专题1.4万有引力定律与航天（练）-2023年高考物理二轮复习讲练测（新高考专用）（解析版）_4.2025物理总复习_2023年新高复习资料_二轮复习_2023年高考物理二轮复习讲练测（新高考专用）

2023 年高考物理二轮复习讲练测（新高考专用） 专题一 力与运动（练） 1.4 万有引力定律与航天 第一部分：练真题 【2022年真题】 1、（2022·上海卷·T10）木卫一和木卫二都绕木星做匀速圆周运动，它们的周期分别为42h46min和 85h22min，它们的轨道半径分别为R和R，线速度分别为v和v。则（ ） 1 2 1 2 A. R＜R ， v＜v 1 2 1 2 B. R＞R ， v＜v 1 2 1 2 C. R＞R ， v＞v 1 2 1 2 D. R＜R ， v＞v 1 2 1 2 【答案】D 【解析】卫星绕木星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据 =mR ，可得R= ，由 题述可知，T=42h46min，T=85h22min，T＜T，根据R= ，可知R＜R。根据 =m ，可得v= 1 2 1 2 1 2 ，由R＜R可知，v＞v。所以选项D正确。 1 2 1 2 2、（2022·辽宁卷·T9）如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水 星连线与地球—太阳连线夹角 ，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角 ，两角最大值分别为 、 则 （ ） A. 水星的公转周期比金星的大 B. 水星的公转向心加速度比金星的大 的 C. 水星与金星 公转轨道半径之比为 D. 水星与金星的公转线速度之比为 【答案】BC 【解析】 AB．根据万有引力提供向心力有可得 因为水星的公转半径比金星小，故可知水星的公转周期比金星小；水星的公转向心加速度比金星的大，故A错 误，B正确； C．设水星的公转半径为 ，地球的公转半径为 ，当α角最大时有 同理可知有 所以水星与金星的公转半径之比为 故C正确； D．根据 可得 结合前面的分析可得 故D错误； 故选BC。 3、（2022·湖南卷·T8）如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的 轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动， 称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星 位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（ ）A. 火星的公转周期大约是地球的 倍 B. 在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行 C. 在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行 D. 在冲日处，火星相对于地球的速度最小 【答案】CD 【解析】 A．由题意根据开普勒第三定律可知 火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得 故A错误； BC．根据 可得 由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星运行线速度小于地球运行线速度，所以在冲日处火星相对于地球 由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确； D．由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。 故选CD。 4、（2022·广东卷·T2）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是 各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆 周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（ ） A. 火星公转的线速度比地球的大 B. 火星公转的角速度比地球的大 C. 火星公转的半径比地球的小 D. 火星公转的加速度比地球的小 【答案】D 【解析】 由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期C．根据 可得 可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误； A．根据 可得 结合C选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误； B．根据 可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误； D．根据 可得 可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。 故选D。 5、（2022·山东卷·T6）“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的 运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点 正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和 号”卫星轨道距地面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律得解得 根据题意可知，卫星的运行周期为 根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有 联立解得 故选C。 6、（2022·全国乙卷·T14）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约 的 “天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨 道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ ） A. 所受地球引力的大小近似为零 B. 所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零 C. 所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等 D. 在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小 【答案】C 【解析】 ABC．航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，AB 错误； D．根据万有引力公式 可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船所受的万有引力大小，因此地球表面引力大于其随飞船运动所需 向心力的大小，故D错误。 故选C。 