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解题技巧专题：中点问题
——遇中点，定思路，一击即中
类型一 直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线【方法7】
1．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是
AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于( )
A．5° B．10° C．20° D．30°
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，点E，F分别是AC，BD的中点，AC＝6，
则EF的长是_______.
3．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取
BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为_______.
类型二 遇两边中点利用(或构造)中位线
4．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点G，F在BC边上，四边
形DEFG是正方形．若DE＝2cm，则AC的长为【方法7】( )
A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm
第4题图 第5题图
5．★如图，已知AB＝12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的
中点，则AE的长是________．
6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点．
(1)求证：四边形DECF是平行四边形；
(2)若AC＝BC，则四边形DECF是什么特殊四边形？请说明理由．
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类型三 中点四边形与特殊平行四边形
7．(舟山中考)如图①，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中
点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：
(1)如图②，将图①中的点C移动至与点E重合的位置，点F，G，H仍是BC，CD，DA的中
点，求证：四边形CFGH是平行四边形；
(2)如图③，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上
画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；
(3)在(2)条件下求出正方形CFGH的边长．
参考答案与解析
1．B 解析：连接AH，CH.∵∠BCD＝∠BAD＝90°，点H是BD的中点，∴AH＝CH＝
BD.∵点G是AC的中点，∴HG⊥AC，∴∠HGE＝90°.又∵∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠GHE＝
10°.故选B.
2．3 解析：连接AF.∵AD＝AB，F是BD的中点，∴AF⊥BD.又∵E是AC的中点，∴EF＝
AC＝×6＝3.
3．16 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝x.在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，点F
为BE的中点，∴BF＝EF＝DF＝4.在Rt△DCF中，CD2＋CF2＝DF2，即x2＋(4－y)2＝16.∴x2＋
(y－4)2＝16.
4．D
5．6.5 解析：连接DB，延长DA到F，使AF＝DA.∵AD＝5，∴AF＝5，∴DF＝10＝BC.∵
点E是CD的中点，∴AE＝CF.在Rt△ABD中，AD2＋AB2＝DB2，∴BD＝＝13.∵AB⊥BC，
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AB⊥AD，∴AD∥BC.又∵DF＝BC，∴四边形DFCB为平行四边形，∴FC＝DB＝13，∴AE＝
6.5.
6．(1)证明：∵点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，CF＝AC，
∴DE∥CF，DE＝CF，∴四边形DECF是平行四边形．
(2)解：四边形DECF是菱形．理由如下：∵点E，F分别是边BC，CA的中点，∴CE＝BC，
CF＝AC.又∵AC＝BC，∴CE＝CF.由(1)知四边形DECF是平行四边形，∴四边形DECF是菱
形．
7．(1)证明：如图②，连接BD.∵C，H是AB，AD的中点，∴CH为△ABD的中位线，
∴CH∥BD且CH＝BD.同理可得 FG∥BD且FG＝BD，∴CH∥FG且CH＝FG，∴四边形
CFGH是平行四边形．
(2)解：点D的位置如图③.
(3)解：如图③，∵BD＝，∴FG＝BD＝，∴正方形CFGH的边长为.
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