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第04 讲 万有引力定律及其应用
目录
考点一 开普勒行星运动定律 万有引力定律的理解4
........4
.............4
1. 开普勒行星运动定律的深入理解.....................4
2. 万有引力定律的深入理解.................................5
3. 万有引力与重力的关系.....................................5
..................6
考点二 万有引力定律综合应用 天体质量和密度. .7
........7
.............8
1. 万有引力定律的应用.........................................8
2. 天体质量及密度的计算.....................................8
3. 星球“瓦解”问题及黑洞.................................9
..................9
考点三 宇宙速度 天体、卫星运行参数及规律 同步卫星10
......10
...........11
1. 宇宙速度...........................................................11
2. 卫星轨道...........................................................11
3. 天体及卫星运动的规律...................................12
4. 特殊卫星...........................................................12
5. 同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较.......13
................13
考点四 卫星变轨、对接、追及相遇问题 双星问题16
1
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......16
...........17
1. 卫星变轨...........................................................17
2. 卫星追及问题...................................................18
3. 双星问题...........................................................18
................19
2
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考点要求
考题统计
开普勒行星运动定律
万有引力定律的理解
2023•山东•统考高考真题、2022•全国•统考高考真题、2022•北京•高考真题、
2021•山东•高考真题、2021•全国•高考真题、2021•福建•统考高考真题
万有引力定律综合应用
天体质量和密度
2023•山西•统考高考真题、2023•辽宁•统考高考真题、2023•北京•统考高考真
题
2022•重庆•高考真题、2022•浙江•统考高考真题、2021•重庆•高考真题、2021•
全国•高考真题、2021•广东•高考真题
宇宙速度
天体、卫星运行参数及规律
同步卫星
2023•重庆•统考高考真题、2023•浙江•统考高考真题、2023•天津•统考高考真
题、2023•江苏•统考高考真题、023•湖南•统考高考真题、2022•天津•高考真
题、2022•山东•统考高考真题、2022•辽宁•高考真题、2022•湖北•统考高考真
题、2022•河北•统考高考真题、2022•广东•高考真题、2021•浙江•统考高考真
题、2021•辽宁•统考高考真题、2021•江苏•高考真题、2021•湖南•高考真题、
2021•河北•高考真题、2021•海南•高考真题
卫星变轨、对接、
追及相遇问题
双星问题
2023•浙江•高考真题、2023•湖北•统考高考真题、2023•海南•统考高考真题、
2023•广东•统考高考真题、2023•福建•统考高考真题、2023•北京•统考高考真
题、2022•浙江•统考高考真题、2022•湖南•统考高考真题、2021•天津•高考真
题、2021•湖北•统考高考真题、2021•北京•高考真题
考情分析
【命题规律及方法指导】
1.命题重点考查平抛运动、圆周运动等运动特点和动力学规律
2.常用方法：构建模型、分析和推理，两个模型（天上模型：万有引力提供向心力规律来
分析天体运动问题；地上模型：万有引力等于重力（忽略自转）），比例法分析问题.
3.常考题型：选择题，计算题．
【命题预测】
本专题属于热点内容；
高考命题主要以选择题的形式出现（北京卷中会以计算题的形式出现），多以航天技术为
背景，因此要多关注我国航空航天技术发展的最新成果,。
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考点一 开普勒行星运动定律 万有引力定律的理解
1．（2021·全国·高考真题）2021 年2 月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近
火制动后，进入运行周期约为1.8×105s 的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已
知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与
火星表面的最远距离约为（ ）
A．6×105m
B．6×106m
C．6×107m
D．6×108m
2. （2023·山东·统考高考真题）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间
（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足
。已知地月之间的距离r 大约是地球半径的
60 倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
3. （2021·山东·高考真题）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际
的跨越。已知火星质量约为月球的9 倍，半径约为月球的2 倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球
车的2 倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”
与“玉兔”所受陆平台的作用力大小之比为（ ）
A．9∶1
B．9∶2
C．36∶1
D．72∶1
1. 开普勒行星运动定律的深入理解
1）由开普勒第二定律可得
，解得
，即行星在两个位置的速度之比与到太阳
的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
2）当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行
星的周期问题时，选用开普勒第三定律．
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2. 万有引力定律的深入理解
1）两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力
2）推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F
引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球
体(M′)对它的万有引力，即F＝G.
3. 万有引力与重力的关系
1）地球对物体的万有引力F 表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F 向,
①在赤道上:
G Mm
R2 =mg+mω2 R
.
②在两极上:
G Mm
R2 =mg
.
③一般位置:
G Mm
R2 =mg+mω2r
.
式中r 为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g 值越大，由于物体随地
球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即
G Mm
R2 =mg
.