7、（2022·浙江6月卷·T6）神州十三号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离天和核心 舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则（ ） A. 天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大 B. 返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力 C. 质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行 D. 返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒 【答案】C 【解析】 AC．根据可得 可知圆轨道距地面高度越高，环绕速度越小；而只要速度相同了就可以在同一轨道运行，与返回舱和天和核心 舱的质量无关，故A错误，C正确； B．返回舱中的宇航员处于失重状态，仍然受到地球引力作用，地球的引力提供宇航员绕地球运动的向心力， 故B错误； D．返回舱穿越大气层返回地面过程中，有阻力做功产生热量，机械能减小，故D错误。 故选C。 8、（2022·浙江1月卷·T8）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再 依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（ ） A. 发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月 C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【答案】C 【解析】 A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于 11.2km/s与 16.7km/s之间，故A错误； B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个 月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误； C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨 道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； D．卫星从P点变轨时，要加速增大速度，此后做离心运动速度减小，则在地火转移轨道运动时的速度P点速 度大于地球绕太阳的速度，故D错误； 故选C。 9、（2022·重庆卷·T9）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运 动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的 倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响， 则（ ） A. 漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力 B. 空间站绕地球运动的线速度大小约为C. 地球的平均密度约为 D. 空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的 倍 【答案】BD 【解析】 A．漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供向心力做匀速圆周运动而处于完全失重，视重 为零，故A错误； B．根据匀速圆周运动的规律，可知空间站绕地球运动的线速度大小约为 故B正确； C．设空间站的质量为 ，其所受万有引力提供向心力，有 则地球的平均密度约为 故C错误； D．根据万有引力提供向心力，有 则空间站绕地球运动的向心加速度大小为 地表的重力加速度为 可得 即空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的 倍，故D正确。 故选BD。 10、（2022·海南卷·T10）火星与地球的质量比为a，半径比为b，则它们的第一字宙速度之比和表面的重力加速度之比分别是（ ） A． B． = C． D． 【答案】BC 【解析】由mg=G 可得火星与地球表面的重力加速度之比是 = = ，选项A错误C正确；由 v= 可得火星与地球的第一字宙速度之比是 = = ， 选项B正确D错误。 1 11、（2022·北京卷·T19）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。 （1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为，在远日点速度为 。求从近日点到远日 点过程中太阳对行星所做的功W。 （2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（ ）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作 用力F与r的平方成反比。 （3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后 绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为 ，绕此恒星公转的 周期为 ，求 。 【解析】 （1）根据动能定理有 （2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。 恒星对行星的作用力F提供向心力， 则 运动周期 根据开普勒第三定律 ，k为常量。 得 即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为 。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量 。 设地球绕太阳公转半径为 ，在新轨道上公转半径为 。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须 满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍， 得 设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T。 万有引力提供向心力 得 由于恒星质量是太阳质量的2倍， 得 12、（2022·江苏卷·T14）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货 物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上 的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为 、角速度为 的匀速圆 周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B 点，A、B间的距离为L。 （1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小 ； （2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。 （3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做 匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物 所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比 。 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】 （1）质量为 的货物绕 点做匀速圆周运动，半径为 ，根据牛顿第二定律可知（2）货物从静止开始以加速度 做匀加速直线运动，根据运动学公式可知 解得 货物到达 点时的速度大小为 货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即为货物所受合力 ，所以 经过 时间，货物运动到 点时机械臂对其做功的瞬时功率为 （3）空间站和货物同轴转动，角速度 相同，对质量为 空间站，质量为 的地球提供向心力 解得 货物在机械臂的作用力 和万有引力 的作用下做匀速圆周运动，则 货物受到的万有引力 解得机械臂对货物的作用力大小为 则 【2021年真题】1、（2021·重庆卷·T8） 2021年5月15日“祝融号”火星车成功着陆火星表面，是我国航天事业发展中具 有里程碑意义的进展。此前我国“玉兔二号”月球车首次实现月球背面软着陆，若“祝融号”的质量是“玉兔 二号”的K倍，火星的质量是月球的N倍，火星的半径是月球的P倍，火星语月球均视为球体，则 A. 火星的平均密度是月球的 倍， B. 火星的第一宇宙速度是月球的 C. 火星的重力加速度大小是月球表面的 D. 火星对“祝融号”引力大小是月球对“玉兔二号”引力的 倍 【答案】AD 【解析】根据密度的定义，ρ=M/V，体积V= ，可知火星的平均密度与月球的平均密度之比为 = =N×1/P3= ，即火星的平均密度是月球的 倍，选项A正确；由G =mg，可知火星的重力加 速度与月球表面的重力加速度之比为 = =N×1/P2= ，即火星的重力加速度是月球表面的重力 加速度的 ，选项C错误；由G =mg，v= ，可知火星的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为 = = = ，选项B错误；由万有引力定律，F= G ，可知火星对“祝融号”引力大 小与月球对“玉兔二号”引力大小之比为 = =N×K×1/P2= ，即火星对“祝融号”引力 大小是月球对“玉兔二号”引力大小的 倍，选项D正确。 2、（2021·浙江1月卷·T7）嫦娥五号探测器是我国首个实施月面采样返回的航天器，由轨道器、返回器、 着陆器和上升器等多个部分组成。为等待月面采集的样品，轨道器与返回器的组合体环月做圆周运动。已知引 力常量G=6.67×10-11N・m2/kg2地球质量m=6.0×1024kg，月球质量m=7.3×1022kg，月地距离r=3.8×105km， 2 1 月球半径r=1.7×103km。当轨道器与返回器的组合体在月球表面上方约200km处做环月匀速圆周运动时，其 2 环绕速度约为（ ） A. 16m/s B. 1.1×102m/s C. 1.6×103m/s D. 1.4×104m/s 【答案】C 【解析】根据 可得 故选C。 3、（2021·北京卷·T6）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次 探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面 2.8102 km、远火点距离火星表面5.9105 km，则“天问一号” （ ） A. 在近火点的加速度比远火点的小 B. 在近火点的运行速度比远火点的小 C. 在近火点的机械能比远火点的小 D. 在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动 【答案】D 【解析】 A．根据牛顿第二定律有 解得 故在近火点的加速度比远火点的大，故A错误； B．根据开普勒第二定律，可知在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误； C．“天问一号”在同一轨道，只有引力做功，则机械能守恒，故C错误； D．“天问一号”在近火点做的是离心运动，若要变为绕火星的圆轨道，需要减速，故D正确。 故选D。 4、（2021·全国甲卷·T18）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近 火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已 知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火 星表面的最远距离约为（ ） A. 6×105m B. 6×106m C. 6×107m D. 6×108m 【答案】C 【解析】 忽略火星自转则 ① 可知 设与为1.8×105s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为 ，由万引力提供向心力可知② 设近火点到火星中心为 ③ 设远火点到火星中心为 ④ 由开普勒第三定律可知 ⑤ 由以上分析可得 故选C。 5、（2021·全国乙卷·T18）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002 年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为 （太阳到地球的距离为 ）的 椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作 用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期T=16年，地球的公转周期T=1年，S2绕黑洞 0 做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是 地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知 解得太阳的质量为 同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知解得黑洞的质量为 综上可得 故选B。 6、（2021·广东卷·T2）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心 舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ） A. 核心舱的质量和绕地半径 B. 核心舱的质量和绕地周期 C. 核心舱的绕地角速度和绕地周期 D. 