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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 38 排列组合中的常见七种类型问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
①特殊元素（位置）法
②捆绑法
③插空法
④倍缩法
⑤排数问题
⑥分组分配问题
⑦涂色问题
一、排列组合中常见问题及其技巧
1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊
元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法
3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配．
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
5.涂色问题常用方法
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；
（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种
数；
（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.
二、方法技巧分类
①特殊元素（位置）法
【一般策略】对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题
最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足
特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条
件。
②捆绑法
【一般策略】捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，
同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对
待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是
组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.
③插空法
【一般策略】插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生
多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.
④倍缩法
【一般策略】部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）
问题．定序问题可以用倍缩法.
⑤排数问题
【一般策略】对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位
置，同时注意隐含条件：0不能在首位.
⑥分组、分配问题
【一般策略】①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后
一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除
以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
⑦涂色问题
【一般策略】解决涂色问题的一般思路
(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．
(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题
二、题型精讲精练
【典例1】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
【详解】（1）方法一：把元素作为研究对象：
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有 种排法；
第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没
有甲的位置上，有 种排法．根据分步乘法计数原理，有4× 种排法．
由分类加法计数原理知，共有 ＋4× ＝2160（种）排法．
方法二：把位置作为研究对象，
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有 种方法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有 种方法；由分步乘
法计数原理知，共有 ＝2160（种）排法.
方法三：（间接法）先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉，不
考虑甲在首位的要求，总的可能情况有 种，甲在首位的情况有 种，所以符合要求的排法有 －
＝2160（种）.
（2）把位置作为研究对象，先考虑特殊位置.
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有 种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有 种方法；根据分步乘法计数原理，共有 ＝1800（种）方法.
（3）把位置作为研究对象.
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有 种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 种方法．
根据分步乘法计数原理，共有 ＝1200（种）方法.
（4）总的可能情况有 种，减去甲在首位的 种排法，再减去乙在末位的 种排法，注意到甲在首位，
同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次 种排法，所以共有 －2 ＋ ＝1860
（种）排法.
【典例2】班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单；
(1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
【详解】（1）将3个唱歌节目捆绑在一起，看成1个节目有 种，与其余3个节目一起排 ，
则共有 种不同排法．
（2）若相声节目排在第一个节目，则有 种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有 种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有 种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排
在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，
再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有 种不同排法．
【典例3】某学习小组有3个男生和4个女生共7人：(1)将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？
(2)将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？
(3)现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？
【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：
①将3个男生全排列，有 种排法，排好后有4个空位，
②将4名女生全排列，安排到4个空位中，有 种排法，
则一共有 种排法．
（2）根据题意，分2种情况讨论：
①男生甲在最右边，有 ，
②男生甲不站最左边也不在最右边，有 ，
则有 种排法．
（3）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：
①将4名女生全排列，有 种情况，排好后有5个空位可插，
②将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有 种情况，
则有 种排法．
【典例4】某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？
【详解】（1）5位嘉宾无约束条件的全排列有 种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按
年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有 ＝20(种).
（2）5位嘉宾无约束条件的全排列有 种，由于3位老者的排列顺序已定，2位年轻人的排列顺序已定，出场顺序有 ＝10(种).
【典例5】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？
(2)在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?
(3)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?
【详解】（1）能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排，则有 个；
（2）在组成的五位数中，先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意
排.
所有奇数的个数有 个；
（3）在组成的五位数中，把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有
3个位置，其余位置任意排，
则有 个；
（4）比30421小的五位数，若万位为1或2，其余位置任意排，即 ，
若万位为3，比30421小的有5个，30124，30142，30214，30241，30412.
从小到大排列，30421排第54个.
【典例6】有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．
(1)如果每人得两本，则有多少种不同的分法？
(2)如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则有多少种不同的分法？
(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则有多少种不同分法？
【详解】（1）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，
如果每人得两本，即每人依次拿两本，则共有 种方案
（2）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，
如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则共有 种方案（3）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，
如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则共有 种方案
【典例7】（单选题）如图，一圆形信号灯分成 四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使
用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．42
【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么 ，要么 相同，有2种方案，则
不同的信号数为 ；
若只用2种不同的颜色灯带，则 颜色相同， 颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为
；
则不同的信号总数为 .
故选：A．
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，
每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为 ，假设 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有
种方法，
同理： 连续参加了两天公益活动，也各有 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有 种.
故选：B.
2．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物
中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有 种，
根据分步乘法公式则共有 种，
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，
丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有 种排列方
式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式，
故选：B
4．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： ，共7种，
故所求概率 .
故选：D.
5．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项
目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘
法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者
中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的
位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，
故选：C.
6．（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为 ，
故选：C.
7．（2021·全国·统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 .
故选：C.
二、填空题
8．（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课
中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有 种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有 种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 种；
综上所述：不同的选课方案共有 种.
故答案为：64.
【题型训练2-刷模拟】1 . 特殊元素（位置）法
一、单选题
1．（2023下·贵州黔西·高三校考阶段练习）高三毕业来临之际，甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合
影留念，排成一排，甲老师在正中间且甲乙教师相邻的排法共有（ ）种.
A．36 B．24 C．20 D．12
【答案】D
【分析】分类讨论结合分步计数原理计算即可.
【详解】甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影，排成一排有五个位置，
第一步先排老师，甲老师在正中间且甲乙教师相邻有 两种安排，即乙老师在甲老师左侧或右侧，
第二步剩余三人三个位置全排列有 种排法，故共有 种排法.
