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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
第 1 章检测卷
时间：120分钟 满分：120分
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )
A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝2t2＋1 D．y＝x2＋
2．抛物线y＝－(x－2)2＋3的顶点坐标是( )
A．(－2，1) B．(2，3) C．(2，－3) D．(－2，－3)
3．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数
表达式为( )
A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3
C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－3
4．关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是( )
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0
时，自变量x的取值范围是( )
A．x＜－2
B．－2＜x＜4
C．x＞0
D．x＞4
6．点P(－4，y)，P(－3，y)，P(1，y)均在二次函数y＝x2＋4x－m的图象上，则y，y，y
1 1 2 2 3 3 1 2 3
的大小关系是( )
A．y＞y＞y B．y＞y>y C．y＞y＞y D．y>y＞y
3 2 1 2 1 3 1 2 3 3 1 2
7．如图①，一只兔子在草地上跳跃的路径呈抛物线形，建立如图②所示的平面直角坐标
系，跳跃时兔子重心的高度变化y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋2x，则兔
子此跳的水平距离为( )
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
8．如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连
接AC，则tan∠CAB的值为( )
A. B. C. D．2
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第8题图 第9题图 第10题图
9．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象大致为(
)
10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标
分别为－1和3，则下列结论正确的是( )
A．2a－b＝0
B．a＋b＋c＞0
C．3a－c＝0
D．当a＝时，△ABD是等腰直角三角形
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．点A(－2，a)是抛物线y＝x2上一点，则a＝________．
12．若函数y＝(m－1)x3－|m|＋6的图象是抛物线，则m的值为________．
13．二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点的纵坐标为4，此函数的表达式为
________________．
14．抛物线y＝kx2－5x＋2与x轴有交点，则k的取值范围是________________．
15．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝
________．
16．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上．若设AE＝x，正方形
EFGH的面积为y，则y与x的函数表达式为______________．
第16题图 第18题图
17．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时
平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为
________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
18．如图，抛物线y＝ax2－4和y＝－ax2＋4都经过x轴上的A，B两点，两条抛物线的顶
点分别为C，D.当四边形ACBD的面积为40时，a的值为________．
三、解答题(共66分)
19．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对
应值如下表所示：
x … －1 0 2 4 …
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y … －5 1 1 m …
求：(1)这个二次函数的表达式；
(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．
20．(8分)如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的表达式；
(2)求△AOB的面积．
21.(8分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点
C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点
A(－1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．
22．(10分)已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.
(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数表达式，并求出面积为48时BC的长；
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(2)当BC的长为多少时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
23．(10分)已知抛物线y＝x2－px＋－.
(1)若抛物线与y轴交点的坐标为(0，1)，求抛物线与x轴交点的坐标；
(2)求证：无论p为何值，抛物线与x轴必有交点；
(3)若抛物线的顶点在x轴上，求出此时顶点的坐标．
24．(10分)2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取
得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线
是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时
跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴
建立直角坐标系．
(1)当k＝4时，求这条抛物线的表达式；
(2)当k＝4时，求运动员落水点与点C的距离；
(3)图中CE＝米，CF＝米，若跳水运动员在区域EF内(含点E，F)入水时才能达到训练要
求，求k的取值范围．
25．(12分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c为常数)与x轴相交于点A(－1，0)、B(3，0)，与
y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC.
(1)求抛物线的表达式．
(2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点．
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①如图，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．
②是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.D 7.C 8.D 9.D
10．D 解析：∵抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1和3，∴抛物线的对称轴
为直线x＝1，∴－＝1，∴2a＋b＝0，∴选项A错误；当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0，∴选项
B错误；∵点A的坐标为(－1，0)，∴a－b＋c＝0，而b＝－2a，∴a＋2a＋c＝0，∴3a＋c＝0，
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∴选项C错误；当a＝，易得b＝－1，c＝－，∴抛物线的表达式为y＝x2－x－.设对称轴直线x
＝1与x轴的交点为E，把x＝1代入得y＝－1－＝－2，∴点D的坐标为(1，－2)，∴AE＝2，
BE＝2，DE＝2，∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，∴△ADB为等腰直角三角形，∴选
项D正确．故选D.
11．4 12.－1 13.y＝－x2－2x＋3 14.k≤且k≠0
15．0 16.y＝2x2－4x＋4 17.22
18．0.16 解析：∵抛物线y＝ax2－4和y＝－ax2＋4都经过x轴上的A，B两点，∴a＞0，
∴点A，B的坐标分别是，.又∵抛物线y＝ax2－4和y＝－ax2＋4的顶点分别为C，D，∴点C，
D的坐标分别是(0，－4)，(0，4)，∴CD＝8，AB＝，∴S ＝S ＋S ＝AB·OD＋
四边形ACBD △ABD △ABC
AB·OC＝AB·CD＝×8×＝40，解得a＝0.16.