核心舱的绕地线速度和绕地半径 【答案】D 【解析】 根据核心舱做圆周运动 的向心力由地球的万有引力提供，可得 可得 可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不 能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。 故选D。 7、（2021·海南卷·T4）2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运载火箭成功将空间站天和核心舱 送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为 左右，地球同步卫星距地面的高度接近 。 则该核心舱的（ ） A. 角速度比地球同步卫星的小 B. 周期比地球同步卫星的长 C. 向心加速度比地球同步卫星的大 D. 线速度比地球同步卫星的小 【答案】C 【解析】 核心舱和地球同步卫星都是受万有引力提供向心力而做匀速圆周运动，有 可得而核心舱运行轨道距地面的高度为 左右，地球同步卫星距地面的高度接近 ，有 ，故 有 ， ， ， 则核心舱角速度比地球同步卫星的大，周期比地球同步卫星的短，向心加速度比地球同步卫星的大，线速度比 地球同步卫星的大，故ABD错误，C正确； 故选C。 8、（2021·河北卷·T4）“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星 飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时 长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值 约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得 则 ， 由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则飞船的轨道半径 则 故选D。 9、（2021·湖北卷·T7）2021年5月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重 要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔 约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（ ） A. 地球与火星的动能之比 B. 地球与火星的自转周期之比 C. 地球表面与火星表面重力加速度大小之比D. 地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比 【答案】D 【解析】 A． 设地球和火星的公转周期分别为T、T ，轨道半径分别为r、r，由开普勒第三定律可得 1 2 1 2 可求得地球与火星的轨道半径之比，由太阳的引力提供向心力，则有 得 即地球与火星的线速度之比可以求得，但由于地球与火星的质量关系未知，因此不能求得地球与火星的动能之 比，A错误； B．则有地球和火星的角速度分别为 由题意知火星和地球每隔约26个月相距最近一次，又火星的轨道半径大于地球的轨道半径，则 由以上可解得 月 则地球与火星绕太阳的公转周期之比 T∶T =7∶13 1 2 但不能求出两星球自转周期之比，B错误； C．由物体在地球和火星表面的重力等于各自对物体的引力，则有 得 由于地球和火星的质量关系以及半径关系均未知，则两星球表面重力加速度的关系不可求，C错误； D．地球与火星绕太阳运动的向心加速度由太阳对地球和火星的引力产生，所以向心加速度大小则有得 由于两星球的轨道半径之比已知，则地球与火星绕太阳运动的向心加速度之比可以求得，D正确。 故选D。 10、（2021·湖南卷·T7）2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任 务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道 可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的 。下列说法正确的是（ ） A. 核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的 倍 B. 核心舱在轨道上飞行的速度大于 C. 核心舱在轨道上飞行的周期小于 D. 后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小 【答案】AC 【解析】 A．根据万有引力定律有 核心舱进入轨道后的万有引力与地面上万有引力之比为 所以A正确； B．核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9km/s，因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以B错误； C．根据 可知轨道半径越大周期越大，则其周期比同步卫星的周期小，小于24h，所以C正确； D．卫星做圆周运动时万有引力提供向心力有 解得 则卫星的环绕速度与卫星的质量无关，所以变轨时需要点火减速或者点火加速，增加质量不会改变轨道半径， 所以D错误； 故选AC。11、（2021·江苏卷·T3）我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创 造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转 周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星（ ） A. 运动速度大于第一宇宙速度 B. 运动速度小于第一宇宙速度 C. 轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星 D. 轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星 【答案】B 【解析】 AB．第一宇宙速度是指绕地球表面做圆周运动的速度，是环绕地球做圆周运动的所有卫星的最大环绕速度，该 卫星的运转半径远大于地球的半径，可知运行线速度小于第一宇宙速度，选项A错误B正确； CD．根据 可知 因为该卫星的运动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的同步卫星的周期，可知该卫星的轨道 半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星的轨道半径，选项CD错误。 故选B。 12、（2021·辽宁卷·T8）2021年2月，我国首个火星探测器“天问一号”实现了对火星的环绕。若已知该 探测器在近火星圆轨道与在近地球圆轨道运行的速率比和周期比，则可求出火星与地球的（ ） A. 半径比 B. 质量比 C. 自转角速度比 D. 公转轨道半径比 【答案】AB 【解析】 A．探测器在近火星轨道和近地轨道作圆周运动，根据 可知 若已知探测器在近火星轨道和近地轨道的速率比和周期比，则可求得探测器的运行半径比；又由于探测器在近 火星轨道和近地轨道运行，轨道半径近似等于火星和地球的半径比，故A正确； B．根据万有引力提供向心力有 可得结合A选项分析可知可以求得火星和地球的质量之比，故B正确 C．