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微专题：数学求和—倒序相加法求和
【考点梳理】
如果一个数列{a}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，
n
就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前 n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加
法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
【典例剖析】
典例1．设 ，
A．4 B．5 C．6 D．10
典例2．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的
项数为（ ）
A．12 B．14
C．16 D．18
典例3．已知数列 的前 项和为 ，满足 ，（ 均为常数），且 .设函数
，记 ，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
典例4．在进行 的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数
据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列 满足
，则 （ ）
A． B．
C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
5．已知数列 ，则 （ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
6．已知函数 满足 ，若数列 满足 ，则
数列 的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
7．已知函数 ，利用课本中推导等差数列的前 项和的公式的方法，可求得
（ ）.
A．25 B．26 C．13 D．
8．已知函数 ，则 的值为
A．4033 B．-4033
C．8066 D．-8066
9．已知函数 ，数列 满足 ，则 （ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
10．对于函数 ，定义:设 是 的导数， 是函数 的导数，若方程
有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”
且“拐点”就是对称中心.设函数 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司11．已知 若等比数列 满足 则 （ ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
12．函数 ，其中 ，记 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
13．已知 ， （ ），则 （ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为
，则 （ ）
A．0 B．n C． D．
15．已知函数 为奇函数， ，即 ，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
16．设 ,根据课本中推导等差数列前 项和的方法可以求得 的值是
A． B．0 C．59 D．
17．已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，若 ，则
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
18．已知函数 ，则 （ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．2018 B．2019
C．4036 D．4038
19．已知函数 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
20．设函数 ，求 的值为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
21．已知某数列通项 ，则 （ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
22．已知 是 上的奇函数， , ,则数列 的通项公式
为（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数 ，若 ，则
的最小值为
A． B． C． D．
24．已知各项都不相等的数列 ，2， ， ，圆 ，圆
，若圆 平分圆 的周长，则 的所有项的和为（ ）
A．2014 B．2015 C．4028 D．4030
25．已知 是 上的奇函数， ， 则数列 的通项
公式为
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司二、填空题
26． ，且 ，则数列 的通项公式为________．
27．设函数 ，数列 满足 ，则 ______.
28．设数列 的通项公式为 该数列的前n项和为 ，则 _________.
29．设 数列 的通项公式为 ，利用等差数列前 项和公式的推导方法，可得数列
的前2020项和为___________.
30．已知函数 ，满足 （a，b均为正实数），则
ab的最大值为______．
31．设函数 ，定义 ，其中 ， ，则 ______.
32．设函数 ， ， ．则数列 的前n
项和 ______．
33．现有函数 ，设数列 满足 ，若
，则 的前n项和 _________．
三、解答题
34．已知函数 ，数列 的前n项和为 ，点 均在函数 的图象上，函数
.
(1)求数列 的通项公式；
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)求 的值；
(3)令 ，求数列 的前2020项和 .
35．设 ， 是函数 的图象上的任意两点．
（1）当 时，求 的值；
（2）设 ，其中 ，求 ；
（3）对应（2）中 ，已知 ，其中 ，设T为数列 的前n项和，求证 ．
36．已知函数 对任意的 ，都有 ，数列 满足 …
.求数列 的通项公式.
37．求和
（1） ；
（2） ，求 ；
（3） ，求 ．
38．对于序列 ，实施变换T得序列 ，记作 ；对 继
续实施变换T得序列 ，记作 ．最后得到的序列 只有一个数，
记作 ．
(1)若序列 为1，2，3，求 ；
(2)若序列 为1，2，…，n，求 ；
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作 ，若序列B为序列 的一个排列，请问：
是 的什么条件？请说明理由．
39．已知 为奇函数．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)当 时， ，求证： ．
40．已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 在 的值域；
(2)若 ， 求 的值；
(3)令 ，已知函数 在区间 有零点，求实数k的取值范围.
四、双空题
41．已知数列 的前 项和为 ，且 ，设函数 ，则 ___________，
___________.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【详解】
由于 ，故原式 .
点睛：本题主要考查函数变换，考查倒序相加法.首先注意到要求值的式子的规律：第一个自变量和最后一个自变
量的和为 ，第二个自变量和倒数第二个自变量的和为 ，依次类推.故猜想 的值为常数或者有规律
的数，通过计算 可知，手尾两项的和为 ，由此求得表达式的值.
2．B
【解析】
【分析】
根据条件可得a＋a＋a＋a＝40，an＋an ＋an ＋an ＝80，倒序相加可得a＋an＝30，再代入等差数列求和
1 2 3 4 －1 －2 －3 1
公式即可得解.
