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秘籍 11 带电粒子在电场中的直线、偏转、交变电场中运动的
综合问题
一、带电粒子在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F ＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动。
合
(2)匀强电场中，粒子所受合外力F ≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀
合
加速直线运动或匀减速直线运动。
2．用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v 2＝2ad(匀强电场)。
0
3．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv 2。
0
非匀强电场中：W＝qU＝E －E 。
k2 k1
二、带电粒子在电场中的偏转运动
1.求解电偏转问题的两种思路
以示波管模型为例,带电粒子经加速电场U 加速,再经偏转电场U 偏转后,需再经历一段匀速直
1 2
线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P,如图所示。
(1)确定最终偏移距离OP的两种方法
方法1:
方法2:(2)确定粒子经偏转电场后的动能(或速度)的两种方法
2.带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动
(1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)．
(2)沿静电力方向做匀加速直线运动
①加速度：a＝＝＝
②离开电场时的偏移量：y＝at2＝
③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝
3．两个重要结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后
再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
证明：
在加速电场中有qU ＝mv 2，
0 0
在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2
偏转角θ，tan θ＝＝，
得：y＝，tan θ＝
y、θ均与m、q无关．
(2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点 O为粒子水平位移的中
点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半．
三、带电粒子在交变电场中的运动
1.交变电场中的直线运动
U-t图像 v-t图像 运动轨迹2.交变电场中的偏转（带电粒子重力不计）
U-t图
v 0 v 0 v v 0
轨迹图 v 0
0
[来
源:Zxxk.Com]
v v
y A 速度不反向 y A
v v 速度反向
0 0 B
v y -t图 B O T/2 T t
O T/2 T t -v 0
单向直线运动 往返直线运动【题型一】带电粒子在电场中的直线运动
【典例1】（2024·湖南长沙·一模）如图所示，阴极K发射的电子（初速度可视为零）经电压
为 的电场加速后，从A板上的小孔进入由A、B两平行金属板组成的电容为C的电容器中，
开始时B板不带电，电子到达B板后被吸收。己知电子的电荷量为e，不计电子重力以及电
子之间的相互作用，当电子不能到达B板时（ ）
A．在这之后，任何从小孔进入电容器的电子速度第一次减为0所用的时间（从刚进入电
容器时开始计时）相等
B．B板的电势和阴极K的电势相等
C．B板的电荷量为
D．电子从阴极K到B板电势能一直减小
【典例2】（2024·海南·一模）如图所示，与 坐标系平面平行的匀强电场（未画出）中有
一个电荷量为q的正粒子，从坐标原点O处沿与x轴正方向成 角的虚线匀速运动。已知粒
子在运动过程中始终受到一个大小为F、方向沿x轴正向的恒定外力的作用，不计粒子的重
力。则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为B．虚线上相距为L的两点间的电势差绝对值为
C．粒子沿虚线运动距离L的过程中，静电力做功为
D．粒子沿虚线运动距离L的过程中，电势能增加了
【典例3】（2024·天津·一模）如图所示，匀强电场中一个质量为m、电荷量为q的带正电荷
的粒子在A点获得初速度 后沿水平方向AB向右做匀减速运动。BC与AC垂直，B点与C点
的电势相等。重力加速度为g。下列判断正确的是（ ）
A．场强大小为 B．场强大小为
C．电场方向水平向左 D．电场方向沿CA方向
1．（2024·河北·模拟预测）如图所示，水平边界PQ、MN间存在方向竖直向下的匀强电场，