由于探测器运行的周期之比不是火星或地球的自转周期之比，故不能求得火星和地球的自转角速度之比； 故C错误； D．由于题目中我们只能求出火星和地球的质量之比和星球半径之比，根据现有条件不能求出火星和地球的公 转半径之比，故D错误。 故选AB。 13、（2021·天津卷·T5）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程 的重要一步，在火属上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗 人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行， 如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（ ） A. 在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B. 在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C. 从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D. 沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 【答案】D 【解析】 A．天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速圆周运动，受力不平衡，故A错误； B．根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错 误； C．天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力要小于提供的向心力，故要在P点点火减速， 故C错误； D．在轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，故速度增大，故D正确。 故选D。 14、（2021·浙江省6月卷·T10）空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发 生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02-2020.08期间离地高度 随时间变化的曲线，则空间站（ ） A. 绕地运行速度约为 为 B. 绕地运行速度约 C. 在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒 D. 在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒【答案】D 【解析】 AB．根据题意可知，轨道半径在变化，则运行速度在变化，圆周最大运行速度为第一宇宙速度 ，故 AB错误； C．在4月份轨道半径出现明显的变大，则可知，机械能不守恒，故C错误； D．在5月份轨道半径基本不变，故可视为机械能守恒，故D正确。 故选D。 15、（2021·山东卷·T5）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨 越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。 在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受 陆平台的作用力大小之比为（ ） A. 9∶1 B. 9∶2 C. 36∶1 D. 72∶1 【答案】B 【解析】 悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据 可得 故选B。 16、（2021·福建卷·T8）两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺 贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星 的位置变化进行了持续观测，记录到的 的椭圆轨道如 图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心 点，Q与O的距离约为 （太阳到地球的距离为 ）， 的运行周期约为16年。假设 的运动轨迹主 要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出（ ） A． 与银河系中心致密天体的质量之比 B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比C． 在P点与Q点的速度大小之比 D． 在P点与Q点的加速度大小之比 【答案】BCD 【解析】 A．设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率 且由题知，Q与O的距离约为 ，即 由此可得出a与c，由于 是围绕致密天体运动，根据万有定律，可知无法求出两者的质量之比，故A错误； B．根据开普勒第三定律有 式中k是与中心天体的质量M有关，且与M成正比；所以，对 是围绕致密天体运动有 对地球围绕太阳运动有 两式相比，可得 因 的半长轴a、周期 ，日地之间的距离 ，地球围绕太阳运动的周期 都已知，故由上式，可以求出银 河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确； C．根据开普勒第二定律有 解得 因a、c已求出，故可以求出 在P点与Q点的速度大小之比，故C正确； D． 不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有解得 因P点到O点的距离为a+c,，Q点到O点的距离为a-c，解得 因a、c已求出，故 在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。 故选BCD。 17、（2021·福建卷·T13）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速 阶段，探测器速度大小由 减小到0，历时 。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为 的变推 力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的 ，火星质量约为地 球质量的 ，地球表面重力加速度大小取 ，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。 