专题03一元二次方程中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）（学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_压轴题专项-V5_2026版

专题 03 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 类型二、一元二次方程的解求参数的值 类型三、一元二次方程的解求代数式的值 类型四、根据一元二方程根的情况求参数 类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 压轴专练 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 1.依据一般形式ax2 + bx + c = 0（a≠0），明确二次项系数不能为零，通过此限制条件构建关于参数 的不等式或方程，求解得出符合要求的参数值 ； 2.结合方程中各项次数特征，确保未知数最高次数为 2 ，当方程含有参数指数形式时，利用次数关系 列方程求解参数，同时要兼顾二次项系数条件进行验证。 例1．若 是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【变式1-1】若关于x的方程 是一元二次方程，则 ． 【变式1-2】若 是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【变式1-3】若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是 ． 类型二、一元二次方程的解求参数的值 1. 将方程的解代入原方程，使方程等式成立，得到关于参数的方程，进而求解参数。 2. 若已知一元二次方程的两个解，可利用根与系数的关系（韦达定理），即两根之和等于一次项系数 与二次项系数比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，建立参数方程组，从而确定参数的值。 例2．已知一元二次方程 的一根为 ，则a的值为 ． 【变式2-1】已知一元二次方程 的一个根为 ，则 的值为 ． 【变式2-2】已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值是 ． 【变式2-3】已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值是 ． 类型三、一元二次方程的解求代数式的值 1. 将方程的解代入原方程，得到关于未知数与参数的等式，通过变形等式，整体代入目标代数式求 值； 2. 利用根与系数的关系（韦达定理），若已知一元二次方程两根，根据两根之和与两根之积的表达 式，对目标代数式进行拆分、重组，再代入计算，实现由方程的解向代数式值的转化。 例3．如果关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则 ． 【变式3-1】已知 是一元二次方程 的一个根，则有 ． 【变式3-2】已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为 ． 【变式3-3】若 是方程 的一个实数根，则 的值为 . 类型四、根据一元二方程根的情况求参数 1. 利用判别式Δ = b2 - 4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，有两个相等的实数根； Δ<0时，无实数根，据此建立关于参数的不等式或方程求解。 2. 结合根与系数的关系（韦达定理），在已知根的数量及部分条件时，通过两根之和、两根之积的表 达式，联立方程确定参数取值。 例4．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【变式4-1】若关于x的一元二次方程 有实数根，则m的最大整数值是 ．【变式4-2】若关于x的方程 无解，那么实数c的取值范围是 ． 【变式4-3】关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 ． 类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 b c 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x x，则x+x= - ，xx = ，直接将 1、 2 1 2 a 1 2 a 根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2. 结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确 定参数的准确取值。 例5．已知关于 的一元二次方程 ． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围； (2)若 ，求一元二次方程的根； (3)若方程两实数根为 ， ，且满足 ，求实数 的值． 【变式5-1】关于 的一元二次方程 有两个不等实根 ， (1)求实数 的取值范围． (2)若方程两实根 ， 满足 ，求 的值． 【变式5-2】已知关于 的一元二次方程 满足 ． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若一元二次方程的两实根为 ， ，且 ，请确定 之间的数量关系． 【变式5-3】关于 的一元二次方程 ． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)设此方程的两个根分别为 ，若 ，求 的值．一、单选题 1． 是关于 的一元二次方程，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．若 是方程 的一个解，则 的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 3．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数m的值为 A．4 B． C．2 D． 4．设a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则m的值为 （ ） A． 或 B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． 且 D． 且 二、填空题 6．若关于x的方程 是一元二次方程，则m= ． 7．若一元二次方程 无实数根，则 的取值范围为 ． 8．已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值是 ．9．若关于 的一元二次方程 的两根为 ，且 ，则 的值是 ． 10．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 三、解答题 11．当 为何值时，方程 (1)是关于 的一元一次方程． (2)是关于 的一元二次方程． 12．关于 的方程为 ， 为实数． (1)判断方程根的情况． (2)求整数 ，使原方程至少有一个整数根． 13．若关于x的一元二次方程 有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若a，b是关于x的一元二次方程 的两个根，且 ，求m的值． 14．已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若 ， 为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求 的值． 15．已知关于 的一元二次方程 ． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围； (2)若 ，求一元二次方程的根； (3)若方程两实数根为 ， ，且满足 ，求实数 的值．