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第 01 讲 函数的概念
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知函数 ，那么 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：D．
2．（2023·浙江·统考二模）已知函数 满足 ，则 可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， ，则 ， ，不满足 ；
对于B， ，则 ， ，
不满足 ；
对于C， ，则 ， ，不满足 ；
对于D， ，当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ，
即此时 满足 ，D正确，
故选：D
3．（2023·湖北十堰·统考二模）已知函数 当 时， 取得最小值，
则m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 1【答案】B
【解析】由题可知 解得 ．
故选：B.
4．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知函数 满足 ， ，则
下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，∴ ， ．
由 ，有 ，即 ，∴ ．
故选：D
5．（2023·青海西宁·统考二模）已知 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． 或 C． D．不存在
【答案】B
【解析】由题意， ， ，即 .
当 ，即 时， ，解得 ，满足题意；
当 ，即 时， ，解得 ，满足题意.
所以 或 .
故选：B.
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，当 时， ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 2因为 ，
故选:C.
7．（2023·全国·高三专题练习）存在函数 满足，对任意 都有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对A，取 可得 ，即 ，再取 可得 ，
即 ，故A错误；
对B，令 ，此时 ，即 ，符合题设，故B正确；
对C，取 ，有 ；取 ，有 ，故C错误；
对D，取 得 ，再取 可得 ，故D错误
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，且 ，则 的最大值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由 ①，得 ②，
①得 ③，
②-③得 ，
因为 ，所以 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， （当且仅当 时，等号成立）．
综上所述， 的最大值为 .
学科网（北京）股份有限公司 3故选：B
9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）集合 与对应关系 如下图所示：下列说法正确的是（ ）
A． 是从集合 到集合 的函数
B． 不是从集合 到集合 的函数
C． 的定义域为集合 ，值域为集合
D．
【答案】AD
【解析】选项A，对于集合A中的每个元素都有唯一的数对应，符合函数定义，正确；
选项B，由选项A分析，错误；
选项C， 的定义域为集合 ，值域为集合 ，为集合B的真子集，错误；
选项D， ，故 ，正确
故选：AD
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则实数
的取值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】ABC
【解析】因函数 的定义域为 ，于是得 ，不等式 成立，
当 时， 恒成立，则 ，
当 时，必有 ，解得 ，
综上得： ，显然，选项A，B，C都满足，选项D不满足.
故选：ABC
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司 4A． ， B．当 时， 取得最小值
C． 的最大值为2 D． 的图象与直线 有2个交点
【答案】BC
【解析】令 ，则 ， ，
所以 ．
当 ，即 时， ，A错误，B正确；
当 ，即 时， ，C正确；
因为 ．所以 的图象与直线 只有1个交点，
即 的图象与直线 只有1个交点，D错误．
故选：BC
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】令 ，则 ，所以 ，则 ，
故C错误；
，故A正确； ，故B错误；
（ 且 ），故D正确．
故选：AD．
13．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数 满足以下条件：①在区间 上单调递增；②对任
意 ， ，均有 ，则 的一个解析式为______．
学科网（北京）股份有限公司 5【答案】 （答案不唯一）
【解析】如： ，则 ， ，
又 ，则 ，
此时 在区间 上单调递增，满足题设.
故答案为： （答案不唯一）
14．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数 ， 定义域均为 ，对任意 满足
，且 ，求 __________.
【答案】
【解析】由题意可知，令 ，则 ，解得 ，
由 ，得 ，即
，
令 ，得 ，即 ，
解得 .
故答案为： .
15．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数 ，则 ________．
【答案】 /
【解析】由题知 ， .
故答案为：
16．（2023·河北张家口·统考二模）函数 的最小值为___________.
【答案】1
【解析】函数 的定义域为 .
由复合函数的单调性可知, 在 上单调递减,在 上单调递增.
学科网（北京）股份有限公司 6而 .所以,函数 的最小值为1.
故答案为:1.
17．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知二次函数 ， ，且
.
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在区间 上的值域．
【解析】（1）因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ．
（2）因为 ，所以 是开口向上，对称轴为 的抛物线．
因为 在 递减，在 递增，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 在 上的值域为 ．
18．（2023·宁夏银川·校联考一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的定义域；
(2)设函数 的定义域为 ，当 时， ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，依题意， ，
当 时，不等式化为： ，解得 ，则有 ，
当 时，不等式化为： ，解得 ，则有 ；
当 时，不等式化为： ，解得 ，则有 ，
综上得： 或 ，
学科网（北京）股份有限公司 7所以函数 的定义域为 .