故选：D
2．（2023·河南开封·统考一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的 接力赛，已知甲确
定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（ ）
A．84 B．108 C．132 D．144
【答案】B
【分析】特殊位置优先排，分类求解可得.
【详解】当甲跑第1棒时，则有 种选择方法；
当甲跑第4棒时，乙参加比赛则有 种选择方法，乙不参加比赛则有 种选择方法．
故合适的选择方法种数为 种．故选：B
3．（2023·全国·模拟预测）甲、乙，丙、丁，戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．
甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5人的
名次排列的不同情况可能有（ ）
A．27种 B．72种 C．36种 D．54种
【答案】C
【分析】根据题意，先排甲乙，再排剩下三人，由排列数的计算，即可得到结果.
【详解】根据题意，甲、乙都没有得到冠军，也都不是最后一名，
先排甲乙，再排剩下三人，则5人的名次排列种数为 种.故选：C
4．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作
（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（ ）
A．120种 B．150种 C．180种 D．210种
【答案】C
【分析】先安排甲，再考虑其他，利用分步乘法计数原理进行求解.
【详解】依题意可得，甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项，有3种选法，
再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作，有 种选法，
所以满足条件的不同选法共有 种．
故选：C
5．（2023下·广东汕头·高三校考阶段练习）小李和小张等5名同学相约去旅游，在某景点排成一排合影留
念，则小李不在两端，且小张不在正中间位置的排法数是（ ）
A．84 B．60 C．48 D．36
【答案】B
【分析】特殊元素先排，分两种情况，看小李在正中间与不在正中间的情况进行求解.
【详解】若小李在正中间，则排法数为 ；
若小李不在正中间，也不在两端有 种，然后小张有 种排法，剩下的三人全排列有 种.
所以，所求排法数为 .
故选：B
6．（2023·四川南充·模拟预测） 五名学生按任意次序站成一排，则 和 站两端的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先 和 排两端，再将其余三人全排列，共有 种情况，将五名学生按任意次序站成一排，共有 种情况，再利用古典概型公式求解即可.
【详解】首先将 和 排两端，共有 种情况，
再将其余三人全排列，共有 种情况，
所以共有 种情况.
因为五名学生按任意次序站成一排，共有 种情况，
故 和 站两端的概率为 .
故选：B
7．（2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三
个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个
地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A．18 B．24 C．32 D．64
【答案】A
【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有 种，
若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，
则安排的方法有 种，
所以总的方法数有 种.
故选：A
二、填空题
8．（2023上·天津和平·高三耀华中学校考开学考试）将字母 、 、 、 、 、 排成一排，其中 必须
在 的左边，则不同的安排方法有 .（用数字作答）
【答案】
【分析】先安排 ，然后排其它字母，由此计算出不同的安排方法.【详解】先安排 ，方法数有 种方法，
再安排其它字母，方法数有 种，
故不同的安排方法有 种.
故答案为：
9．（2023上·高二课时练习）某电视台计划在某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3
个不同的公益宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益宣传广告，且3个公益宣传广告不能两
两相邻播放，则不同的播放方式有 种．(用数字作答)
【答案】72
【分析】排列问题，特殊位置优先考虑求解即可.
【详解】先考虑第一个和最后一个位置必为公益宣传广告，有 (种)，
另一公益广告插入3个商业广告之间，有 (种)；
再考虑3个商业广告的顺序，有 (种)，
故共有 (种).
故答案为：72
10．（2023下·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后
合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有 种
【答案】54
【分析】利用排列组合先排特殊元素，再排其余元素即可
【详解】先排乙，从中间的3个位置中选1个安排乙，则有 种方法，
再排甲，从除左端外，剩下的3个位置中选1个安排甲，则有 种方法，
最后排其余3个，有 种方法，
所以由分步乘法原理可知共有 种方法，
故答案为：54
11．（2023·全国·模拟预测）某医院选派甲、乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医
生只能去一个乡镇，且甲、乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有 种．【答案】30
【分析】由题意知可按甲、乙两人的选派情况分两类：①甲、乙均单独去一个乡镇，②甲、乙两人有一人
和另外2人中的一人一起去一个乡镇，分别计算出选派方法，相加即可.
【详解】由题意知可按甲、乙两人的选派情况分两类：
①甲、乙均单独去一个乡镇，则剩下的2人一起去另一个乡镇，共有 种选派方法；
②甲、乙两人有一人和另外2人中的一人一起去一个乡镇，剩下的2人均单独去一个乡镇，共有
种选派方法．
由分类加法计数原理可知，不同的选派方法共有 （种）．
故答案为：
2 . 捆绑法
一、单选题
1．（2023下·江苏南通·高三校考期中）2023年4月26日南通支云足球队将在主场迎战河南队，组委会安
排甲、乙等5人到球场的四个区域参加志愿服务，要求每个区域都有人服务，且每位志愿者只能服务一个
区域，则甲、乙两人被安排到同一区域的方法种数为（ ）
A．18 B．24 C．60 D．120
【答案】B
【分析】利用捆绑法求解即可.
【详解】将甲乙捆绑在一起与其他人一起进行全排列，共有 种排法，
所以将甲、乙两人被安排到同一区域的方法种数为24种.
故选：B.
2．（2023上·四川成都·高三四川省彭州市第一中学校考阶段练习）六名同学暑期相约去都江堰采风观景，
结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．72种 C．120种 D．144种
【答案】D
【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3
人”排列，再插空排丙和丁.