【详解】
由题意知a＋a＋a＋a＝40，
1 2 3 4
an＋an ＋an ＋an ＝80，两式相加得a＋an＝30.
－1 －2 －3 1
又因为 ，
所以n＝14.
故选：B
3．D
【解析】
化简函数的解析式，利用数列的和 ，求出通项公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可．
【详解】
因为 ，
由 ，得 ，
又 也满足上式，所以 ，
则 为常数，所以数列 为等差数列；
所以 ，
.
则数列 的前 项和为 ，
记 ，则 ，
所以 ，因此 .
故选：D．
第 8 页【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于先由数列的前 项和确定数列是等差数列，得出 为定值，结合诱导公式，推出
为定值，利用倒序相加法，即可求解.
4．B
【解析】
【分析】
利用倒序相加法得到 ，得到答案.
【详解】
依题意，记 ，
则 ，
又 ，两式相加可得
，
则 .
故选：B．
5．C
【解析】
【分析】
令 ，利用倒序相加原理计算即可得出结果.
【详解】
令 ，
，
两式相加得：
，
∴ ，
故选:C．
6．D
【解析】
根据函数 满足 ，利用倒序相加法求出 ，再求前20项和.
【详解】
因为函数 满足 ，
第 9 页①，
②，
由① ②可得 ， ，
所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列，其前20项和为 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题.
7．C
【解析】
先根据已知条件求出 ，再利用倒序相加法求和即可.
【详解】
解： ，
，
即 ，
设 ，①
则 ，②
则①＋②得： ，
故 .
故选：C.
8．D
【解析】
【详解】
试题分析： ，所以原式 .
考点：函数求值，倒序求和法.
【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的值为 ，依
此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是 ，故考虑 是不是定值.通过算，可以得到
，每两个数的和是 ，其中 ，所以原式等价于 个 即 .
9．A
【解析】
【分析】
先求得 ，然后利用倒序相加法求得正确答案.
第 10 页【详解】
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．令 ，
则 ，两式相加得 ，
∴ ．
故选:A
10．C
【解析】
根据拐点的定义，求出 对称中心，然后运用倒序相加法求值.
【详解】
， ，令 ，
得 ，且 ， 关于点 对称，
，
故选:C
【点睛】
本题考查对新定义的理解，仔细审题是解题的关键，考查倒序法求和，属于中档题.
11．D
【解析】
【详解】
等比数列 满足
第 11 页即 2020
故选：D
【点睛】
本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案.
12．A
【解析】
【分析】
由条件结合对数运算性质可求 ，再结合倒序相加法求 ，利用裂项相消法求 .
【详解】
，∴
，
，∴
，
故选：A．
13．C
【解析】
【分析】
利用累加法即可求出通项公式．
【详解】
解：∵ ，则当 时，
，
……
，
，
∴ ，
化简得 ，
又 ，
∴ ，
经检验 也符合上式，
∴ ，
故选：C．
第 12 页【点睛】
本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能
力，属于中档题．
14．D
【解析】
【分析】
由题意可得 的图像关于点 对称，函数 的图像也关于 对称，然后利用对称性以及倒
序相加法即可得出答案.
【详解】
函数 满足 ，
的图像关于点 对称，而函数 的图像也关于 对称，
设
令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
，
，
故选：D
【点睛】
本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.
15．B
【解析】
由已知可得出 ，可推导出 ，利用倒序相加法可求得数列 的前 项和.
【详解】
由于函数 为奇函数，则 ，即 ，
， ，
所以，
第 13 页，
因此，数列 的前 项和为 .
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列的倒序相加法，解本题的关键在于利用奇函数的性质推导出 ，进而
得出 ，根据此规律结合倒序相加法求解.
16．A
【解析】
【分析】
根据课本中推导等差数列前 项和的方法，运用倒序相加法来求解
【详解】
令 ①
则 ②
① ②可得：
故选
【点睛】
类比等差数列前 项和的求法，代入角度后列出和的表达式，采用倒序相加法来求出结果，在计算过程中还运用了
两角差的余弦公式，本题只要理解方法不难解答
17．C
【解析】
【详解】
∵正数数列 是公比不等于1的等比数列，且
∴ ，即 .
∵函数
∴
第 14 页令 ，则
∴
∴
故选C.
点睛：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数中也有应用.等差数列中主要利用等差数列性质：若
，则 ；函数中主要利用对称中心性质：若 关于 对称，则
.
18．A
【解析】
【分析】
根据函数解析式可验证出 ，采用倒序相加法可求得结果.
