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第 01 讲 导数的概念与运算
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·全国·模拟预测）已知 为实数，函数 是偶函数，则曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是偶函数，
所以 ，
所以 ，故 ，
又 ，所以 ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
故选：A.
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C： ，（ ）的焦点为F， 为C上
一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为 ，则直线FM的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
由题意知， ，解得： ，
又∵M在 上，
∴ ，解得： ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 1∴ .
故选：B.
3．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数 ，若 的图象在 处的切线与
坐标轴围成的三角形的面积为1，则 （ ）
A． B．2 C．±2 D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .
因为 ，所以 的图象在 处的切线方程为 .
因为切线与坐标轴能围成三角形，所以 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，所以 .
故选：D
4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数 的导函数 的图象，若 ，则
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 的图象可知，当 时， ，则在区间 上，函数 上各点处
学科网（北京）股份有限公司 2切线的斜率在区间 内，
对于A，在区间 上，函数 上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；
对于B，在区间 上，函数 上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；
对于C，在区间 上，函数 上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；
对于D，由 的图象可知，当 时， ，当 时， ，当 时，
，
所以函数 上各点处切线的斜率在区间 内，在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，
而函数 的图象均符合这些性质，故D正确.
故选：D
5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设 为 上的可导函数，且 ，则曲线
在点 处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
【答案】C
【解析】 .
故曲线 在点 处的切线斜率为 .
故选：C
6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若过原点与曲线 相切的直线，切点均与原点不
重合的有2条，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
设过原点的切线与曲线 在 处相切，
所以切线的斜率 ，整理得 ，
设 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，且当 时 ，当 时 ，
学科网（北京）股份有限公司 3所以当 时过原点与曲线 相切的直线有2条.
故选：C
7．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若曲线 与 有三条公切线，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设公切线为 是 与 的切点，由 ，得 ，
设 是 与 的切点，由 ，得 ，
所以 的方程为 ，
因为 ，整理得 ，
同理 ，
因为 ，整理得 ，
依题意两条直线重合，可得 ，
消去 ，得 ，
由题意此方程有三个不等实根，设 ，
即直线 与曲线 有三个不同的交点，
因为 ，令 ，则 ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 有极小值为 ， 有极大值为 ，
因为 ， ， ，所以 ，
当 趋近于 时， 趋近于0；当 趋近于 时， 趋近于 ，
故 的图象简单表示为下图:
学科网（北京）股份有限公司 4所以当 ，即 时，直线 与曲线 有三个交点.
故选：A.
8．（2023·湖北·模拟预测）已知函数 ，都有 的最小值为0，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知 ，都有 的最小值为0，可转化为直线 与 相切.
设切点坐标为 ，则可得 ，可得 .
令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
所以 ，即 的最小值为 .
故选:A.
9．（多选题）（2023·重庆·校联考三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，
引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及
当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设 是函数 的导函数，若
，对 ， ，且 ，总有 ，则下列选项正确的是
（ ）
A．
B．
学科网（北京）股份有限公司 5C．
D．
【答案】ABD
【解析】A选项，根据 可得， 在R上单调递增，
因为 ，所以 ，A正确；
B选项，因为 ， ，且 ，总有 ，
所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知， 表示函数图象上的各点处的切线斜率，
显然随着 的增大，切线斜率变小，且恒为正，
因为 ，所以 ，B正确；
C选项， ，结合函数图象可知 ，C错误，D正
确.
故选：ABD
10．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）若一条直线与两条或两条以上的
曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线 ： 为曲线 ： 和 ：
的公切线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的图象在 轴的上方
B．当 时，
C．若 ，则
D．当 时， 和 必存在斜率为 的公切线
【答案】ABD
【解析】选项A，由 ， 得 ，可知曲线 的图象在 轴的上方，故A正确；
选项B，当 时， ： ， ： ，
学科网（北京）股份有限公司 6对于 ： ，有 ，
因为直线 ： 为曲线 的切线，
所以 ，即 ，此时 ，
所以切点坐标为 ，将其代入切线方程 中，
有 ，整理得 ，可得 ，即B正确；
选项C，当 时，公切线 为 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ， ，解得 ， ，故C错误；
选项D，当 时， ， ，则 ， ，
若 和 存在斜率为 的公切线，则存在 和 使得 ， ，
由选项B可知， ，即 ，
所以 ， ，即 ， ，符合题意，
故当 时， 和 必存在斜率为 的公切线，即D正确．
故选：ABD．
11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 ，过点 的直线 与曲线
相切，则与直线 垂直的直线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】 ，则 ，
设切点坐标为 ，则 ，所以切线方程为 ，
又切线过点 ，所以 ，
即 ，故 ，解得 或 ，
学科网（北京）股份有限公司 7所以直线 的斜率为 或 ，
对于A：直线 的斜率为 ，符合题意，故A正确；
对于B：直线 的斜率为 ，不符合题意，故B错误；
对于C：直线 的斜率为 ，不符合题意，故C错误；
对于D：直线 的斜率为 ，符合题意，故D正确；
故选：AD
12．（多选题）（2023·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线 两条互相垂直的切线 、 ，
切点为 、 、 不重合 ，设直线 、 分别与y轴交于点A、B，则（ ）
A． 、 两点的纵坐标之积为定值 B．直线 的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值 D． 面积的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由函数 ，则 ，
设 ， ，
当 ， 时，由题意可得， ，化简可得 ，符合题意；
当 时，由题意可得， ，化简可得 ，显然不成立；
当 时，由题意可得， ，化简可得 ，显然不成立；
对于A， ，故A错误；
对于B，直线 的斜率 ，故B正确；
对于C，易知直线 ，直线 ，
令 ，则 ，即 ，同理可得 ，
，故C正确；
学科网（北京）股份有限公司 8对于D，联立 ，整理可得 ，解得 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则当 时， ，
所以， ，故D正确.
