第21章 一元二次方程（易错题考点集训）
【23个高频易错考点 共46题】
易错考点01：由一元二次方程的解求参数..............................................................................................................2
易错考点02：一元二次方程的解的估算...................................................................................................................3
易错考点03：由一元二次方程的定义求参数..........................................................................................................4
易错考点04：解一元二次方程-直接开平方法.......................................................................................................5
易错考点05：解一元二次方程-配方法.....................................................................................................................6
易错考点06：配方法的应用..........................................................................................................................................7
易错考点07：根据判别式判断-元二次方程根的情况.........................................................................................8
易错考点08：根据一元二次方程根的情况求参数..............................................................................................10
易错考点09：公式法解一元二次方程.....................................................................................................................12
易错考点10：因式分解法解一元二次方程............................................................................................................13
易错考点11：换元法解一元二次方程.....................................................................................................................15
易错考点12：—元二次方程的根与系数的关系...................................................................................................16
易错考点13：传播问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................18
易错考点14：增长率问题（一元二次方程的应用）.........................................................................................19
易错考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用）...........................................................................21
易错考点16：数字问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................23
易错考点17：营销问题(一元二次方程的应用）................................................................................................24
易错考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用）.....................................................................................27
易错考点19：工程问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................29
易错考点20：行程问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................31
易错考点21：图表信息题（一元二次方程的应用）.........................................................................................33
易错考点22：其他问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................35
易错考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）...........................................................................38
易错考点01：由一元二次方程的解求参数
1．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）如果2是方程x2−cx+2=0的一个根，那么c的值是（ ）
A．3 B．2 C．−2 D．−3
【答案】A
【思路引导】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化
为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错．
根据方程根的定义，把x=2代入方程，得到22−2c+2=0，然后通过移项、计算，求出c的值．
【规范解答】解：由题意，将x=2代入方程，得：22−2c+2=0
4−2c+2=0
6−2c=0
2c=6
解得c=3．
故选：A．
m−3 ( 5 )
2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）先化简，再求值： ÷ m+2− ，其中m
3m2−6m m−2
是方程x2+3x−1=0的根．
1 1
【答案】 ， ．
3(m2+3m) 3