2）星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h 处的重力加速度为g′，
G
Mm
(R+h)2=m g
'
，得
g'=
GM
(R+h)2
.
所以
g'
g =
R2
(R+h)2
，
式中g 为地球表面附近重力加速度.
1．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）2021 年2 月，执行我国火星探测任务的“天问一
号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为
的椭圆形停泊轨道。根据开普勒行星
运动定律，下列说法正确的是（ ）
A．太阳位于火星运行轨道的中心
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B．火星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．相同时间内，火星与太阳中心的连线扫过的面积相等
D．火星轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方的比值是定值
2. （2023·湖南·统考模拟预测）2023 年7 月10 日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学
院紫金山天文台发现的、国际编号为381323 号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，“樊锦诗星”
绕日运行的椭圆轨道面与地球圆轨道面间的夹角为20.11 度，轨道半长轴为3.18 天文单位（日地距离为1
天文单位），远日点到太阳中心距离为4.86 天文单位。若只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（
）
A．“樊锦诗星”绕太阳一圈大约需要2.15 年
B．“樊锦诗星”在远日点的速度大于地球的公转速度
C．“樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为
D．“樊锦诗星”在远、近日点的速度大小之比为
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考点二 万有引力定律综合应用 天体质量和密度
1. （2021·广东·高考真题）2021 年4 月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若
核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ）
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
2.（2021·全国·高考真题）科学家对银河系中心附近的恒星S2 进行了多年的持续观测，给出1994 年到
2002 年间S2 的位置如图所示。科学家认为S2 的运动轨迹是半长轴约为
（太阳到地球的距离为
）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020 年诺贝尔物理学奖。若认
为S2 所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3. （2023·辽宁·统考高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图
所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k 倍，则地球
与太阳的平均密度之比约为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2022·重庆·高考真题）（多选）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做
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匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的
倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略
地球自转的影响，则（ ）
A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
B．空间站绕地球运动的线速度大小约为
C．地球的平均密度约为
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的
倍
1. 万有引力定律的应用
1）基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即F引=F向得：
G Mm
r2 =m v2
r =mω2r=m 4π2
T 2 r=ma
2）应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算
2. 天体质量及密度的计算
1）天体表面处理方法
①天体质量，由
G Mm
R2 =mg
，得天体质量
M=gR2
G
.
②天体密度，由天体质量及球体体积公式
V = 4
3 πR3
，得天体密度
ρ=
3g
4 π GR
2）利用环绕天体处理方法
①天体质量，由
G Mm
r2 =m 4π2
T 2 r
，得天体质量
M= 4 π2r3
GT2
.
②天体密度，由天体质量及球体体积公式
V = 4
3 πR3
，得天体密度
ρ= 3 πr3
GT 2 R3
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度
ρ= 3 π
GT 2 ，故只要
测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
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3. 星球“瓦解”问题及黑洞
1）星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起
来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝
mω2R，得ω＝.当ω>
，星球瓦解，当
时
ω<
，星球
定运行．
时
稳
2）黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行
的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天
体就是黑洞．
1．（2023·广东·模拟预测）我国在航天技术方面取得了瞩目的成就，早在2021 年2 月10 日“天问一号”
成功实施了火星捕获，5 月择机实施降轨软着陆火星表面。航天中心测得：当“天问一号”距火星表面高
度约为火星半径的2 倍时，其环绕周期为T。已知万有引力常量为G，则火星的密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2024·河南·校联考模拟预测）木星有79 颗卫星，其中木卫三是太阳系中已知的唯一一颗拥有磁圈和一
层稀薄的含氧大气层的卫星，这引起了科学家的高度重视。若木卫三绕木星做匀速圆周运动的半径为r，
周期为T，木星表面的重力加速度为g，木星的半径为R，引力常量为G，忽略木星的自转及卫星之间的相
互作用力，则下列说法正确的是（ ）
A．木星的质量为
平均密度为
B．木星的质量为
平均密度为
C．木卫三的质量为
平均密度为
D．木卫三的质量为
平均密度为
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考点三 宇宙速度 天体、卫星运行参数及规律 同步卫星
1.（2021·江苏·高考真题）我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断
创造奇迹。“北斗”第49 颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球
自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星（ ）
A．运动速度大于第一宇宙速度
B．运动速度小于第一宇宙速度
C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
2．（2023·天津·统考高考真题）运行周期为
的北斗卫星比运行周期为
的（ ）
A．加速度大
B．角速度大
C．周期小
D．线速度小
3.（2021·海南·高考真题）2021 年4 月29 日，我国在海南文昌用长征五号B 运载火箭成功将空间站天和核
心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为
左右，地球同步卫星距地面的高度接近
。则该核心舱的（ ）
A．角速度比地球同步卫星的小
B．周期比地球同步卫星的长
C．向心加速度比地球同步卫星的大
D．线速度比地球同步卫星的小
4. （2022·广东·高考真题）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬
季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88 倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为
匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（ ）
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
5.（2022·河北·统考高考真题）2008 年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16 米望远镜，发
现了一颗绕恒星HD173416 运动的系外行星HD173416b，2019 年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别
命名为“羲和”和“和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2 倍，若将望舒与地球的公
转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
6. （2022·天津·高考真题）2022 年3 月，中国空间站“天宫课堂”再次开讲，授课期间利用了我国的中继
卫是系统进行信号传输，天地通信始终高效稳定。已知空间站在距离地面400 公里左右的轨道上运行，其
运动视为匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是距离地面36000 公里左右的地球静止轨道卫星（同步卫
星），则该卫星（ ）
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A．授课期间经过天津正上空
B．加速度大于空间站的加速度
C．运行周期大于空间站的运行周期
D．运行速度大于地球的第一宇宙速度
1. 宇宙速度
1） 第一宇宙速度:7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度.
