点】卫星运行规律及应用、第二宇宙速度和第三宇宙速度
【解析】解：A、天问一号需要脱离地球引力的束缚，第二宇宙速度11.2km/s为脱离地球的引力
的最小发射速度，在地球发射天问一号的速度要大于第二宇宙速度，故A错误。
a3
B、地球公转周期为12个月，根据开普勒第三定律可知， =k，天问一号在地火转移轨道的轨道
T2
半径大于地球公转半径，则运行周期大于12个月，从P点转移到Q点的时间大于6个月，故B错误；
C、同理，环绕火星的停泊轨道半径小于调相轨道半径，则在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在
调相轨道上小，故C正确；
D、天问一号在Q点点火加速进入火星轨道，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于火星轨道
GMm v2 √GM
的速度，根据万有引力提供向心力可知， =m ，解得线速度：v= ，地球公转半径小
r2 r r
于火星公转半径，则地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度，则在地火转移轨道运动时，Q点的
速度小于地球绕太阳的速度，故D错误。
故选：C。
6．(2022·湖南省长沙市·同步练习)已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。地可视为质量
分布均匀的球体，不考虑空气的影响。
(1)北京时间2020年3月9日，中国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第54颗导航卫星，此次
发射的是北斗第2颗地球静止轨道卫星(又称地球同步卫星)，它离地高度为h。求此卫星进入地球静
止轨道后正常运行时v的大小(不考虑地球自转的影响)；
(2)为考察地球自转对重力的影响，某研究者在赤道时，用测力计测得一小物体的重力是F .在南极
1
时，用测力计测得该小物体的重力为F .求地球的质量M.(已知地球自转周期为T)
2
【答案】
GMm v2
解：(1)设该卫星质量为m，根据万有引力定律提供向心力可得： =m
(R+h) 2 R+h
GMm
在地球表面，根据万有引力和重力的关系可得：
=mg
R2
√ GM √ R2g
解得线速度v= = ；
R+h R+h
(2)设小物体质量为m
0
在赤道处，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有
Mm 4π2
G 0-F =m R
R2 1 0 T2Mm
在南极地面G 0=F
R2 2
4π2F R3
联立得地球质量M= 2 。
(F -F )T2G
2 1
√ R2g
答：(1)此卫星进入地球静止轨道后正常运行时v的大小为 ；
R+h
4π2F R3
(2)地球的质量为 2 。
(F -F )T2G
2 1
【知识点】卫星的运行规律、考虑自转时星球表面重力加速度、天体质量和密度的计算
【解析】(1)根据万有引力定律提供向心力结合万有引力和重力的关系联立求解；
(2)设小物体质量为m ，在赤道处，根据合力提供向心力列方程，在南极万有引力和重力相等，由
0
此求解联立得地球质量。
本题主要是考查了万有引力定律及其应用；解答此类题目一般要把握两条线：一是在星球表面，忽
略星球自转的情况下，万有引力近似等于重力；二是根据万有引力提供向心力列方程进行解答。