（2）因当 时， ，则对 ， 成立，
此时， ， ，则 ，
于是得 ， 成立，而函数 在 上单调递减，
当 时， ，从而得 ，解得 ，又 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的值域；
(2)证明： ；
【解析】（1） ，设 ，则有 ，
所以函数 的值域为 ；
（2） 当 时，此时显然 ；
当 时，必有两点 位于函数 图像上，且两点关于直线 对称．
又因为 ，所以 ．
因为当 时， ．
即对 恒成立，所以不存在两点关于直线 对称．
综上， ．
20．（2023·全国·高三专题练习）设定义在 上的偶函数 和奇函数 满足 （其中
），且 .
(1)求函数 和 的解析式；
(2)若 的最小值为 ，求实数 的值.
学科网（北京）股份有限公司 8【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为函数 为偶函数，函数 为奇函数，所以 ，
即 ，
所以 ， ，
又 ， ，所以 或 (舍)，
从而 ， .
（2）因为 ， ， ，
所以 ，
令 ，则 ：
所以 ，
因为 ，当且仅当 时取等号， ，
所以 ，所以 .
21．（2023·全国·高三对口高考）已知函数 的值域是 ，求函数
的定义域和值域．
【解析】 的定义域为R，令 ，有 ，由 ，得
，即 ，它与 等价，比较系数得 ．
由此得 ．
根据 ，解得 ，又 ，所以函数 的定义域为R，值域是
．
22．（2023·全国·高三对口高考）已知函数 ．
(1)证明：当 且 时， ；
(2)若存在实数 ，使得函数 在 上的值域为 ，求实数m的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 9【解析】（1）证明：函数 的图象可由 的图象向上平移1个单位，
然后保留x轴上交点以及其上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，
其图象如图示：
由 且 知， ，
， ，
则由 得 ，
由于 ，（因为 ，故等号不成立），
故 ，即 .
（2）由题意存在实数 ，使得函数 在 上的值域为 ，
可知 ；
由 可知当 或 ，则必有 ，不合题意；
当 时， ，而 ，与 矛盾；
∴ 或 ，
当 时，由 是减函数知， ，
即 ， ，得 ，不合题意，舍去；
当 时，由 是增函数知， ，
即 ， ，即 ， ，
∴ 是方程 的两个不相等实根，且这两根均大于1，
∴ 且 ， ，解得 ，
∴实数m的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司 101．（2022•上海）下列函数定义域为 的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ，定义域为 ，
，定义域为 ，
，定义域为 ，
，定义域为 ．
定义域为 的是 ．
故选： ．
2．（2023•北京）已知函数 ，则 ．
【答案】1．
【解析】 函数 ，
，
故答案为：1．
3．（2023•上海）已知函数 ，则函数 的值域为 ．
【答案】 ， ．
【解析】当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的值域为 ， ．
故答案为： ， ．
4．（2022•上海）设函数 满足 对任意 ， 都成立，其值域是 ，已知对任何
满足上述条件的 都有 ， ，则 的取值范围为 ．
【答案】 ， ．
学科网（北京）股份有限公司 11【解析】法一：令 ，解得 （负值舍去），
当 时， ，
当 时， ，
且当 时，总存在 ，使得 ，
故 ，
若 ，易得 ，
所以 ，
即实数 的取值范围为 ；
法二：原命题等价于任意 ，
所以 恒成立，
即 恒成立，又 ，
所以 ，
即实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
5．（2022•北京）函数 的定义域是 ．
【答案】 ， ， ．
【解析】要使函数 有意义，
则 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ， ， ．
学科网（北京）股份有限公司 12故答案为： ， ， ．
6．（2021•全国）已知函数 ，且 ，则 （2） ．
【答案】 ．
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 （2） ．
故答案为： ．
7．（2021•全国）函数 的定义域是 ．
【答案】 ， ．
【解析】 函数 ，
， ，
， ，
函数 的定义域是 ， ，
故答案为： ， ．
8．（2021•浙江）已知 ，函数 若 ，则 ．
【答案】2．
【解析】因为函数 ，
所以 ，
则 （2） ，解得 ．
故答案为：2．
9．（2020•全国）设函数 的定义域为 ，且 ， （2） ，则 ．
【答案】512．
【解析】 ， ，
（4） （2） ， （6） （4） ，
（8） （6） ， （8） ，
， ，
学科网（北京）股份有限公司 13， ，
．
故答案为：512．
10．（2020•北京）函数 的定义域是 ．
【答案】 ．
【解析】要使函数有意义，则 ，
所以 ，所以 ，
所以函数的定义域为 ，
故答案为： ．
学科网（北京）股份有限公司 14