【技巧点拨】第一宇宙速度推导
①方法一：
由
G Mm
r2 =m v2
r ⇒v=√
GM
r =√
6.67×10-11×5.98×1024
6.4×106
≈7.9km /s
，
②方法二：由
mg=m v2
r ⇒v=√gR=√9.8×6.4×106≈7.9km /s
.
【技巧点拨】第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它
的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 078 s≈85 min.
2）第二宇宙速度（脱离速度）:11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
3）第三宇宙速度（逃逸速度）:16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
【技巧点拨】宇宙速度与运动轨迹的关系
①v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
②7.9 km/s<v 发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．
③11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动．
④v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
2. 卫星轨道
1）卫星轨道：卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道。
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3. 天体及卫星运动的规律
1）基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即F引=F向得：
G Mm
r2 =m v2
r =mω2r=m 4π2
T 2 r=ma
2）基本公式：
①
线速度：
G Mm
r2 =m v2
r ⇒v=√
GM
r
②角速度：
G Mm
r2 =mω2r ⇒ω=√
GM
r3
③周期：
G Mm
r2 =m 4π2
T 2 r ⇒T =2π√
r3
GM
④向心加速度：
G Mm
r2 =ma ⇒a= GM
r2
结论：飞得越高，飞得越慢（r 越大，v、ω、a 越小，T 越大）．
【技巧点拨】公式中r 指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R 通常指中心天体的半
径，有r＝R＋h.．
4. 特殊卫星
1）近地卫星
轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9
km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
2）极地卫星
运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
【技巧点拨】近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星
3）地球同步卫星
所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕
地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度
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h=3√
gR2T 2
4π2 −R=3.56×107m
，运行速率均为v＝3.1×103 m/s，
同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的
线速度，角速度和周期运行着.
4）倾斜轨道“同步” 卫星*：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，
则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周
期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，
只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。
5） 月球：绕地球的公转周期T＝27.3 天，月球和地球间的平均距离约38 万千米，大约是地球半径的
60 倍．
5. 同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
1）地球同步卫星与赤道物体的区别：属于同轴转动，角速度、周期相同。
2）同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
如图所示，2 为近地卫星，轨道半径为r2；3 为地球同步卫星，轨道半径为r3；4 为高空卫星，轨
道半径为r4；1 为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r1.