【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有 种，再与丙和丁外的两人排列有 种，再排丙和丁有 种，故共有 种排法.
故选：D.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团
体锦标赛决赛中以总比分 战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现
场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
【答案】C
【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.
【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有 种站法；
当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，
有 种站法，
所以一共有 种不同的站法．
故选：C
4．（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5
名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120 B．7200 C．8640 D．14400
【答案】B
【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.
【详解】甲与乙相邻有 种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有 种不同
的排法，
再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有 种不同的排法，
所以共有 种不同的排法．
故选：B.
5．（2023下·广东江门·高三校考期中）某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A和B不相邻，则不
同的排法共有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．480种
【答案】D【分析】正难则反，首先我们可以求出6名学员随机站成一排的全排列数即 ，然后求学员A和B相邻
的排列数，两数相减即可.
【详解】一方面：若要求学员A和B相邻，则可以将学员A和B捆绑作为一个“元素”，此时一共有 个
元素，
但注意到学员A和B可以互换位置，所以学员A和B相邻一共有 种排法.
另一方面：6名学员随机站成一排的全排列数为 种排法.
结合以上两方面：学员A和B不相邻的不同的排法共有 种排法.
故选：D.
二、填空题
6．（2023上·高三课时练习）五人并排站成一排，甲、乙必须相邻且甲在乙的左边，则不同的站法共有
种．
【答案】24
【分析】运用捆绑法，结合全排列的定义进行求解即可.
【详解】把甲在乙的左边进行捆绑相当于一人，与剩下的三人全排列，
不同的站法共有 ，
故答案为：24
7．（2023·湖南永州·统考一模）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，
去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要
求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
【答案】
【分析】利用捆绑求得正确答案.
【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，
则不同的排列种数为 种.
故答案为：
8．（2023上·重庆北碚·高三西南大学附中校考期中）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶
的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是 ．
【答案】84
【分析】先考虑所有情况，再减去不满足的情况即可.
【详解】先考虑五个音阶任意排列，有 种情况，
再减去宫、角、羽三音阶都相邻的情况，
把宫、角、羽三音阶看做一个一个整体，则一共变成3个元素，有 种情况，
而宫、角、羽三音阶又可以任意排列，有 种情况，
所以一共的音序有 种，
故答案为：84
9．（2023·广东韶关·统考一模）现有 ， ， ， ， 五人排成一列，其中 与 相邻， 不排在两边，
则共有 种不同的排法（用具体数字作答）.
【答案】24
【分析】法一：先将 捆绑，再排除 以外其他人，最后插空即可；
法二：先将 捆绑，进行全排列，再减去 在两边的情况.
【详解】法一：将 捆绑，则除 以外其他四人的排序有 种，又 不排在两边，
所以 可选的位置有 两种，所以共 种排法；
法二：将 捆绑，若 的位置任意，则五人的排序有 种，
其中 排在两边的情况有 种，
所以 不排在两边的情况有 种；
故答案为： .
10．（2023上·高三单元测试）老师和学生共10人一起照相，其中1名老师、4名女生、5名男生，排成一
行，要求男生、女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有 种．
【答案】
【分析】首先将男生和女生分别捆绑一起，看成两个元素，再根据条件，写出排列种数.【详解】要求男生、女生必须分性别站在一起，可以考虑采用捆绑法，
把男生和女生分别看成一个大元素进行处理．男生站在一起看成一个大元素，
女生站在一起看成一个大元素，老师不站在两端，共有 种排列．
但4名女生、5名男生本身还有排列顺序要求．所以共有 种站队方式．
故答案为：
3 . 插空法
一、单选题
1．（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数
学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用全排列与插空法分别求得所需要考试顺序种类，再利用古典概型即可得解.
【详解】这4个学科不同的考试顺序有 种，
先安排语文、政治形成3个空隙，再将数学、物理插入到其中2个空隙中，
则物理考试与数学考试不相邻的考试顺序共有 种，
所以所求概率为 .
故选：B.
2．（2023上·山东德州·高三校考期末）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为
（ ）
A．14 B．120 C．72 D．24
【答案】D
【分析】根据题意，先排3个空位，形成4个空隙，从4个空隙中选出3个空隙，让3人就坐，结合排列
数公式，即可求解.
【详解】根据题意，先排3个空位，形成4个空隙，从4个空隙中选出3个空隙，让3人就坐，
共有 种不同的坐法.故选：D.
3．（2024·浙江台州·统考一模）杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和
合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标
建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则
不同的传递方案共有（ ）
A．288种 B．360种 C．480种 D．504种
【答案】C
【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案.
【详解】先安排甲乙以外的 个人，然后插空安排甲乙两人，
所以不同的传递方案共有 种.
故选：C
4．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便
坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ）
A．48 B．54 C．72 D．84
【答案】C
【分析】根据题意，现将3个乘客全排列，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，结合插空法，即
可求解.
【详解】根据题意，现将3个乘客全排列，将有4个空隙，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，
放入4个空隙中的两个，共有 种.
故选：C.
5．（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、
义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排
成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】选将“仁、义、礼”放好保持顺序不变，将“智”、“信”依次插空放入共有20种方法，所有排
法共有 种方法，根据古典概型求解概率.【详解】选将“仁、义、礼”放好保持顺序不变，将“智”插空放入有4种方法，将“信”插空放入有5
种方法，共有20种方法，
将“仁义礼智信”排成一排共有 种方法，
因此将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为 .
