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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
专项训练三 图形的相似
一、选择题
1（. 2016·河北中考）如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚
线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
2.如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸的边上选定一个目标点A，在近岸取点B，C，
D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝
20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB的长为（ ）
A.60m B.40m C.30m D.20m
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且
AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB的值为（ ）
A.5∶8 B.3∶8 C.3∶5 D.2∶5
4.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝
90°，CO＝CD.若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（ ）
A.（1，2） B.（1，1）C.（，） D.（2，1）
5.小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，
测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m
6（. 2016·湘西州中考）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四
边形DBCE的面积为（ ）
A.3 B.5 C.6 D.8
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第6题图 第7题图 第8题图
7.★如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（－2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的
坐标分别是（ ）
A.（，3），（－，4） B.（，3），（－，4）
C.（，），（－，4） D.（，），（－，4）
8（. 2016·贵港中考）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于
点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②S
▱ABCD
＝AC·BC；③OE∶AC＝∶6；④S ＝2S .成立的个数有（ ）
△OCF △OEF
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
9.如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC＝3，AB＝5，写出其中的一对
相似三角形是 和 ，它们的相似比为 .
第9题图 第11题图
10.（2016·衡阳中考）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF
的周长之比为 .
11.如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则＝
.
12.如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则击球的高度h为
.
第12题图 第13题图 第14题图
13.如图所示，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH
的长为 .
14.如图所示，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为
.
15.（2016·三明中考）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与
△DEF位似，原点O是位似中心.若AB＝1.5，则DE＝ .
第15题图 第16题图
16.如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，直线l经过点C，且l∥AB，P为l上一个动点，
若△ABC与△PAC相似，则PC＝ .
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三、解答题
17.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（－1，3），B（－1，1），C（－3，2）.
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△ABC ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍，得到△ABC ，求出△ABC
1 1 1 2 2 2 1 1 1
与△ABC 的面积.
2 2 2
18（. 2016·怀化中考）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的
一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm.
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积.
19.★已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点Q是线段AC上的一个动点，过
点Q作AC的垂线交线段AB（如图①）或线段AB的延长线（如图②）于点P.
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.
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参考答案与解析
1．C 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D
7．B 解析：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，
过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H.∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，
AC＝OB，∴∠CAF＝∠CHO＝∠BOE.在△ACF和△OBE中，∴△ACF≌△OBE(AAS)，∴BE
＝CF＝4－1＝3，AF＝OE.∵∠AOD＋∠BOE＝∠BOE＋∠OBE＝90°，∴∠AOD＝
∠OBE.∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴＝，即＝，∴OE＝，∴点B的坐标为，
AF＝OE＝，∴点C的横坐标为－＝－，∴点C的坐标为.故选B.
8．D 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BCD＝
120°.∵CE平分∠BCD交AB于点E，∴∠DCE＝∠BCE＝60°，∴△CBE是等边三角形，∴BE
＝BC＝CE.又∵AB＝2BC，∴AE＝BE＝BC＝CE，∴∠EAC＝∠ECA.又∵∠EAC＋∠ECA＝
60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，故①正确；
∵AC⊥BC，∴S ＝AC·BC，故②正确；在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴AC＝
▱ABCD
BC.∵AO＝OC，AE＝BE，∴OE＝BC，∴OE∶AC＝＝∶6，故③正确；∵AO＝OC，AE＝BE，
∴OE∥BC，∴△BCF∽△OEF，∴＝＝，∴＝＝，∴S ＝2S ，故④正确．故选D.
△OCF △OEF
9.△CDB △ACB 3∶5 10.5∶4 11.2
12．1.4m 13. 14.7
15．4.5 解析：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐
标为(1，0)，D点坐标为(3，0)，∴AO＝1，DO＝3，∴＝＝.∵AB＝1.5，∴DE＝4.5.
16．6.4或10
17．解：(1)图略；
(2)由题图得S△ABC ＝×2×2＝2.∵将△ABC 放大为原来的2倍，得到△ABC ，
1 1 1 1 1 1 2 2 2
∴△ABC ∽△ABC ，∴＝，∴＝＝，∴S△ABC ＝4S△ABC ＝4×2＝8.即S△ABC ＝2，
1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
S△ABC ＝8.
2 2 2
18．(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC；
(2)解：∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF＝DM.设正方
形EFGH的边长为xcm，∵△AEH∽△ABC，∴＝，∴＝，解得x＝.∴正方形EFGH的边长为
cm，面积为cm2.
19．(1)证明：在△AQP 与△ABC 中，∠A＝∠A，∠AQP＝∠ABC＝90°，
∴△AQP∽△ABC；
(2)解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得AC＝5.①当点P在线段AB上时，
∵△PQB为等腰三角形，∴PB＝PQ.由(1)可知△AQP∽△ABC，∴＝，即＝，解得PB＝.∴AP
＝AB－PB＝3－＝；②当点P在线段AB的延长线上时，∵△PQB为等腰三角形，∴PB＝BQ，
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∴∠BQP＝∠P.∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB
＝BP，即点B为线段AP的中点，∴AP＝2AB＝2×3＝6.综上所述，当△PQB为等腰三角形时，
AP的长为或6.
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