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专项训练二 一元二次方程
一、选择题
1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A.3（x＋1）2＝2（x＋1） B.＋－2＝0
C.ax2＋bx＋c＝0 D.x2＋2x＝x2－1
2.（2016·邵阳中考）一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3（. 2016·金华中考）一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x，x，则下列结论正确的是（
1 2
）
A.x＝－1，x＝2 B.x＝1，x＝－2
1 2 1 2
C.x＋x＝3 D.xx＝2
1 2 1 2
4.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2－2x－99＝0化为（x－1）2＝100
B.x2＋8x＋9＝0化为（x＋4）2＝25
C.2t2－7t－4＝0化为＝
D.3y2－4y－2＝0化为＝
5.已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于（ ）
A.－1 B.0 C.1 D.2
6（. 2016·衡阳中考）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已
越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆.已知
2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增
长率为x，根据题意列方程得（ ）
A.10（1＋x）2＝16.9 B.10（1＋2x）＝16.9
C.10（1－x）2＝16.9 D.10（1－2x）＝16.9
7.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x＝－2，x＝4，则m
1 2
＋n的值是（ ）
A.－10 B.10 C.－6 D.2
8.★方程（m－2）x2－x＋＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A.m> B.m≤且m≠2
C.m≥3 D.m≤3且m≠2
二、填空题
9.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有一个根为1，则a＋b＋c＝ ；若有一
个根为－1，则b与a，c之间的关系为 .
10.（2016·长沙中考）若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，
则实数m的取值范围是 .
11.（2016·泰州中考）方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则
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m的值为 .
12.（2016·遵义中考）已知x ，x 是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则＋＝
1 2
.
13.关于x的方程x2＋2（k＋2）x＋k2＝0的两个实数根之和大于－4，则k的取值范围是
.
14.新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接
“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施.经调查，如果每件童装降价1元，那么平均
每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？
设每件童装应降价x元，则可列方程为 .
15.关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数
解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解.其中正
确的是 （填序号）.
16.★如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn
＋2m＋2015＝ .
三、解答题
17.解方程：
（1）x2－2x＝2x＋1； （2）3x（x－2）＝2（2－x）；
（3）2x2＋3＝7x； （4）x（3x－4）＝5－8x.
18.（2016·岳阳中考）已知关于x的方程x2－（2m＋1）x＋m（m＋1）＝0.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x＝0，求代数式（2m－1）2＋（3＋m）（3－m）＋7m－5的值（要
求先化简再求值）.
19.（2016·济宁中考）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于异地安
置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元.
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬
迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5
元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.
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20.★已知关于x的方程x2－（3k＋1）x＋2k2＋2k＝0.
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝6，另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角
形的三边长.
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参考答案与解析
1．A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.A
8．B 解析：因为方程有两个实数根，所以
解得m≤且m≠2.故选B.
9．0 b＝a＋c 10.m＞－4 11.－3 12.－2
13．－1≤k＜0 14.(40－x)(20＋2x)＝1200
15．①③ 解析：当m＝0时，x＝－1，故①正确；当m≠0时，Δ＝4m2－4m＋1＝(2m－
1)2≥0，当m＝时，方程有两个相等的实数解，故②错误；③当m＝0时，方程的解为x＝－1.当
m≠0时，若x＋x＝－<0，则两解中必有一个负数解，满足题意；若x＋x＝－>0，则<0，x·x
1 2 1 2 1 2
＝－1＋<0，也必有负数解，所以③正确．
16．2026 解析：如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，则m，n是
关于x的一元二次方程x2－x＝3的两根，∴m＋n＝1，mn＝－3.∵n2－n＝3，∴2n2－mn＋2m
＋2015＝2(n＋3)－mn＋2m＋2015＝2(m＋n)－mn＋2015＋6＝2026.
17．解：(1)x＝2＋，x＝2－；
1 2
(2)x＝2，x＝－；
1 2
(3)x＝3，x＝；
1 2
(4)x＝，x＝.
1 2
18．(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：∵x＝0是此方程的一个根，∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0，即m2＋m＝
0.∵(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5，∴原式
＝3(m2＋m)＋5＝3×0＋5＝5.
19．解：(1)设该地从2014年到2016年投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得1280(1＋x)2＝1280＋1600，解得x＝0.5或x＝－2.5(舍去)．
答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得 1000×8×400＋(a－
1000)×5×400≥5000000，解得a≥1900.
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
20．(1)证明：因为Δ＝[－(3k＋1)]2－4(2k2＋2k)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，所以无论k取何
值，方程总有实数根；
(2)解：若6为△ABC的底边，则方程有两个相等实数根，即(k－1)2＝0，得k＝1.原方程为
x2－4x＋4＝0，解得x＝x＝2.因为2＋2＜6，不符合题意，故舍去；若6为△ABC的腰，则6是
1 2
原方程的一个根．把x＝6代入方程，得k2－8k＋15＝0，解得k＝3或k＝5.当k＝3时，原方程
为x2－10x＋24＝0，解得x＝4，x＝6，所以三角形三边长为6，6，4；当k＝5时，原方程为x2－
1 2
16x＋60＝0，解得x＝10，x＝6.所以三角形三边长为6，6，10.综上所述，此三角形的三边长
1 2
为6，6，4或6，6，10.
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