故选：D
6．（2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）三个家庭的3位妈妈带着2名女宝和2名男宝共7人踏春，
在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；2名女宝相邻且不排最
前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数
共有（ ）
A．192种 B．288种 C．144种 D．96种
【答案】D
【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．
【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有 种排法；
第二步：将2名女宝“捆绑”在一起，共有 种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的2名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有 种排
法；
第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝
与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有 种排法．
∴不同的排法种数有： 种．
故选：D
7．（2023上·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教
育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中 位女生， 位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排
队前进，为了照顾大家安全， 位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种
数共有（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】种类一：一位男生在最后，先排女生，再排另一位男生；种类二：女生在最后，先排女生，注意
女生甲特殊，优先排列，最后男生插空，最后分类相加.
【详解】种类一：一位男生在最后，此时有 种情况，
位女生全排列有 种情况，
最后将剩余一位男生插入 女生所形成的 个空中，且不在女生最后，共 种情况，
所以共 种情况；
种类二：
男生不相邻，可先排女生，又女生甲不在最后，
所以女生甲有 种排法，
其他 为女生有 种排法，
最后 男生插入 女生所形成的 个空中，且不在女生最后，共 种情况，
共 种情况；
综上所述，共 种情况，
故选：A.
二、填空题
8．（2023下·贵州毕节·高三校考阶段练习）甲、乙、丙、丁四人去电影院看电影，有4张连排的座位，要
求甲、乙两人不相邻而坐，则不同安排方法的种数为 ．
【答案】12
【分析】利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法.
【详解】4张连排的座位，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的2人进行全排列，有 种排法，
再将甲、乙两人插空，有 种排法，
则共有 种不同的排法.
故答案为：12
9．（2023·全国·高三专题练习）3男2女五位老师排成一排照相，若五位老师已经站定，将两位新老师放入队列中，且两位新老师不相邻，则有 种放法．
【答案】30
【分析】利用插空法直接计算即可.
【详解】直接使用插空法进行解决．先将已经站定的五位老师旁边挖6个空，
然后将两位新老师放入这6个空中，于是就有 （种）放法．
故答案为：30
10．（2023上·上海浦东新·高三校考期中）夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、
血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和
胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种.
【答案】12
【分析】先将心电图、血压测量两项全排列，再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，最后将抽血放
在第一位即可.
【详解】解：由题意得：将心电图、血压测量两项全排列，有 种情况，
再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，有 种情况
最后将抽血放在第一位，有1种情况，
所以共有 种情况，
故答案为：12
11．（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5
名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相
邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)．
【答案】24
【分析】应用捆绑、插空法，结合分步计数及排列数求不同的排法数.
【详解】将丙、丁捆绑排列有 种，再把他们作为整体与戊排成一排有 种，
排完后其中有3个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有 种，
综上，共有 种排法.
故答案为：4 . 倍缩法
一、单选题
1．（2023下·北京·高三北京市第十二中学校考期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要
加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【答案】D
【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理.
【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有 种排法，
如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有 种排法，故A，B，C错误.
故选：D.
2．（2022上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、
丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相
邻），则这样的出场排序有（ ）
A．24种 B．40种 C．60种 D．84种
【答案】B
【分析】先求出五个节目的全排列有 种情况，要求甲、乙、丙有两种固定的出场顺序，则除以甲乙丙的
全排列 ，再乘以固定的顺序种类即可得到结果.
【详解】五个元素的全排列数为 ，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、
甲” 2种排法，所以满足条件的排法有 .
故选：B．
3．（2023下·山东烟台·高三统考期中）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的
先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
【答案】B
【分析】甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，利用倍缩法求解即可.【详解】因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，
所以不同的上台顺序种数为 .
故选：B.
4．（2023下·江苏·高三校联考阶段练习）习近平总书记强调：“要在学生中弘扬劳动精神，教育引导学生
崇尚劳动、尊重劳动，懂得劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽的道理，长大后能够辛勤
劳动、诚实劳动、创造性劳动．”这一重要论述，突出了劳动教育对于新时代立德树人的重要意义，是我
们开展劳动教育工作的重要遵循．为了积极落实习近平总书记讲话的精神，高中课程中安排劳动课，我校
高二（1）班本周星期五下午要上4节课，若把语文、数学、劳动、体育这4门课安排在星期五下午，劳动
课必须比数学课先上，则不同的排法有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
【答案】C
【分析】4门课程任意排列，其中数学课排在劳动课之前和数学课排在劳动课之后的情况数目是相同的，
由此可求得出结果.
【详解】把语文、数学、劳动、体育这4门课程任意排列，有 ＝24种情况，
其中数学课排在劳动课之前和数学课排在劳动课之后的情况数目是相同的，
则劳动课必须比数学课先上的排法有 ＝12种．
故选：C．
5．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为
“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时
要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的
下锅顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．36种 D．72种
【答案】B
【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解.
【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，
此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，定序问题用倍缩法，共有 种不同的排列方式.
故选：B.
6．（2023下·贵州黔东南·高二校考阶段练习）小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁
的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置
的不同密码的个数为（ ）
A．2760 B．3180 C．3200 D．3360
【答案】D
【分析】先将8个数字进行全排列，再利用定序倍缩法除以重复的情况即可.
【详解】先将这8个数字进行全排列，有 种情况，
而这8个数字中有三个1和两个9，可将这三个1和两个9看作是顺序固定的排列方法，
所以一共可以组成 个六位数，即可以设置的不同密码的个数为 ．
故选：D．
二、填空题
7．（2023下·上海徐汇·高三上海中学校考期中）用“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”这
六个字可以组成 种不同的六字短语（不考虑短语的含义）.