求： （1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； （2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 （1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为 ，末速度大小为 ，加速度大小为a，由匀变速 直线运动速度公式有 ① 代入题给数据得 ② 设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有 ③ 联立②③式并代入题给数据得 ④ （2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为 、 和 ，地球的质量、半径和表面重力加速度 大小分别为 、 和 由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有 ⑤ ⑥式中G为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为 ，由力的平衡条 件有 ⑦ 联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得 ⑧ 在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为 。 【2020年真题】 1、（2020·海南卷·T7）2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，将新一代 载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R， 万有引力常量为G，则（ ） A. 试验船的运行速度为 B. 地球的第一宇宙速度为 C. 地球的质量为 D. 地球表面的重力加速度为 【答案】B 【解析】 A．试验船的运行速度为 ，故A错误； B．近地轨道卫星的速度等于第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力有 根据试验船受到的万有引力提供向心力有 联立两式解得第一宇宙速度 故B正确； C．根据试验船受到的万有引力提供向心力有解得 故C错误； D．地球重力加速度等于近地轨道卫星向心加速度，根据万有引力提供向心力有 根据试验船受到的万有引力提供向心力有 联立两式解得重力加速度 故D错误。 故选B。 1、（2020·全国I卷·T15）火星的质量约为地球质量的 ，半径约为地球半径的 ，则同一物体在火星表 面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5 【答案】B 【解析】 设物体质量为m，则在火星表面有 在地球表面有 由题意知有故联立以上公式可得 故选B。 2、（2020·全国II卷·T15）若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕 其运动的卫星的周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则 ， ， 知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期 3、（2020·全国III卷·T16）“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行， 某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球 质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为 和 的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有 ， 解得 设嫦娥四号卫星的质量为 ，根据万有引力提供向心力得解得 故选D。 4、（2020·山东卷·T7）我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星 前，会在火星表面附近经历一个时长为t、速度由v减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半 0 0 径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向 下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 忽略星球的自转，万有引力等于重力 则 解得 着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知 解得 匀减速过程，根据牛顿第二定律得 解得着陆器受到的制动力大小为 ACD错误，B正确。故选B。 5、（2020·天津卷·T2）北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道 半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星（ ） A. 周期大 B. 线速度大 C. 角速度大 D. 加速度大 【答案】A 【解析】 卫星有万有引力提供向心力有 可解得 可知半径越大线速度，角速度，加速度都越小，周期越大；故与近地卫星相比，地球静止轨道卫星周期大，故 A正确，BCD错误。 故选A。 6、（2020·浙江7月卷·T7）火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可 视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的 （ ） A. 轨道周长之比为2∶3 B. 线速度大小之比为C. 角速度大小之比为 D. 向心加速度大小之比为9∶4 【答案】C 【解析】 A．由周长公式可得 则火星公转轨道与地球公转轨道周长之比为 A错误； BCD．由万有引力提供向心力，可得 则有 即 BD错误，C正确。 故选C。 7、（2020·浙江1月卷·T9）如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行。a 是极地轨道卫星，在地球两 极上空约1000km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则（ ）A. a、b的周期比c大 B. a、b的向心力一定相等 C. a、b的速度大小相等 D. a、b的向心加速度比c小 【答案】C 【解析】 A．万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律： 解得： ，轨道半径越大，周期越大，根据题意可知 、 的周期比 小，故A错误； BD．万有引力提供向心力： 解得： ， 、 的轨道半径相同，所以向心加速度大小相同，方向不同， 的轨道半径最大，向心 加速度最小，故BD错误； C．万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律： 解得： ， 、 的轨道半径相同，所以速度大小相同，方向不同，故C正确。 故选C． 8、（2020·江苏卷·T7）甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。 下列应用公式进行的推论正确的有（ ） A. 由 可知，甲的速度是乙的 倍 B. 由 可知，甲的向心加速度是乙的2倍 C. 由 可知，甲的向心力是乙的 D. 由 可知，甲的周期是乙的 倍【答案】CD 【解析】 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则 A．