【技巧点拨】
①比较赤道上物体与同步卫星，用同轴转动的知识分析；
②比较近地卫星、同步卫星、高空卫星，用天体轨道与运动规律分析；
1.（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）如图所示，a 为放在赤道上相对地球静止的物体，
随地球自转做匀速圆周运动，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半
径），c 为地球的同步卫星。下列关于a、b、c 的说法中正确的是（ ）
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A．地球同步卫星都与c 在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等
B．a、b、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为
C．a 物体与地球的万有引力全部提供给a 物体随地球自转的向心力
D．a、b、c 做匀速圆周运动的周期关系为
2. （2021·湖南·高考真题）（多选）2021 年4 月29 日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨
道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022 年完成空间站在轨建造。核心舱绕地
球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的
。下列说法正确的是（ ）
A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的
倍
B．核心舱在轨道上飞行的速度大于
C．核心舱在轨道上飞行的周期小于
D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
3.（2023·湖北·模拟预测）（多选）2021 年5 月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际
探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。
火星与地球每隔约26 个月相距最近，地球公转周期为12 个月。由以上条件可以近似得出（ ）
A．地球与火星的自转周期之比
B．火星的公转周期大约为
C．地球与火星轨道半径之比
D．地球与火星表面重力加速度大小之比
4.（2024·江西景德镇·江西省乐平中学校联考一模）2022 年9 月2 日，韦布空间望远镜拍摄的编号为“HIP
65426 b”第一张系外行星图像公布。这颗系外行星围绕编号为“HIP 65426”的恒星公转，该恒星的质量约
为太阳质量的2 倍，单位时间内向外辐射的能量为太阳的4 倍，若“HIP 65426 b”行星单位时间单位面积获
得的恒星辐射能量与处在太阳系中的地球相同，系外行星和地球绕恒星的运动均可视为匀速圆周运动，则
“HIP 65426 b”行星绕“HIP 65426”恒星公转的周期约为（ ）
A．1 年
B．2 年
C．4 年
D．8 年
5.（2024·广东江门·统考模拟预测）2023 年8 月12 日我国在西昌卫星发射中心成功发射了一颗名为陆地探
测四号的卫星，这是世界上第一颗在同步静止轨道上运行的合成孔径雷达（SAR）卫星。同步静止卫星的
离地高度比近地卫星高，下列说法正确的是（ ）
A．同步静止卫星可以运行在江门市正上方
B．同步静止卫星的线速度比近地卫星大
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C．同步静止卫星的周期比近地卫星大
D．同步静止卫星受到的万有引力一定比近地卫星小
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考点四 卫星变轨、对接、追及相遇问题 双星问题
1.（2022·浙江·统考高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P 点沿地火转移轨道到Q 点，
再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（ ）
A．发射速度介于7.9km/s 与11.2km/s 之间
B．从P 点转移到Q 点的时间小于6 个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
2.（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行
到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星
绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称
地球
火
星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为（ ）
A．火星365 天
B．火星800 天
C．天王星365 天
D．天王星800 天
3.（2023·福建·统考高考真题）（多选）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的
拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地
球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心
连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M 和m，航天器的质量远小
于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），
在L2点的航天器绕O 点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似
]
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A．
B．
C．
D．
1. 卫星变轨
1）变轨操作：1→2→3
①在1 轨道Q 点点火加速，万有引力不足以提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离
心运动，进入轨道2
②在2 轨道中，从Q 点到P 点飞行过程中，万有引力做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角
大于90°，航天飞机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。
在2 轨道P 点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆周运动向心力，如果不进行任何操作，航天
飞机做向心运动，沿着椭圆轨道2 运行回Q，从P 到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向
夹角小于90°，航天飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。
③在2 轨道P 点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将
沿着3 轨道运行，完成变轨操作
2）各点参数关系
①线速度大小：v2Q>v1>v3>v2 P
②角速度关系：
③向心加速度关系：
④周期关系：T 1<T 2<T 3
⑤能量关系：E1<E2<E3
2. 卫星追及问题
1）两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两
卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相
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遇问题。
2）分类
①最近到最近
②最近到最远
3. 双星问题
1）模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．
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2）特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
G m1m2
L2
=m1ω1
2r1,G m1m2
L2
=m2ω2
2r2
.
②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1=T 2,ω1=ω2 .
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1+r2=L .
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝.
1.（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）2023 年2 月23 日19 时49 分，我国在西昌卫星发射中心使用长征
三号乙运载火箭，将中星26 号卫星顺利送入预定轨道。5 月，中星26 号首次在境外实现国际互联网业务
应用，开启了Ka 高通量卫星国际化业务的新征程。如图所示，中星26 号经I 轨道（近地轨道）由近地点
变轨进入II 轨道（转移轨道），经远地点变轨进入III 轨道（同步卫星轨道）后稳定运行。已知三个轨道
在同一平面内，地球的半径为R，III 轨道的半径为7R，中星26 号在III 轨道上稳定运行的周期为T。下列
关于中星26 号的说法正确的是（ ）
A．在I 轨道上运行的加速度大小为
B．在I 轨道上绕行速度的大小为
C．在远地点的速度小于其在I 轨道上运行的速度
D．在II 轨道上由近地点至远地点所用的最短时间为
2.（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向
如图所示。已知卫星一运行的周期为
，地球的半径为
，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为
，
，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为
，下列说法正确的是（
）
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A．卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能
B．地球的质量
C．卫星二围绕地球做圆周运动的周期
D．从图示时刻开始，经过
时间两卫星第一次相距最近
3.（2024·湖南郴州·统考模拟预测）2023 年1 月9 日天文学家发现有史以来距离最近的两个黑洞，相距750
光年，设质量大的为A，质量小的为B，它们在彼此之间的引力作用下互相环绕，周期相等，如图所示，
不考虑其它星体对它们的作用，下列说法正确的是（ ）
A．A、B 的速度之比等于它们质量反比
B．A、B 组成的系统能量守恒，动量不守恒
C．若A、B 的间距增大，则周期越小
D．若A、B 因吞噬物质质量都增大而其中心间距不变，则它们的角速度不变
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