【答案】360
【分析】先将六个字全排列，再除以2即可.
【详解】先将六个字进行排列，有 种选择，
由于六个字中有两个相同的“墩”，故均重复计算了一次，所以共有 种不同的六字短语.
故答案为：360
8．（2023下·重庆江北·高三重庆十八中校考阶段练习）某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放
飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若
保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有 种不同排法（用数字作答）
【答案】42
【分析】用相对顺序已定的排列模型求解.
【详解】5个学生节目中增加2个教师节目，共有7个节目，把7个节目看成有顺序的7个位置，将这7个位置挑出2个位置安排给2个教师节目，共有 种安排方法，再将剩下的5个位置安排给5
个学生节目，因原来5个学生节目的出场顺序不变，故只有1种安排方法，故共有 种不同排法.
故答案为：42
9．（2023下·北京·高三东直门中学校考期中）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则
有 种不同的排法．
【答案】360
【分析】根据定序问题即可得出答案.
【详解】 2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，
∴共有 种不同排法，
故答案为：360.
10．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙
均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种.
【答案】18
【分析】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，再将剩余3名学生安排在周三至周
五，且甲在乙之前，再根据分步计数乘法原理可得答案.
【详解】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，共有 种排列方式；
再将剩余3名学生安排在周三至周五，共有 种排列方式.
又甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种.
故答案为：18.
5 . 排数问题
一、单选题
1．（2023下·山东烟台·高三统考期中）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数的个数为（
）．
A．60 B．96 C．300 D．360
【答案】C【分析】先排首位，再排其它位数，结合分步计数原理可得结果.
【详解】先排首位，共有5种方法；其它位数共有 种排法，结合分步计数原理可得共有 种方
法.
故选：C.
2．（2022上·福建莆田·高三校联考期末）从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重
复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】C
【分析】根据排列组合公式和奇数的特点即可得到答案.
【详解】从1，3，5中取两个数有 种方法，从2，4中取一个数有 种方法，
而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，另外两个数全排列即可，
故奇数的个数为 .
故选：C.
3．（2023下·江苏宿迁·高三统考期中）由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）．
A．42个 B．48个 C．54个 D．120个
【答案】A
【分析】分为五位数的个位数是 ,五位数的个位数是 两类，依据两个计数原理求解.
【详解】若五位数的个位数是 ，则有 种情形；
若五位数的个位数是 ，由于 不排首位，
因此只有 有 种情形，中间的三个位置有 种情形，
依据分步计数原理，可得 种情形．
由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为 .
故选：A．
4．（2023下·高三校考单元测试）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数
共有（ ）
A．40个 B．42个 C．48个 D．52个
【答案】D【分析】分最后一位分别为0，2，4三种情况求解即可.
【详解】当最后一位是 时，共有 种情况；
当最后一位是 时，共有 种情况；
当最后一位 时，共有 种情况 ，所以共有 个.
故选：D
5．（2023·广东茂名·统考二模）从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被
3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有 种；
要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，
所以数字为1，2，3时，有 种；数字为1，3，5时，有 种；
数字为2，3，4时，有 种；数字为3，4，5时，有 种；共24种.
所以该三位数能被3整除的概率为 .故选：D
6．（2023·全国·模拟预测）从数字1，2，3，4，5中随机挑选若干个数字组成四位数，则满足相同数字最
多出现两次的四位数的个数为（ ）
A．260 B．480 C．540 D．720
【答案】C
【分析】由题可得相同数字最多出现两次，分三种情况分别列式求解应用加法原理求解即得.
【详解】由题可得组成所求四位数的数字可以重复，且相同数字最多出现两次，所以可以分为三种情况：
（1）四位数由四个不同的数字组成，这样的四位数有 （个）；
（2）四位数由三个不同的数字组成，其中一个数字出现两次，这样的四位数有 （个）；（3）四位数由两个不同的数字组成且这两个不同的数字各出现两次，这样的四位数有 （个）．
所以所求的四位数共有 （个）.
故选:C.
7．（2023下·北京东城·高三景山学校校考期中）在 ， ， ， ， ， ， 这 个数中任取 个数，将其
组成无重复数字的四位数，则能被 整除，且比 大的数共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】由题意，可分千位数为 ，百位数为 ；千位数为 ，百位数为 ；千位数为 ，百位数为 ；千
位数为 ；千位数为 五种情况分析，结合排列数与组合数的公式，即可求解．
【详解】若这个数的千位数为 ，百位数为 ，则这个数可以是 ， ，共 个，
若这个数的千位数为 ，百位数为 ，则这个数的个位只能是 ，
满足条件的数共有 个，
若这个数的千位数为 ，百位数为 ，则满足条件的数共有 个，
若这个数的千位数为 ，这个数的个位只能是 ，则满足条件的数共有 个，
若这个数的千位数为 ，则满足条件的数共有 个，
根据分类计数原理，可得满足条件的数共有 个．
故选：C．
二、填空题
8．（2023下·上海普陀·高三校考期末）用数字 、 、 、 、 组成没有重复数字的五位数，其中能被
整除的数共有 个．（用数字作答）
【答案】
【分析】分析可知，个位数只能排 或 ，其他数位没有限制，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】由题意可知，个位数只能排 或 ，其他数位没有限制，
因此，能被 整除的五位数的个数为 个.
