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解题技巧专题：正方形中特殊的证明(计算)方法
——解决正方形中的最值及旋转变化模型问题
类型一 利用正方形的旋转性质解题
1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四边形
ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.
求证：S ＝S ＋S .
△AEF △ABE △ADF
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且
BP⊥CP.
求证：BP＋CP＝OP.
类型二 利用正方形的对称性解题
4．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在
对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( )
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A. B．2
C．2 D.
第4题图 第5题图
5．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB上一点，AF＝2，P为
AC上一点，则PF＋PE的最小值为________．
6．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，AC，BE交于点F，MF∥AE交AB于M.
求证：DF＝MF.
参考答案与解析
1．3
2．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH
＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合．∴AH＝AF，
∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝
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45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S ＝
△AEF
S ＝S ＋S ＝S ＋S .
△AEH △ABE △ABH △ABE △ADF
3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°
至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，
∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，
∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE
＝＝＝OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝OP.
4．B 解析：连接PB.∵点P在正方形ABCD的对角线AC上，∴PD＝PB，∴PD＋PE的
最小值就是PB＋PE的最小值，∴PD＋PE的最小值就是BE.∵△ABE是等边三角形，∴BE
＝AB.∵S ＝12，∴BE2＝AB2＝12，即BE＝2，故选B.
正方形ABCD
5.
6．证明：∵B，D关于AC对称，点F在AC上，∴BF＝DF.∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE.∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE和△BCE中，∵AD
＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠BAE＝
∠ABE.∵MF∥AE，∴∠BAE＝∠BMF，∴∠BMF＝∠ABE，∴MF＝BF.∵BF＝DF，∴DF＝
MF.
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