19．解：(1)将(－1，－5)，(0，1)，(2，1)代入y＝ax2＋bx＋c中，得解得∴这个二次函数的表
达式为y＝－2x2＋4x＋1.(4分)
(2)由(1)知y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，∴其图象的顶点坐标为(1，3)．(6分)当x＝4
时，m＝－2×16＋16＋1＝－15.(8分)
20．解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋1，(1分)将点O(0，0)代入得4a＋1＝0，
解得a＝－，∴二次函数的表达式为y＝－(x－2)2＋1.(4分)
(2)∵抛物线y＝－(x－2)2＋1的对称轴为直线x＝2，且经过原点O(0，0)，∴抛物线与x
轴的另一个交点B的坐标为(4，0)，(6分)∴S ＝×4×1＝2.(8分)
△AOB
21．解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1，(2分)∴抛
物线的表达式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3，(3分)∴点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为
直线x＝－2.又∵点B，C关于对称轴对称，∴点B的坐标为(－4，3)．∵y＝kx＋b经过点A，
B，∴解得∴一次函数的表达式为y＝－x－1.(5分)
(2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围为x＜－4或x＞－1.(8分)
22．解：(1)由题意得y＝x(20－x)＝－x2＋10x，(2分)当y＝48时，即48＝－x2＋10x，解得
x＝12，x＝8，∴当△ABC的面积为48时，BC的长为12或8.(5分)
1 2
(2)∵y＝－x2＋10x＝－(x－10)2＋50.(8分)∴当x＝10，即BC＝10时，△ABC的面积最大，
最大面积为50.(10分)
23．(1)解：对于抛物线y＝x2－px＋－，将x＝0，y＝1代入得－＝1，解得p＝.∴抛物线的
表达式为y＝x2－x＋1.令y＝0，得x2－x＋1＝0，解得x＝，x＝2，则抛物线与x轴交点的坐标
1 2
为与(2，0)．(3分)
(2)证明：∵Δ＝p2－4＝p2－2p＋1＝(p－1)2≥0，∴无论p为何值，抛物线与x轴必有交点．
(6分)
(3)解：抛物线顶点的坐标为.(7分)∵抛物线的顶点在x轴上，∴＝0，解得p＝1.∴此时顶
点的坐标为.(10分)
24．解：(1)设抛物线的顶点为M.∵k＝4，∴M的坐标为(3，4)，点A的坐标为(2，3)．设抛
物线的表达式为y＝a(x－3)2＋4，则3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.故抛物线的表达式为y＝－
(x－3)2＋4.(3分)
(2)由(1)知当k＝4时，y＝－(x－3)2＋4.当y＝0时，即0＝－(x－3)2＋4，解得x＝1，x＝
1 2
5.∴运动员的落水点为(5，0)，故当k＝4时，运动员落水点与点C的距离为5米．(6分)
(3)设抛物线表达式为y＝a(x－3)2＋k，将点A(2，3)代入可得a＋k＝3，即a＝3－k.(7分)
若跳水运动员在区域EF内(含点E，F)入水，则当x＝时，y＝a＋k≥0，即(3－k)＋k≥0，解得
k≤.当x＝时，y＝a＋k≤0，即(3－k)＋k≤0，解得k≥.(9分)∴≤k≤.(10分)
25．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c为常数)与x轴相交于点A(－1，0)、B(3，0)，∴解得
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∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.(3分)
(2)①∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴P(1，－4)，C(0，－3)．设直线BC的表达式为y＝kx
＋m，将B(3，0)，C(0，－3)代入得解得∴直线BC的表达式为y＝x－3.(5分)如图，设对称轴直
线x＝1交BC于点E，则E(1，－2)，∴PE＝－2－(－4)＝2，∴S ＝PE·OB＝×2×3＝3.(8
△PBC
分)
②存在．(9分)设P点的坐标为(1，t)，由①可知E(1，－2)，∴PE＝|t＋2|，∴S ＝OB·PE＝|t
△PBC
＋2|，∴|t＋2|＝6，解得t＝2或t＝－6，∴P点的坐标为(1，2)或(1，－6)，即存在满足条件的点
P，其坐标为(1，2)或(1，－6)．(12分)
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