电场的宽度为L。一绝缘轻杆两端分别固定质量为m的带电小球A、B，A、B两小球所带的
电荷量分别为 、 。现将该装置移动到边界PQ上方且使轻杆保持竖直，使球B刚好位
于边界PQ上，然后由静止释放该装置，释放后该装置的轻杆始终保持竖直且做周期性往复
运动。已知电场强度的大小 （g为重力加速度），忽略两带电小球对电场的影响，两
小球均可视为质点。则该装置中轻杆的最大长度为（ ）
A．L B．2L C．3L D．4L
2．（2024·山西·一模）如图所示，竖直平面内有一组平行等距的水平实线，可能是电场线或
等势线。在竖直平面内，一带电小球以 的初速度沿图中直线由 运动到 ，下列判断正确的是（ ）
A．小球一定带负电荷
B． 点的电势一定比 点的电势高
C．从 到 ，小球的动能可能减小，也可能不变
D．从 到 ，小球重力势能增大，电势能也可能增大
3．（2024·四川成都·二模）如图，空间中存在水平向右的匀强电场，两个质量相等的带电小
球 分别从 两点同时由静止释放，结果都能到达 点。 点在A点的正上方， 连线
与水平方向的夹角为 ，两小球均可视为质点，忽略空气阻力和两小球之间的相互作用。
下列说法正确的是（ ）
A．a球在到达C点的过程中做曲线运动
B．a球所受电场力大于b球所受电场力
C．在两小球到达C点的过程中，a球电势能的减小量小于b球电势能的减小量
D．a球经过C点时的动能小于b球经过C点时的动能
【题型二】 带电粒子在电场中的偏转运动
【典例1】（23-24高二下·河北保定·开学考试）如图所示，一充电后与电源断开的平行板的
两极板水平放置，板长为 ，板间距离为 ，距板右端 处有一竖直屏 。一带电荷量为 、
质量为 的质点以初速度 沿中线射入两板间，最后垂直打在 上，重力加速度大小为 ，
下列说法正确的是（ ）A．两极板间电压为
B．质点通过电场过程中电势能减少
C．若仅增大初速度 ，则该质点不可能垂直打在 上
D．若仅增大两极板间距，则该质点不可能垂直打在 上
【典例2】（2024·江西赣州·一模）水平台边缘O处一质量为m、带电量为+q的小球，以与
水平面成30°角的速度斜向上抛出，在竖直面上运动，整个空间有一匀强电场（图中未画出），
小球所受电场力与重力等大。小球先后以速度大小v 、v 两次抛出，分别落在倾角为60°的斜
1 2
面上的a、b两点，两次运动时间分别为t 、t 且小球机械能的增量相同，其中落到a点时小
1 2
球速度与斜面垂直。已知O、b两点等高且水平距离为L，重力加速度为g，空气阻力不计，
则（ ）
A．a、b两点电势为
B．小球落到a时的速度大小为2v
1
C．两次运动的时间关系为
D．落到斜面上a、b两点时增加的机械能为
【典例3】（2024·江苏南通·一模）某种负离子空气净化原理如图所示，空气和带负电的灰尘
颗粒物组成的混合气流从左侧进入由一对平行金属板构成的收集器，颗粒物在磁场和电场的
作用下，打到金属板上被收集．已知颗粒物的质均为 ，电荷量均为 ，初速度大小均为 、
方向与金属板平行，金属板长为 ，间距为 ，不考虑重力影响和颗粒间相互作用．（1）若金属板间只加匀强电场，上极板带负电．不计空气阻力，板间电压为 时，颗粒物全
部被收集，求电压 的范围；
（2）若金属板间只加匀强磁场，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，颗粒物全部被收集，求
磁感应强度大小 的范围；
（3）若金属板间存在匀强电场和磁感应强度大小为 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，收集
器中气流的速度大小为 ，方向沿板的方向保持不变．颗粒物所受阻力与其相对于空气的速
度 方向相反，大小 为常量．若板间电压为 ，上极板带负电，假设颗粒物进入收集
器后极短时间内加速到最大速度，此后做匀速运动，颗粒物恰好全部被收集，求电压 的大
小．
1．（2024·江苏扬州·二模）如图所示，质子和 粒子分别从 点由静止开始经过M、N板间
的电场加速后，从 处垂直射入偏转电场。质子落在感光板上的 点，则 粒子（ ）
A．落在 点，速度方向与质子的相同
B．落在 点，速度方向与质子的不同
C．落在 点左侧，速度方向与质子的相同
D．落在 点右侧，速度方向与质子的不同
2．（2024·天津和平·一模）如图所示，质量相同、带等量异种电荷的甲、乙两粒子，先后从
S点沿SO方向垂直射入匀强电场中，分别经过圆周上的P、Q两点，不计粒子间的相互作用
及重力，则两粒子在圆形区域内运动过程中（ ）A．甲粒子的入射速度小于乙粒子 B．甲粒子所受电场力的冲量小于乙粒子
C．甲粒子在P点的速度方向可能沿OP方向D．电场力对甲粒子做的功小于对乙粒子做
的功
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图所示为两组平行金属板，一组竖直放置，一组水平放
置，今有一质量为 、电荷量为 带电微粒静止在竖直放置的平行金属