【详解】
， ，
令 ，
则 ，
两式相加得： ， .
故选： .
【点睛】
本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定 为常数.
19．C
【解析】
【分析】
设 ，得到 ，再利用倒序相加求和得解.
【详解】
解：函数 ，设 ，则有 ，
所以 ，
所以当 时， ，
令 ，
所以 ，
第 15 页故 ．
故选：C
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；
（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
20．B
【解析】
【分析】
先计算出 的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.
【详解】
， ，
设 ，
则 ，
两式相加得 ，因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得 是解题的关键，考查化简运算能力，属
于中档题．
21．C
【解析】
【分析】
观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算 是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.
【详解】
由已知，数列通项 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
22．C
【解析】
由 在 上为奇函数，知 ，令 ，则 ，得到
．由此能够求出数列 的通项公式．
【详解】
第 16 页由题已知 是 上的奇函数，
故 ，
代入得： ，
∴函数 关于点 对称，
令 ，
则 ，
得到 ，
∵ ，
，
倒序相加可得 ，
即 ，
故选：C．
【点睛】
思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.
先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到 ，最后利用倒序相加法求解数列的通
项公式.
23．A
【解析】
【分析】
根据 ，采用倒序相加的方法可得 ，从而得到 ，根据基本不等式求得最
小值.
【详解】
由题可知：
令
又
于是有
因此
第 17 页所以
当且仅当 时取等号
本题正确选项：
【点睛】
本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得 与 的和，从
而能够构造出基本不等式的形式.
24．D
【解析】
【分析】
根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆 的圆心，得到 ，利用倒序相加法即可求得结果.
【详解】
根据题意知，圆 与圆 相交，设交点为 ， ，
圆 ，圆 ，
相减可得直线 的方程为：
圆 平分圆 的周长， 直线 经过圆 的圆心 ，
， ．
的所有项的和为 ．
故选：D
【点睛】
方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差 等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3） （数列 为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差 等比数列：错位相减法.
25．B
【解析】
【分析】
由 在 上为奇函数，知 ，令 ，则 ，得到
．由此能够求出数列 的通项公式．
【详解】
由题已知 是 上的奇函数
故 ，
第 18 页代入得：
∴函数 关于点 对称，令 ，则 ，得到 ．
∵ ，
倒序相加可得 ，即 ，
故选B．
【点睛】
本题考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解
．属难题
26．
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，求得 ，结合倒序相减法，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
可得 ，
可得 ，
则 ，
可得 ，
所以 ，即数列 的通项公式为 .
故答案为： .
27．
【解析】
【分析】
由题得 ，设 ,考虑一般情况， ，即得解.
【详解】
由题得 , ，
第 19 页两式相加得 ，
考虑一般情况，设 ,
则
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查对数的运算和倒序相加求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
28．
【解析】
利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可知 ，再利用倒序相加法求和.
【详解】
，
，
，
， ， ，… ，
，
，
，
.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查求三角函数的和，解题关键是找到 ，然后利用倒序相加法求和.
29．
【解析】
【分析】
由题设函数式易得 ，再由 ，应用倒序相加得 ，即可
求数列 的前2020项和.
第 20 页【详解】
∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：
30．4
【解析】
由 ，然后配对(用倒序相加法)可求和，从而求出 的
关系，可得出答案.
【详解】
由 .
所以 ，且a，b均为正实数.
则 当且仅当 时取等号.
故答案为：4.
31．0
【解析】
【分析】
由函数的解析式可得 ，由倒序相加法可得答案.
【详解】
由题意 ，
所以
第 21 页由 ①
则 ②
由①+②得
所以
故答案为：0
32．
【解析】
【分析】
由题设 ，讨论n的奇偶性求 的通项公式，再求 .
【详解】
由题设， ，
所以 ，
即 且n ≥ 2，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
故答案为： .
33．
【解析】
【分析】
根据 可推出 ，由此可采用倒序相加的方法求得 ，继而得 的表达
式，采用错位相减法可求得数列的前n项和.
【详解】
由 得，
，
由 ，
第 22 页得 ，
故 ，
故 ，
所以 ，
则 ，
两式相减得：
故 ，
故答案为：
34．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得： ，由 即可求解；
（2）求出 的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
（1）因为点 均在函数 的图象上，所以 ，当 时，
，当 时， ，适合上式，所以 .
（2）因为 ，所以 ，所以 .
（3）由（1）知 ，可得 ，所以
，①又因为
，②因为 ，所以① ②，得
，所以 .
35．（1） 1 （2） （3） 证明见解析.