故答案为： .
9．（2023·福建泉州·统考模拟预测）将 ， ， ， ， 任意排成一行，可以组成 个不同的6位数．（用数字作答）
【答案】
【分析】首先求出数字 不在首位，再求出数字 和 相邻且 在 之前的排法，即可得解.
【详解】将 ， ， ， ， 任意排成一行，且数字 不在首位，则有 种，
数字 和 相邻且 在 之前的排法有 种，
故所求满足题意的 位数有 个.
故答案为：
10．（2023上·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）由0，1，2，3，4这五个数字组成的没有重复数字的三位
数中，各位数字之和为奇数的共有 种．
【答案】28
【分析】分三位数是否含0结合计数原理求解.
【详解】由题知，各位数字之和为奇数可分为：
①不含“0”时，含一个奇数两个偶数，共有 种；
②含“0”时，另取一个奇数一个偶数，此时“0”不能排首位，
共有 种；
所以共有28种.
故答案为:28.
11．（2023上·江西萍乡·高三统考期末）从数字 中任选4个组成无重复数字的四位数，满
足千位和百位上的数字之和为5，则这样的偶数共有 个.
【答案】72
【分析】先考虑千位和百位，再考虑个位，最后考虑十位，求出答案.
【详解】满足数字之和为5的两个数字为 ，
故千位和百位上的数字排列有 种情况，
再考虑个数，有 种选择，最后考虑十位，有6种选择，
故这样的偶数共有 个.故答案为：72
12．（2023下·山东聊城·高三统考期末）已知 表示一个三位数，如果满足 且 ，那么我们称该
三位数为“凸数”，则没有重复数字的三位“凸数”的个数为 ．
【答案】
【分析】分两种情况讨论：① 、 、 中有一个为 ；② 、 、 三个数都不为零.确定三个数字的位置，
结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】由题意可知，在 、 、 三个数中， 最大，分以下两种情况讨论：
①若 、 、 中有一个为 ，则最大的数放中间， 放在个位上，另外一个数放在百位上，
此时，满足条件的没有重复数字的三位“凸数”的个数为 个；
②若 、 、 三个数都不为零，则最大的数放中间，另外两个数分别放在个位和百位上，
此时，满足条件的没有重复数字的三位“凸数”的个数为 .
综上所述，没有重复数字的三位“凸数”的个数为 个.
故答案为： .
6 . 分组、分配问题
一、单选题
1．将4个不同的小球平均放入2个不同的盒子中，有多少种不同的放法？（ ）
A．6 B．12 C．3 D．16
【答案】A
【分析】根据平均分组的方法即可得到答案.
【详解】由题意根据先分组再排列知共有 种，
故选：A.
2．某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则
3个种子选手恰好被分在同一组的分法种数为（ ）
A．210 B．105 C．315 D．630
【答案】C
【分析】根据分组方法，利用排列组合即可得出3个种子选手恰好被分在同一组的分法种数.
【详解】由题意，12人任意分成3个组，
3个种子选手分在同一组的方法有： （种），
故选：C．
3．将4名学生志愿者分配到A、B、C社区参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少
分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】C
【分析】先分组，再分配，求出分配方案.
【详解】根据题意，分2步进行分析：①将4名大学生分为3组，两组均为1人，一组为2人，
共有 种分组方法，
②将分好的3组安排参加3个社区参加志愿活动，有 种情况，
则有 种分配方案.
故选：C.
4．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项
目和武术，赛艇，射击3个自选项目.若将3男，3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3
个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有（ ）
A．540种 B．36种 C．108种 D．90种
【答案】B
【分析】根据题意，将3男、3女6人分成3组，每组一男一女，再将这3组分别分配到3个自选项目，结
合排列组合的知识，即可求解.
【详解】由题意，将3男、3女6人分成3组，每组一男一女，分组方法有 种，
将这3组分别分配到3个自选项目比赛场馆的分配方法有 种，
故不同的分配方案共有 （种）.
故选：B.5．开学初，学校将新转学来的A、B等五名同学分配到甲、乙、丙、丁四个不同的班级，每个班至少分一
人，则A、B两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
【答案】C
【分析】利用捆绑法，首先将剩余3名学生分成2组，再将4组学生分配到4个不同的班级，结合排列数、
组合数运算求解.
【详解】因为A、B两人被各自单独分往一个班级，
首先将剩余3名学生分成2组，有 种分组方法，
再将4组学生分配到4个不同的班级有 种，
所以A、B两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有 种.
故选：C.
6．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路
口的分配方案共有（ ）
A．81种 B．72种 C．63种 D．36种
【答案】B
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名交警分为1、2、2的三组，要求甲乙不在同一组，②将分
好的三组安排到三个路口，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将5名交警分为1、2、2的三组，要求甲乙不在同一组，有 种分组方法，
②将分好的三组安排到三个路口，有 种安排方法，
则有 种分派方法，
故选：B．
7．2023年亚运会将在杭州举行.将6位志愿者分成4组，其中两组各2人，另两组各1人，分赴亚运会的4
个不同场馆服务，不同的分配方案的种数为（ ）
A．4320 B．1080 C．180 D．90
【答案】B
【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两
个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得.【详解】将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人有 种方法，进而将其分
配到四个不同场馆，有 种情况，
由分步计数原理可得，不同的分配方案有 种.
故选： .