板的 点，经电压 加速后通过 点小孔进入两板间距为 、板长 、电
压为 的水平放置的平行金属板间，若带电微粒从水平平行金属板的右侧穿出， 、
虚线为两块平行板的中线，带电微粒的重力和所受空气阻力均可忽略。求：
（1）带电微粒通过 点时的速度大小；
（2）带电微粒通过水平金属板过程中电场力对其做功为多少？
【题型三】 带电粒子在交变电场中的偏转运动
【典例1】（23-24高三上·浙江·阶段练习）粒子直线加速器原理示意图如图1所示，它由多
个横截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交
变电源相连，交变电源两极间的电压变化规律如图 2所示。在 时，奇数圆筒比偶数圆筒
电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为 0）的中央有一自由电子由静止开始发射，
之后在各狭缝间持续加速。若电子质量为 ，电荷量为 ，交变电源电压为 ，周期为 。不
考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒狭缝的时间。下列说法正确的是（
）A．要实现加速，电子在圆筒中运动的时间必须为
B．电子出圆筒2时的速度为出圆筒1时速度的两倍
C．第 个圆筒的长度应满足
D．要加速质子，无须改变其他条件但要在 到 时间内从圆板处释放
【典例2】（2024·贵州·一模）如图（a），水平放置长为l的平行金属板右侧有一竖直挡板。
金属板间的电场强度大小为 ，其方向随时间变化的规律如图（b）所示，其余区域的电场忽
略不计。质量为m、电荷量为q的带电粒子任意时刻沿金属板中心线 射入电场，均能通过
平行金属板，并打在竖直挡板上。已知粒子在电场中的运动时间与电场强度变化的周期T相
同，不计粒子重力，则（ ）
A．金属板间距离的最小值为
B．金属板间距离的最小值为
C．粒子到达竖直挡板时的速率都大于
D．粒子到达竖直挡板时的速率都等于
【典例3】（2024·四川成都·二模）电子扩束装置由电子加速器、偏转电场和偏转磁场组成。
偏转电场的极板由相距为d的两块水平平行放置的导体板组成，如图甲所示。大量电子由静
止开始，经加速电场加速后速度为v ，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间OO'射入偏
0
转电场。当两板不带电时，这些电子通过两板之间的时间为2t ；当在两板间加最大值为U ，
0 0
周期为2t₀的电压（如图乙所示）时，所有电子均能从两板间通过，然后进入竖直长度足够大
的匀强磁场中，最后打在竖直放置的荧光屏上。已知磁场的水平宽度为L，电子的质量为
m、电荷量为e，其重力不计。
（1）求电子离开偏转电场时到OO'的最远距离和最近距离；
（2）要使所有电子都能打在荧光屏上，求匀强磁场的磁感应强度B的范围；（3）在满足第（2）问的条件下求打在荧光屏上的电子束的宽度△y。
1．（2024·山东德州·模拟预测）如图1，在矩形MNPQ区域中有平行于PM方向的匀强电场，
电场强度为 ，一电荷量为 ，质量为m带电粒子以 的初速度从M点沿MN方向进入匀强
电场，刚好从Q点射出。 ， 。现保持电场强度的大小不变，使匀强
电场的方向按图2做周期性变化。使带电粒子仍以 的初速度从M点沿MN方向进入，粒子
刚好能从QN边界平行PQ方向射出。不计粒子重力，取图1中方向为电场正方向。则下列说
法正确的是（ ）
A．电场强度大小为
B．电场强度大小为
C．电场变化的周期可能为
D．电场变化的周期可能为
2．某款空气净化器采用了“等离子灭活”技术，内部有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个真空区域，其中
L=5cm，如下图所示。Ⅰ区中平行金属板A、B与电源连接（图中未画出），其中B板接地
（电势为零），A板的电势变化周期为 s，规律如下（中）图所示，B板粒子发生处能连续均匀地释放质量 kg，电量 C的带电粒子。Ⅱ、Ⅲ两条形区存
在着宽度分别为L，0.5L，竖直方向无界、方向相反的匀强磁场，其中 ，
T，不计粒子间的相互作用力和重力。求：
（1）一个周期内穿出电场的粒子数和B板所释放的粒子数之比；
（2）一个周期内穿过Ⅱ区进入Ⅲ区的粒子数和B板所释放的粒子数之比；
（3）粒子将从Ⅲ区右边界的不同位置穿出，求穿出位置最高点与最低点之间的距离。
3．（2024·福建漳州·二模）如图甲的空间中存在随时间变化的磁场和电场，规定磁感应强度
B垂直xOy平面向内为正方向，电场强度E沿x轴正方向为正方向，B随时间t的变化规律如
图乙，E随时间t的变化规律如图丙。 时，一带正电的粒子从坐标原点O以初速度 沿y
轴负方向开始运动。已知 、 、 ，带电粒子的比荷为 ，粒子重力不计。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的周期T；
（2）求 时，粒子的位置坐标 ；
（3）在 内，若粒子的最大速度是 ，求 与 的比值。