【解析】
第 23 页【分析】
（1）由已知条件以及对数运算法则化简即可；
（2）利用倒序相加求和法得到结果；
（3）先化简，再放缩，最后根据裂项相消法求和，即证得不等式。
【详解】
（1） ， 是函数 的图象上的任意两点，
， ，且 时，
（2） ，
，
， ①
， ②
由① ②，得：
， ，故 ；
（3） ，
，
， ， 是单调递增数列，
，
所以
第 24 页，
.
【点睛】
关键点睛：本题考查函数值的求法，考查数列前 项和的求法，考查不等式的证明，解答本题的关键是观察出
，由倒序相加法求和，由
，放缩后裂项相消法可求和，属于压轴题.
36．
【解析】
【分析】
由题得 ，所以 … .①
… .②，两式相加即得解.
【详解】
因为 ，
.
故 … .①
… .②
①+②，得 ， .
所以数列 的通项公式为 .
37．（1） ；（2）若 时， ；
若 时， = ；（3）
【解析】
【分析】
第 25 页（1）使用裂项相消法求和法；
（2） 时，转化为等差数列求和； 时，用乘公比错位相减法求和；
（3）当 为偶数时，转化为等差数列求和；当 为奇数时， 为偶数，使用上面的结果求出 ，然后再加上
第 项即可.
【详解】
解（1） ，
．
（2）若 ，则 ；
若 ， ①
． ②
，得
．
．
（3）当 为偶数时，
．
由 ，可知 ，
；
当 为奇数时，
．
， .符合 ；
综上，
【点睛】
这三小题是数列求和的常见形式，应切实把握．尤其是第（2）小题，在 时，乘公比，错后一项，相减，然后
应用等比数列求和公式求和，环环相扣．既要注意求和时的项数，还要留意符号，稍有不慎，就可能算错，应通
过适量练习，学好这种算法．第（3）小题是正负相间的波动数列求和的例子，用的是配对求和的方法．这种方法
第 26 页常常很有效，对奇数情形的处理策略是将其转化为已经解决过的偶数情况.属于中档题.
38．(1)
(2)
(3)充分不必要条件
【解析】
【分析】
（1）根据所给定义计算可得；
（2）根据归纳推理可得 ，利用倒序相加法，化简即可得结果.
（3）根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
(1)
解：序列 为1，2，3， ， ， ，即8， ．
(2)
解： 时，
时， ．
时， ，
时， ，
，
取 时， ，
取 时， ①，
则 ②，
① ②得，
所以 ．
由序列 为1，2， ， ，可得 ．
(3)
解：序列 为序列 ，2， ， 的一个排列， ．而反之不成立．
例如取序列 为： ， ， ，2，1，满足 ．
因此 是 的充分不必要条件．
39．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的性质求解即可.
第 27 页（2）首先根据题意得到 ，再利用倒序相加求解即可.
（3）当 时，显然成立，当 时，根据 ，利用缩放法证明即可.
(1)
因为 为奇函数，定义域为 ，
所以 ，所以 .
当 时，
故 是奇函数．综上 ．
(2)
，
.
令 ，
则 ，
两式相加得： ，所以 .
故 .
(3)
因为
当 时，
所以不等式 成立.
当 时，因为
所以
第 28 页综上，当 ， 恒成立．
40．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用指对恒等式化简得 ，利用二次函数的性质求值域.
（2）通过验证 ，利用倒序相加法求值.
（3）设 ， ，则方程 等价于 ，故 有零点，即求
的值域.
(1)
若
，
当 上函数 为增函数，
则函数的最大值为 ，函数的最小值为 ，则函数的值域为 .
(2)
若 ，则 ，
则 ，
设
则
第 29 页两式相加得 ，即 ，则
故 .
(3)
令
，
设 ，当 ，则 ，则函数等价为 ，
若函数 在区间 有零点，
则等价为 在 上有零点，
即 在 上有解，
即 在 上有解，
即 ，
设 ，则 ，则 ，则 在 上递增，
则当 时， ，当 时， ，
∴ ，即 ，即实数k的取值范围是 .
41． ##
【解析】
【分析】
根据 ，作差即可求出 的通项公式，再由 的解析式及诱导公式得到 ，
再利用倒序相加法求和.
【详解】
解：由于 ，①，
当 时 ，所以 ，
当 时， ，②，
第 30 页① ②得： ，
所以 ，显然 时 也成立，
当 时， ，
当 时 也成立，所以 ；
根据函数 ，
所以 ， ，
所以 ；
所以
．
故答案为： ；
第 31 页第 32 页