【点睛】在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解 中分母的意义．
8．某单位共招聘6名应届毕业生，其中男女各3人，准备平均分配到3个部门，其中有一组必须分配2名
女生，则不同的安排方法有（ ）
A．36 B．54 C．72 D．108
【答案】B
【分析】先分组，然后再分到3个部门.
【详解】先从3名女生中选择2人组成一组，共 种；
再将余下4人平均分成2组，共 种；
最后将3组分配到3个部门，共 种.
所以，不同的安排方法有 种.
故选：B
9．新高考按照“ ”的模式设置，其中“3”为语文，数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、
历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物，政治，地理4门科目中选考2门科目，若学生
甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合排列组合数的运算，利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】由题意，甲、乙随机选择自己的选考科目的情况有 种，甲、乙选考的三门科目均不相同的情况有 种，
所以所求的概率是 .
故选：A
二、填空题
10．将6本不同的书分成两堆，每堆至少两本，则不同的分堆方法共有 种．
【答案】25
【分析】由题意可得，有两种分组方法，然后分别计算，即可得到结果.
【详解】由题知，共有 两种分法： 这种分法数为 种； 这种分法数为
种，所以，共有25种．
故答案为：
11．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事
业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的A、B、C、
D四所学校，要求每所学校至少安排一位教师，则在甲志愿者被安排到A学校有 种安排方法．
【答案】60
【分析】分甲单独一人和甲和另一人成一组讨论即可.
【详解】将这5名教师分配到新疆的 ， ， ， 共4所学校，每所学校至少1人，
则先分组后排列，5名教师分成四组，则为1，1，1，2.
若甲作为单独的一位被安排到 学校，则有 种情况；
若甲是一组两人中的一位且被安排到 学校，则有 种情况，
共有 种情况.
故答案为：60.
12．将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙
安排在一起的概率为 ．
【答案】【分析】根先将四人平均分成两组，再安排服务工作共有 种，再根据全排求甲、乙安排一起服务
的种数，结合古典概型即可求解.
【详解】将四人分成两人两组共有 种，
再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有 种，
又甲、乙安排在一起共有 种，
所以甲、乙安排在一起的概率为 ，
故答案为： .
13．现有小赵、小钱、小孙、小李、小刘5人去北京、上海、广州三地参加研讨会，每人只能去一个城市，
每个城市至少去一人，则小赵不去北京的概率为 ．
【答案】
【分析】先求出三地分配人数分别为1，1，3或1，2，2的安排方法，再求出小赵去北京的安排方法，由
对立事件的概率求解即可.
【详解】①若三地分配人数分别为1，1，3时，共有 种安排方法；
其中小赵去北京的安排方法有 种；
②若三地分配人数分别为1，2，2时，共有 种安排方法；
其中小赵去北京的安排方法有 种；
故小赵不去北京的概率为 ．
故答案为： .
14．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有 支救援队前往 ， ， 等 个受灾点执行救援任务，若每支救援队只
能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排 支救援队，其中甲救援队只能去 ， 两个受灾点中的
一个，则不同的安排方法数是 .
【答案】
【分析】由题意可知，若甲去 点，则剩余4个救援队，可只去 两个点，也可分为3组去 ， ， ，
个点，分别求出安排种法，相加即可得出甲去 点的安排方法，同理，即可得出甲去 点的安排方法，
即可得出答案.
【详解】若甲去 点，则剩余4个救援队，可只去 ， 两个点，也可分为3组去 ， ， ， 个点.
当剩余4个救援队只去 ， 两个点时，救援队个数分配为 ， 或 ， ，
此时的分配方法有 ；
当剩余4个救援队分为3组去 ， ， ， 个点时，先从4个救援队中选出2个救援队，即可分为3组，
然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有 ，
综上可得，甲去 点，不同的安排方法数是 .
同理，甲去 点，不同的安排方法数也是 ，
所以不同的安排方法数是 .
故答案为： .
15．实施乡村振兴战略是决胜全面建成小康社会的重大历史任务，是新时代做好“三农”工作的总抓手．
某市聘请6名农业专家安排到三个乡镇作指导，每个乡镇至少一人，其中专家A不能去甲镇，则不同的安
排方案的种数是 ．
【答案】
【分析】先不考虑专家A不能去甲镇的情况，将6名农业专家分组，再分配到三个镇上去的总情况数，再
根据专家A去甲镇所占的比例数求解即可.
【详解】由题意，先不考虑专家A不能去甲镇的情况，将6名农业专家分组，
所有可能的情况有 ， ， 三种情况．
其中 分组数有 种，分组数有 种，
分组数有 种．
再将6名农业专家分配到甲乙丙三个镇上共 种情况．
上述分析中，专家A去甲镇，去乙镇和去丙镇的情况数相等，
故专家A不去甲镇的情况有 种情况，
故答案为： .
16．2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史
时刻，会务组将6张不同的纪念邮票分配给来自 省的2名代表和 省的2名代表，每名代表至少1张，
则有 种分配方法．（用数字作答）
【答案】1560
【分析】先将6张邮票分为4组，再分给4个人，利用排列组合数公式计算即可．
【详解】先将6张邮票分为4组，有1，1，2，2和1，1，1，3共2种分组方法，
①按1，1，2，2分组，则有 种分配方法；
②按1，1，1，3分组，则有 种分配方法；
故共有 种分配方法．
故答案为：1560．
7 . 涂色问题
一、单选题
1．如图，用4种不同的颜色给图中 四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的
涂法共有（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据 区域同色和不同色分类讨论即可得.
