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第 58 讲 带电粒子在交变电场中的运动
1．（2018•浙江）小明受回旋加速器的启发，设计了如图1所示的“回旋变速装置”。两相距为d
的平行金属栅极板M、N，板M位于x轴上，板N在它的正下方。两板间加上如图2所示的幅
2πm
值为U 的交变电压，周期T = ．板M上方和板N下方有磁感应强度大小均为B、方向相
0 0 qB
反的匀强磁场。粒子探测器位于y轴处，仅能探测到垂直射入的带电粒子。
有一沿x轴可移动、粒子出射初动能可调节的粒子发射源，沿y轴正方向射出质量为m、电荷量
为q（q＞0）的粒子。t＝0时刻，发射源在（x，0）位置发射一带电粒子。忽略粒子的重力和其
它阻力，粒子在电场中运动的时间不计。
（1）若粒子只经磁场偏转并在y＝y 处被探测到，求发射源的位置和粒子的初动能；
0
（2）若粒子两次进出电场区域后被探测到，求粒子发射源的位置x与被探测到的位置y之间的
关系。
一.知识回顾
1．常见的交变电场
常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等．
2．常见的题目类型
(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)．
(2)粒子做往返运动(一般分段研究)．
(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)．
3．思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对
称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系．
(3)注意对称性和周期性变化关系的应用．
4.利用速度—时间图像分析带电粒子的运动过程时，必须注意“五点”
(1)带电粒子进入电场的时刻。
(2)速度—时间图像的切线斜率表示加速度。
(3)图线与时间轴围成的面积表示位移，且在时间轴上方所围成的面积为正，在时间轴下方所
围成的面积为负。
(4)注意对称性和周期性变化关系的应用。
(5)图线与时间轴有交点，表示此时速度改变方向。对运动很复杂、不容易画出速度图像的问
题，还应逐段分析求解。
二.例题精析
例1．如图（a）所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图（b）所示的交变电压，一重力可忽
略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间 P处。若在t 时刻释放该粒子，粒子会时而向A板
0
运动，时而向B板运动，并最终打在A板上。则t 可能属于的时间段是（ ）
0
T T 3T 3T 9T
A．0＜t＜ B． ＜t＜ C． ＜t ＜T D．T＜t＜
0 0 0 0
4 2 4 4 8
例2．如图所示，一平行板电容器两板间距为 d，在一板内侧附近有一带电量为q、质量为m的正
离子，为使该离子能在两极间来回振动而不撞在两极上，在两极间加上如图所示交变电压，此
交变电压的周期应有（ ）
√ m √ m √ m √ m
A．T＜4d B．T＞4d C．T＜2d D．T＞2d
qU qU qU qU
三.举一反三，巩固练习1. （多选）图1的平行金属板M、N间加有图2所示的交变电压，OO′是M、N板间
1
的中线，当电压稳定时，板间为匀强电场。 T时，比荷为κ的带电粒子甲从O点沿OO′方
4
3 3
向、以v 的速率进入板间， T时飞离电场，期间恰好不与极板相碰。若在 T时刻，带电粒
0
2 8
子乙以2v 的速率沿OO′从O点进入板间，已知乙粒子在运动过程中也恰好不与极板碰撞，
0
不计粒子受到的重力，则下列说法中正确的是（ ）
A．T时刻，乙粒子离开电场
8κ
B．乙粒子的比荷为
7
C．甲、乙两粒子通过电场偏转的位移大小之比为2：3
D．甲、乙两粒子通过电场偏转的位移大小之比为1：2
4πm
2. （多选）在如图所示的空间里，存在沿y轴负方向、大小为B= 的匀强磁场，有
qT
一质量为m、带电量为q的带正电的粒子（重力不计）以v 从O点沿x轴负方向运动，同时在
0
空间加上平行于y轴的匀强交变电场，电场强度E随时间的变化如图所示（以沿y轴正向为E
的 正 方 向 ） ， 则 下 列 说 法 不 正 确 的 是 （ ）A．t＝2T时粒子所在位置的x坐标值为0
3 v T
B．t= T时粒子所在位置的z坐标值为 0
4 4π
C．粒子在运动过程中速度的最大值为2v
0
v
D．在0到2T时间内离子运动的平均速度为 0
2
3. 在真空中有水平放置的两个平行、正对金属平板，板长为l，两板间距离为d，在两极
1
板间加一交变电压如图乙，质量为m，电荷量为e的电子以速度v （v 接近光速的 ）从两
0 0
20
极板左端中点沿水平方向连续不断地射入两平行板之间。若电子经过两极板间的时间相比交变
电流的周期可忽略不计，不考虑电子间的相互作用和相对论效应，则在任意0.2s内（ ）
A．当U 2md2v2时，所有电子都能从极板的右端射出
m＜
el2
B．当U md2v2时，将没有电子能从极板的右端射出
m＞
el2
C．当U 2md2v2时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为
m=
el2
1：2D．当U √2md2v2时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为
m=
el2
1：（√2-1）