因为在不同轨道上g是不一样 的，故不能根据 得出甲乙速度的关系，卫星的运行线速度 代入数据可得 故A错误； B．因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据 得出两卫星加速度的关系，卫星的运行加 速度 代入数据可得 故B错误； C．根据 ，两颗人造卫星质量相等，可得 故C正确； D．两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律 ，可得 故D正确。 故选CD。 9、（2020·北京卷·T5）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的 10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是（ ） A. 火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B. 火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 C. 火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D. 火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 【答案】A 【解析】 A．当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所 以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故A正确； B．第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速 度之间时，探测器将围绕地球运动，故B错误； C．万有引力提供向心力，则有 解得第一宇宙速度为 所以火星 的第一宇宙速度为 所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误； D． 万有引力近似等于重力，则有 解得星表面的重力加速度 所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。 故选A。 第二部分：练新题 1、（2023·山东潍坊市高三上学期期中）用火箭发射人造地球卫星，假设最后一节火箭的燃料用完后，火箭 壳体和卫星一起以 的速度绕地球做匀速圆周运动。已知卫星的质量为 ，最后一节火箭壳 体的质量为 。某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时火箭壳体相对卫星以 的速度沿轨道切 线方向向后飞去。则（ ） A. 分离后卫星的速度为 B. 分离后卫星的速度为 C. 分离后火箭壳体的轨道半径会变大 D. 分离后卫星的轨道半径会变大 【答案】AD 【解析】AB．设卫星运动方向为正方向，则火箭壳速度与卫星速度的关系为 根据动量守恒 得 ， A正确，B错误； CD．分离后卫星速度变大，做离心运动，轨道半径变大；火箭壳速度变小，做近心运动，轨道半径减小，C 错误，D正确。 故选AD。 2、（2023·山东青岛市高三上学期期中） 2020年7月23日，我国用长征五号遥四运载火箭成功发射首次火 星探测任务“天问一号”探测器。2021年5月15日，“天问一号”火星探测器搭载的“祝融号”火星车成功 软着陆火星表面，是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展。此前，我国“玉兔二号”月球车首次实 验月球背面软着陆，若“祝融号”的质量是“玉兔二号”的 倍，火星的质量是月球的 倍，火星的半径是 月球的 倍。火星与月球均视为球体，下列说法正确的是（ ） A. 长征五号遥四运载火箭的发射速度介于 与 之间 B. 火星的平均密度是月球的 倍 C. 火星的第一宇宙速度是月球的 倍 D. 火星表面的重力加速度大小是月球表面的 倍 【答案】BC 【解析】 的 A．“天问一号”探测器已脱离地球引力 束缚，进入到火星引力的范围内，但又没有脱离太阳引力的范围， 故长征五号遥四运载火箭的发射速度介于 与 之间，故A错误； B．根据密度的定义有 可知火星的平均密度与月球的平均密度之比为 故B正确；C．根据万有引力提供向心力有 解得 可知火星的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为 故C正确； D．在星球表面，万有引力等于重力，则有 解得 可知火星的重力加速度与月球表面的重力加速度之比为 故D错误。 故选BC。 3、（2023·北京通州区高三上学期期中）神舟十四号载人飞船采用自主快速交会对接模式，于北京时间 2022年6月5日17时42分，成功对接于中国空间站天和核心舱径向端口，整个对接过程历时约7小时。神舟 十四号与天和核心舱的对接变轨过程简化如图所示，AB是椭圆轨道II的长轴。神舟十四号从圆轨道I先变轨 到椭圆轨道II，再变轨到圆轨道III，并在圆轨道III上与运行的天和核心舱实施对接。下列说法正确的是（ ） A. 神舟十四号在变轨过程中机械能不变 B. 可让神舟十四号先进入圆轨道III，然后加速追赶天和核心舱实现对接 C. 无论在轨道II还是轨道III，神舟十四号在A点的加速度都相同 D. 神舟十四号在椭圆轨道II上运行的周期与天和核心舱的运行周期相等 【答案】C 【解析】 A．神舟十四号在变轨过程中，需要点火加速，机械能增大，故A错误； B．让神舟十四号先进入圆轨道III，然后加速会离心，导致轨道半径变大，不能实现对接，故B错误； C．无论在轨道II还是轨道III，神舟十四号在A点受到的万有引力都相同，加速度都相同，故C正确；D．根据开普勒第三定律可知，神舟十四号在椭圆轨道II上运行的周期小于天和核心舱的运行周期，故D错误。 故选C。 4、（2023届·人大附中高三上学期开学考试）1970年4月24日，我国第一颗人造地球卫星“东方红1号” 发射成功，经过航天人半个世纪的不懈努力，我国的航天事业取得了辉煌的成绩，实现了载人航天飞行，开展 了月球探测工程，即将建成北斗卫星导航系统。关于绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，下列说法正确的 是（ ） A. 根据公式v＝r可知轨道半径越大，卫星的速度也越大 B. 根据公式a＝r可知轨道半径越大，卫星的加速度也越大 C. 轨道半径增大到原来的2倍时，卫星需要的向心力减小为原来的 D. 轨道半径增大到原来 的2倍时，卫星需要的向心力减小为原来的 【答案】D 【解析】 A.根据公式 可知，轨道半径越大，卫星的速度越小，故选项A错误； B.根据公式 可知轨道半径越大，卫星的加速度越小，故选项B错误； CD.根据公式 可知，轨道半径增大到原来的2倍时，卫星需要的向心力减小为原来的 故选项C错误，选项D正确。 5、（2023届·河北沧州市高三上学期开学考试） 2020年4月24日，中国行星探测任务被命名为“天问系 列”，2021年“天问一号”的成功发射基于对火星运动的精确测量。如图所示，测得地球A、火星B的连线 与太阳O、火星B的连线的最大夹角为 ，设地球和火星均绕太阳做匀速圆周运动，则地球与火星做圆周运 动的说法正确的是（ ）A. 