【详解】 区域同色的方法数为
区域不同色的方法数为 ，
总的方法数为 ．
故选：C．
2．在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，
共有（ ）种植方式．
A．240种 B．300种 C．360种 D．420种
【答案】A
【分析】先选出4种庄稼，再根据可能的相同庄稼情况计算种数，运用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】根据题意，五块土地上种植四种庄稼，先选出4种庄稼，共有 种选择，
则 地种植相同庄稼或 地种植相同庄稼，共有 种选择，
根据分步乘法计数原理可知，有 种．
故选：A
3．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种
果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可.
【详解】分两类情况：
第一类：2与4种同一种果树，第一步种1区域，有5种方法；
第二步种2与4区域，有4种方法；
第三步种3区域，有3种方法；
最后一步种5区域，有3种方法，
由分步计数原理共有 种方法；
第二类：2与4种不同果树，
第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有 种方法；
第二步种5号区域，有2种方法，
由分步计数原理共有 种方法.
再由分类计数原理，共有 种不同的方法.
故选：C.
4．如图所示，将四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4
种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120 B．96 C．72 D．48
【答案】C
【分析】分为 同色，且 同色； 同色，而 不同色； 同色，而 不同色三种情况，
分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案.
【详解】由题意知， 与 任意一点均不同色.
只用3种颜色，即 同色，且 同色，此时不同染色方法的种数为 ；
用4种颜色，此时可能 同色，而 不同色或 同色，而 不同色.
若 同色，而 不同色，此时不同染色方法的种数为 ；
若 同色，而 不同色，此时不同染色方法的种数为 .根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为 .
故选：C.
5．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的
花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同
的布置方案有（ ）
A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种
【答案】C
【分析】先对图中不同的区域命名，分 与 布置相同的花卉、 与 布置不同的花卉两种情况，再运用
分步计数和分类计数的方法从 开始计数即可.
【详解】
如图，不同的布置方案分两类：
当 与 布置相同的花卉时，
先安排 ，有6种不同的选择；再安排 与 ，有5种不同的选择；再安排 ，有4种不同的选择；最后
安排 ，有4种不同的选择，共有 种.
当 与 布置不同的花卉时，
先安排 ，有6种不同的选择；再安排 与 ，有 种不同的选择；再安排 ,有3种不同的选择；最后
安排 ，有3种不同的选择，共有 种.
所以不同的布置方案有 种.
故选：C
6．五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.
古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生
木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂
色方法种数有（ ）
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【分析】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可.
【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.
故问题转化为如图 五个区域，
有 种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即 色 区域的环状涂色问题.
分为以下两类情况：
第一类： 三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂 区域，
从 种不同的颜色中选 种按序涂在不同的 个区域上，则有 种方法，
第二步涂 区域，由于 颜色不同，有 种方法，
第三步涂 区域，由于 颜色不同，则有 种方法，
由分步计数原理，则共有 种方法；
第二类： 三个区域涂两种不同的颜色，由于 不能涂同一色，则 涂一色，或 涂同一色，两种情况方法数相同.
若 涂一色，
第一步涂 区域， 可看成同一区域，且 区域不同色，
即涂 个区域不同色，
从 种不同的颜色中选 种按序涂在不同的 个区域上，则有 种方法，
第二步涂 区域，由于 颜色相同，则有 种方法，
第三步涂 区域，由于 颜色不同，则有 种方法，
由分步计数原理，则共有 种方法；
若 涂一色，与 涂一色的方法数相同，
则共有 种方法.
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有 种.
故选：D.
二、填空题
7．如图，用四种不同颜色给矩形A， B， C， D着色，要求相邻的矩形涂色不同，共有 种不同的
涂色方法．
【答案】72
【分析】根据分步乘法原理求解即可.
【详解】解：根据分步计数原理可知，A有4种不同的涂色方法，B有3种不同的涂色方法，
C有2种不同的涂色方法，D有3种不同的涂色方法，
所以共有4×3×2×3＝72种不同的涂色方法．
故答案为：72.
8．有三种不同颜色供选择，给图中六个格子涂色，相邻格子颜色不能相同，共有 种不同的涂
色方案.【答案】96
【分析】将格子自左向右编号为1，2，3，4，易得格子1，2有 种选法，再分格子3与格子1相同
和不同求解.
【详解】解：将格子自左向右编号为1，2，3，4，5,6
格子1，2有 种选法，
当格子3与格子1相同时，此时格子4，5，6都有2种选法，
当格子3与格子1不同时，此时格子3有1种选法，格子4，5，6都有2种选法，
所以当格子1和2颜色确定后，格子4，5，6共有 种选法，
所以不同的涂色方法有 种，故答案为：96
9．用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域
不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
【答案】48
【分析】根据题意，由分步乘法计数原理，即可得到结果.
【详解】先涂区域1，有4种选择，再涂区域2，有3种选择，接着涂区域3，有2种选择，最后剩下的两
个区域有2种选择．故不同的涂色方法有 种．
故答案为：
10．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点 ， ， ， ， ，
处各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 种．（用数字作
答）【答案】12
【详解】第1步，在 ， ， 处各安装一个灯泡，要求用到3种颜色的灯泡各1个，有 种方法．第2
步，在 ， ， 处各安装一个灯泡，也用到上述3种颜色的灯泡各1个，还要求 与 ， 与 ， 与
处的灯泡都不同色．此问题相当于“匹配问题” 时的情形，对应有 种方法．故不同的安装方
法共有 种．