故选：BCD.
13．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ，若这两个函数的图象在
公共点 处有相同的切线，则 _________．
【答案】 /
【解析】因为 ，
所以 ， ，
因为 在公共点 处有相同的切线，
所以 即 ，
所以
故答案为：
14．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）曲线 在点 处的切线方
程为______．
【答案】
【解析】对函数 求导可得 ，所以 ，
所求切线的斜率为 ，故所求切线方程为 ，即 .
故答案为： .
15．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数 的图象在 处的
切线与在 处的切线相互垂直，则 的最小值是___________.
【答案】 /
学科网（北京）股份有限公司 9【解析】因为 ，
所以 ，
依题意可得 ，
所以 ,
所以 且 ，
或 且 ，
当 且 时，
， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以当 或 时， 取得最小值 .
当 且 时，
， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以当 或 时， 取得最小值 .
综上所述： 的最小值是 .
故答案为： .
16．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若函数 的图象上存在不同的两点，使函数
图象在这两点处的切线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e，则称该函数为“e函数”，下列四个函数中，
其中为“e函数”的是________．
学科网（北京）股份有限公司 10① ；② ；③ ；④
【答案】①③④
【解析】记 ， ， ．
① ， ， ，当 时， ，当 时， ，
∴ 时， 有最小值 ， 值域为 ，
∴存在 、 使 ，故 是e函数；
②
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，不存在 、 使 ，
故 不是e函数；
③ ， ， 值域为R，
∴存在 、 使 ，故 是e函数；
④ ，
值域为 ，
∴存在 、 使 ，故 是e函数．
故答案为：①③④
1．（2023•甲卷）曲线 在点 处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】
学科网（北京）股份有限公司 11【解析】因为 ，
，
故函数在点 处的切线斜率 ，
切线方程为 ，即 ．
故选： ．
2．（2021•新高考Ⅰ）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】法一：函数 是增函数， 恒成立，
函数的图象如图， ，即切点坐标在 轴上方，
如果 在 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．
点 在 轴或下方时，只有一条切线．
如果 在曲线上，只有一条切线；
在曲线上侧，没有切线；
由图象可知 在图象的下方，并且在 轴上方时，有两条切线，可知 ．
故选： ．
法二：设过点 的切线横坐标为 ，
则切线方程为 ，可得 ，
设 ，可得 ， ， ， 是增函数，
， ， 是减函数，
因此当且仅当 时，上述关于 的方程有两个实数解，对应两条切线．
故选： ．
学科网（北京）股份有限公司 123．（2020•新课标Ⅰ）函数 的图象在点 ， （1） 处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
（1） ，
又 （1） ，
函数 的图象在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
即 ．
故选： ．
4．（2022•新高考Ⅰ）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是 ．
【答案】 ， ， ．
【解析】 ，设切点坐标为 ， ，
切线的斜率 ，
切线方程为 ，
又 切线过原点， ，
整理得： ，
切线存在两条， 方程有两个不等实根，
△ ，解得 或 ，
即 的取值范围是 ， ， ，
故答案为： ， ， ．
5．（2022•新高考Ⅱ）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ．
【答案】 ， ．
学科网（北京）股份有限公司 13【解析】当 时， ，设切点坐标为 ， ，
， 切线的斜率 ，
切线方程为 ，
又 切线过原点， ，
，
切线方程为 ，即 ，
当 时， ，与 的图像关于 轴对称，
切线方程也关于 轴对称，
切线方程为 ，
综上所述，曲线 经过坐标原点的两条切线方程分别为 ， ，
故答案为： ， ．
6．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 ， ， ，函数 的图象在点 ， 和点
， 的两条切线互相垂直，且分别交 轴于 ， 两点，则 的取值范围是 ．
【答案】 ．
【解析】当 时， ，导数为 ，
可得在点 ， 处的斜率为 ，
切线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即 ，
当 时， ，导数为 ，
可得在点 ， 处的斜率为 ，
令 ，可得 ，即 ，
由 的图象在 ， 处的切线相互垂直，可得 ，
即为 ， ， ，
所以 ．
故答案为： ．
7．（2021•甲卷）曲线 在点 处的切线方程为 ．
学科网（北京）股份有限公司 14【答案】 ．
【解析】因为 ， 在曲线上，
所以 ，
所以 ，
则曲线 在点 处的切线方程为：
，即 ．
故答案为： ．
8．（2020•新课标Ⅲ）设函数 ，若 （1） ，则 ．
【答案】1．
【解析】 ，
， （1） ，
，则 ，
故答案为：1．
9．（2020•新课标Ⅰ）曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．
【答案】 ．
【解析】 的导数为 ，
设切点为 ，可得 ，
解得 ，即有切点 ，
则切线的方程为 ，即 ，
故答案为： ．
10．（2022•甲卷）已知函数 ， ，曲线 在点 ， 处的切线也是曲
线 的切线．
（1）若 ，求 ；
（2）求 的取值范围．
【解析】（1）由题意知， ， ， ，则 在点
学科网（北京）股份有限公司 15处的切线方程为 ，
即 ，设该切线与 切于点 ， ， ，则 ，解得 ，则
（1） ，解得 ；
（2） ，则 在点 ， 处的切线方程为 ，整理得
，
设该切线与 切于点 ， ， ，则 ，则切线方程为 ，
整理得 ，
则 ，整理得 ，
令 ，则 ，令 ，解得 或
，
令 ，解得 或 ，则 变化时， ， 的变化情况如下表：
0 1
0 0 0
单调递减 单调递增 单调递减 单调递增
则 的值域为 ， ，故 的取值范围为 ， ．
学科网（北京）股份有限公司 16