加速度之比为 B. 线速度之比为 C. 角速度之比为 D. 半径之比为 【答案】AC 【解析】 AD．地球A、火星B的连线与太阳O、火星B的连线的最大夹角为 ，此时地球A、火星B的连线与地球轨 迹相切，则 根据开普勒第三定律可知 根据 可知 故A正确，D错误； B．根据 可知 故B错误； C．根据可知 故C正确。 故选AC。 6、（2023届·河北唐山市高三上学期开学考试） 2020年7月23日，我国的火星探测器“天问一号”从文昌 航天发射场发射，于2021年2月到达火星表面预定轨道，截止2022年6月29日，“天问一号”与搭载的“祝 融号”火星车配合，圆满完成了预设的火星全球遥感探测任务。“天问一号”最后一次执行高轨道探测任务时， 环绕火星做匀速圆周运动，轨道高度为火星半径的 。已知火星质量为地球质量的 ，火星半径为地球半径 的 ，地球卫星的第一宇宙速度为 ，地球半径为 ，则“天问一号”最后一次轨道探测时（ ） A. 运行的角速度为 B. 运行的角速度为 C. 运行的线速度大小为 D. 运行的线速度大小为 【答案】AD 【解析】 AB．依题意，可得“天问一号”最后一次轨道探测时，有 又因为 且联立以上式子，可得 故A正确，B错误； CD．“天问一号”最后一次轨道探测时，运行的线速度大小为 故C错误，D正确。 故选AD 。 7、（2023届·湖北武汉市一中高三上学期开学考试）2022年6月5日上午10时44分，神舟十四号载人飞船 在酒泉卫星发射中心成功发射升空，然后采用自主快速交会对接模式与天和核心舱成功对接，蔡旭哲、陈冬、 刘洋3名宇航员顺利进入天和核心舱，将在轨驻留6个月。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g。宇 航员一天可以看到16次日出日落，根据以上信息可以估算（ ） A. 地球的平均密度 B. 天宫空间站的总质量 C. 地球质量 D. 天宫空间站距离地面的平均高度 【答案】D 【解析】 ABC．没有万有引力常量，无法求出质量，不能求出地球的密度，故ABC不符合题意； D．在地球表面重力和万有引力相等，即 由此可得 GM=gR2 令同步卫星的距地面的高度为h，则由万有引力提供同步卫星的向心力有解得 故D符合题意。 故选D。 8、（2023届·湖南长沙市明德中学高三上学期开学考试）设想在赤道上建造如图甲垂直于水平面的“太空电 梯”，宇航员通过电梯直通太空站。图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇 航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系，关于 相对地面静止在不同高度的宇航员，下列说法正确的有（ ） A. 随着r增大，宇航员的线速度也增大 B. 宇航员在r=R处的线速度等于第一宇宙速度 C. 图中r 为地球同步卫星的轨道半径 0 . D 随着r增大，宇航员感受到“重力”也增大 【答案】AC 【解析】 A．“太空电梯”任意处于地球自转的角速度ω相同，因此线速度 ，因此随着r增大，宇航员的线速度也 增大，故A正确； B．宇航员在r=R处的线速度为 小于同步卫星的线速度，而第一宇宙速度是在地球表面绕地球做匀速圆周运动的速度 大于同步卫星线速度，所以宇航员在r=R处的线速度小于第一宇宙速度，故B错误；在 C． B线上，在r 处 0 有 所以 所以图中r 为地球同步卫星的轨道半径，故C正确； 0 D．随着r增大，万有引力减小，在电梯上随着r增大 所以宇航员感受到“重力”减小，故D错误； 故选择：AC。 9、（2023·江苏常熟市高三上学期期中）2022年6月5日10时04分，“神舟十四号”载人飞船成功发射。 在火箭发射过程中，首先由火箭第一级助推器提供推力，待火箭上升到离地高为 的高空时速度为 ，此时 第一级助推器脱落，然后飞船在第二级助推器的推动下继续上升直至第二级助推器分离。飞船经过调整与空间 站对接，在离地高为 的圆形轨道上运行。已知地球半径为 ，地球表面的重力加速度为 。 （1）若火箭在第一级助推器作用下看成初速度为零的匀加速直线运动，求该过程持续的时间 ； （2）求飞船与空间站组合体在轨运行的周期 。 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）火箭在第一级助推器作用下看成初速度为零的匀加速直线运动，此过程上升的高度为 ，末速度为 ， 根据运动学公式有 解得该过程持续的时间为 （2）飞船与空间站组合体绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得 物体在地球表面受到的万有引力等于重力，则有联立解得飞船与空间站组合体在轨运行的周期为 10、（2023·山东青岛市高三上学期期中）航天技术的发展是当今各国综合国力的直接体现，近年来，我国 的航天技术取得了让世界瞩目的成绩，也引领科技爱好者思索航天技术的发展，有人就提出了一种不用火箭发 射人造地球卫星的设想。其设想如下：如图所示，在地球上距地心 h处沿一条弦挖一光滑通道，在通道的两个 出口处A和B分别将质量为 的物体和质量为 的待发射卫星同时自由释放， ，在中点 弹性正撞 后，质量为 的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道，设置一个装置，卫星从B冲出就把速度变 为沿地球切线方向，但不改变速度大小，这样就有可能成功发射卫星。已知地球可视为质量分布均匀的球体， 且质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球半径为 ，表面的重力加速度为 。 （1）求地球的第一宇宙速度； （2）求在地球内部距球心h处的重力加速度大小； （3）试证明：若单独释放物体，则物体将以 为平衡位置作简谐运动； （4）求卫星成功发射时，h的最大值。 【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析；（4） 【解析】 （1）地球的第一宇宙速度即卫星绕地球表面做圆周运动的速度，即 又因为在地球表面 联立解得地球的第一宇宙速度为 （2）由题意知，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以在地球内部距球心h处满足 其中又 联立解得 所以在地球内部距球心h处的重力加速度大小为 （3）位于通道内的物体距离地心距离为r时，如图 受到地球 的引力为 是以地心为球心，以r为半径的那部分地球的质量，设地球密度为 ，即 则 引力在通道的分力为 x为物体到通道中心的距离，又因为 所以所以 设 x的方向为由通道中点指向物体，所以f与位移x方向相反，所以满足 即若单独释放物体，则物体将以 为平衡位置作简谐运动。 （4）取x=0处为引力势能的零点，则位于通道出口处静止的物体到达x=0处的速度为 ，则由能量守恒得 解得 可见到达通道中点的速度与物体质量无关，由（3）知物体做简谐运动的周期为 所以M与m同时到达通道中点，且速度大小均为 ，方向相反，之后发生弹性碰撞。设碰撞后速度分别为 v，v，则 1 解得 设之后物体回到出口处的速度为u，则 解得又因为 所以 之后卫星上 装的置改变速度u的方向，使之沿着地球上该点的切线方向，若物体恰好可以以u绕地球做匀速圆 周运动，则 解得