4. （多选）如图所示，长为8d、间距为d的平行金属板水平放置，O点有一粒子源（O
点是两金属板的中点），能持续水平向右发射初速度为v ，电荷量为+q，质量为m的粒子。
0
在两板间存在如图所示的交变电场，取竖直向下为正方向，不计粒子重力。以下判断正确的是
（ ）
√2d
A．粒子在电场中运动的最短时间为
v
0
5
B．射出粒子的最大动能为 mv 2
4 0
d
C．t= 时刻进入的粒子，从O'点射出
2v
0
3d
D．t= 时刻进入的粒子，从O'点射出
v
0
5. 如图甲所示，M、N为正对竖直放置的平行金属板，A、B为两板中线上的两点。当
M、N板间不加电压时，一带电小球从A点由静止释放，经时间T到达B点，此时速度为υ．
若在两板间加上如图乙所示的交变电压，t＝0时，将带电小球仍从A点由静止释放，小球运动
过程中始终未接触极板，则t＝T时，小球（ ）
A．在B点上方 B．恰好到达B点
C．速度大于v D．速度小于v6. （多选）一对平行金属板长为L，两板间距为d，质量为m、电荷量为e的电子从平
行板左侧以速度v 沿两板的中线不断进入平行板之间，两板间所加交变电压 u 如图所示，交
0 AB
L
变电压的周期T= ，已知所有电子都能穿过平行板，且最大偏距的粒子刚好从极板的边缘
2v
0
飞出，不计重力作用，则（ ）
A．所有电子都从右侧的同一点离开电场
B．所有电子离开电场时速度都是v
0
C．t＝0时刻进入电场的电子，离开电场时动能最大
T d
D．t= 时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为
4 16
7. 图甲所示的平行金属板M、N相距为d，两板上加交变电压U 如图乙（U 未知），
MN 0
贴两板右侧有xOy坐标，两板中线与x轴共线。现有大量质量m、电荷量﹣e的电子以初速度
v 平行于两板沿中线持续不断地射入两板间。已知t＝0时刻进入两板运动的电子穿过两板间的
0
电场时间等于所加交变电压周期T，出射速度大小为2v ，且所有电子都能穿出两板，忽略电
0
场的边缘效应及重力的影响，求
（1）两板的长度L和t＝0时刻进入电子通过电场区电场力所做功W
（2）电子打在y轴上的范围
（3）在y轴右侧有一个未知的有界磁场区，从O点射出电场的电子恰好垂直于x轴向上通过x
轴上坐标为（a，0）的P点，求磁场区磁场的方向及磁场磁感应强度可能最小值B
8. 如图甲所示，A和B是真空中正对面积很大的平行金属板，位于两平行金属板正中间的O点有一个可以连续产生粒子的粒子源，AB间的距离为L．现在A、B之间加上电压U
AB
随时间变化的规律如图乙所示，粒子源在交变电压的一个周期内可以均匀产生N个相同粒子，
这种粒子产生后，在电场力作用下由静止开始运动，粒子一旦碰到金属板，它就附在金属板上
不再运动，且电荷量同时消失，不影响A、B板电势．已知粒子质量为m＝5×10﹣10kg，电荷量
q＝1×10﹣7C，L＝1.2m，U ＝1.2×103V，T＝1.2×10﹣2s，忽略粒子重力，不考虑粒子之间的相
0
互作用力，求：
（1）t＝0时刻产生的粒子，运动到B极板所经历的时间t ；
0
T
（2）在0～ 时间内，产生的粒子不能到达B板的时间间隔△t；
2
T
（3）在0～ 时间内，产生的粒子能到达B板的粒子数与到达A板的粒子数之比k．
2
9. A.磁聚焦法是测量电子比荷的常用方法.如图所示，电子连续不断地从热阴极K无初
速度地逸出，在阳极A上有个小孔，当施加电压U 时，电子就能通过小孔进入两极板，极板
0
长为L，宽为d.两极板上施加不大的交变电压u＝U sin t，使得电子在两极板间发生不同程度
1
的偏转，设电子能全部通过极板，且时间极短，而后电ω子进入水平向右的匀强磁场B ，当电子
0
打到屏幕N上会出现一条直线亮斑，两极板与屏幕N的中心O之间的距离为z，电子的电量为
e，质量为m。求：
（1）电子射出两极板时距离中心轴的最大位移y ，竖直方向的最大速度v ；
m ym
（2）当z取值逐渐增加时亮斑的长度在变化，亮斑的最大长度L ，以及此时z的值；
m（3）取 πmv ，磁场B大小从2B 开始取不同的值时，发现屏幕上亮斑长度也会变化，亮斑
z= 0 0
B e
0
端点的坐标（x，y）与磁场B的关系。
10. 如图甲所示，某多级直线加速器由横截面相同的金属圆板和 4个金属圆筒依次排列组
成，圆筒的两底面中心开有小孔，其中心轴线在同一直线上，相邻金属圆筒分别接在周期性交
变电压的两端。粒子从圆板中心沿轴线无初速度进入加速器，在间隙中被电场加速（穿过间隙
的时间忽略不计），在圆筒内做匀速直线运动。若粒子在筒内运动时间恰好等于交变电压周期
的一半，这样粒子就能“踏准节奏”在间隙处一直被加速。粒子离开加速器后，从O点垂直直
线边界OP进入匀强磁场区域I，OP距离为a，区域I的PO、PQ两直线边界垂直。区域I的上
边界PQ与匀强磁场区域Ⅱ的下直线边界MN平行，其间距L可调。两区域的匀强磁场方向均
垂直纸面向里，磁感应强度大小 2 √2mU 。现有质子（ ）和氘核（ ）两种粒子
B= 0 1H 2H
1 1
α q
先后通过此加速器加速，加速质子的交变电压如图乙所示，图中 U 、T已知。已知质子的电荷
0
量为q、质量为m，不计一切阻力，忽略磁场的边缘效应。求：
（1）金属圆筒2与金属圆筒4的长度之比l ：l ；
2 4
（2）加速氘核时，交变电压周期仍为T，则需要将图乙中交变电压U 调至多少；加速后，氘核
0
在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径多大；
（3）为使上述先后通过此加速器的质子与氘核在匀强磁场Ⅱ中的运动轨迹无交点，两磁场间距
L的取值范围。