【思路引导】本题考查了分式化简求值，方程的解，先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，
由于m是方程x2+3x−1=0的根，那么m2+3m−1=0，可得m2+3m=1整体代入化简后的式子，计算即
可，掌握知识点的应用是解题的关键．
m−3 ( 5 )
【规范解答】解： ÷ m+2−
3m2−6m m−2
m−3 m2−4−5
= ÷
3m(m−2) m−2
m−3 m−2
= ×
3m(m−2) (m+3)(m−3)
1
=
，
3(m2+3m)
∵m是方程x2+3x−1=0的根，
∴m2+3m−1=0，∴m2+3m=1，
1
∴原式=
3×1
1
= ．
3
易错考点02：一元二次方程的解的估算
3．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）观察下列表格，一元二次方程x2−3x=4.6的一个近似解为
（）
x −1.13 −1.12 −1.11 −1.10 −1.09 −1.08 −1.07
x2−3x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.36
A．−1.123 B．−1.117 C．−1.089 D．−1.073
【答案】B
【思路引导】先明确方程x2−3x=4.6，通过表格找x2−3x的值接近4.6时对应的x，利用函数的增减性确
定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系
及通过数据趋势判断近似解是解题关键．
【规范解答】解：观察表格：
当x=−1.13时，y=4.67；当x=−1.12时，y=4.61；当x=−1.11时，y=4.56 ，
∵4.61更接近4.6，
∴x=−1.12时x2−3x的值更接近4.6，且x在−1.13到−1.11 逐渐增大时，x2−3x逐渐减小（由表格数
据可知），4.6介于4.61（x=−1.12）和4.67（x=−1.13）之间，更靠近4.61，
∴近似解在−1.12附近，
对比选项，−1.117最接近−1.12 ，
故选：B．
4．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）根据下表判断方程x2+2x−10=0的一个解x的取值范围是
（ ）
x … −4.5 −4.4 −4.3 −4.2 −4.1 …
x2+2x−10 … 1.25 0.56 −0.11 −0.76 −1.39 …
A．−4.5<x<−4.4 B．−4.4<x<−4.3
C．−4.3<x<−4.2 D．−4.2<x<−4.1
【答案】B【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，看0在相对应方程的哪两个值之间，那么近似解
就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可．
【规范解答】解：∵当x=−4.3时，x2+2x−10=−0.11<0，
当x=−4.4时，x2+2x−10=0.56>0，
∴当−4.4<x<−4.3时，一定有一个x对应的值，使得x2+2x−10=0，
∴一元二次方程x2+2x−10=0的一个解x的取值范围是−4.4<x<−4.3，
故选：B．
易错考点03：由一元二次方程的定义求参数
5．（25-26九年级上·湖北襄阳·开学考试）已知关于x的方程(m+2)xm2−2+(m−1)x+6=0是一元二次
方程，则m= ．
【答案】2
【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未
知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义作答即可．
【规范解答】解：∵关于x的方程(m+2)xm2−2+(m−1)x+6=0是一元二次方程，
∴m+2≠0，m2−2=2，
即m≠−2，m=±2，
∴m=2
故答案为：2．
6．（25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化为一般形式后不含一次
项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．−3
【答案】C
【思路引导】本题主要考查一元二次方程的一般形式．先将一元二次方程化为一般形式，再由一般形式后
不含一次项，即含x的一次项的系数为0，可得关于m的一元一次方程，求解即可．
【规范解答】解：将x2+mx=3x+5化为一般形式，得x2+(m−3)x−5=0，
∵关于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化为一般形式后不含一次项，
∴m−3=0，
解得：m=3．故选：C．
易错考点04：解一元二次方程-直接开平方法
7．（2025九年级上·全国·专题练习）按照指定方法解下列方程：
(1)(2x−1) 2=9（用直接开平方法）
(2)2x2−9x+8=0（用配方法）
【答案】(1)x =2,x =−1
1 2
9+❑√17 9−❑√17
(2)x = ,x =
1 4 2 4
【思路引导】本题考查了解一元二次方程；
（1）两边开平方得到2x−1=±3，即可求出方程的解；
( 9) 2 17
（2）把原方程配方成 x− = ，再利用开平方法解方程即可．
4 16
【规范解答】（1）解：(2x−1) 2=9，
开平方得，2x−1=±3，
∴2x−1=3或2x−1=−3，
解得：x =2,x =−1；
1 2
（2）解：原方程整理得2x2−9x=−8，
9
二次项系数化为1，得：x2− x=−4，
2
配方，得：x2− 9 x+ (9) 2 =−4+ (9) 2 ，即 ( x− 9) 2 = 17 ，
2 4 4 4 16
9 ❑√17
两边开平方，得x− =± ，
4 4
9+❑√17 9−❑√17
∴x = ,x = ．
1 4 2 4
8．（24-25九年级上·全国·阶段练习）用直接开方法解方程(x−3) 2=8得方程的根为（ ）
A．x=3+2❑√3 B．x =3+2❑√3,x =3−2❑√3
1 2
C．x=3−2❑√3 D．x =3+2❑√2,x =3−2❑√2
1 2【答案】D
【思路引导】考查一元二次方程的解法—直接开平方法，运用整体思想，把(x−3)看作一个整体，利用直
接开平方法求解即可．
【规范解答】解：(x−3) 2=8，
∴x−3=±2❑√2，
∴x=3±2❑√2，
∴x =3+2❑√2,x =3−2❑√2，
1 2
故选：D．
易错考点05：解一元二次方程-配方法
9．（25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试）（1）计算：❑√2(3−❑√2)−❑√8+∣❑√2−2∣
（2）解方程：x2−4x=2
【答案】（1）0；（2）x =2+❑√6，x =2−❑√6
1 2
【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合运算、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则和方法
是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质、绝对值化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）直接用配方法求解即可．
【规范解答】解:（1）❑√2(3−❑√2)−❑√8+∣❑√2−2∣
=❑√2(3−❑√2)−2❑√2+2−❑√2
=3❑√2−2−2❑√2+2−❑√2
=0．
（2）x2−4x=2
x2−4x+4=2+4，
(x−2) 2=6，
x−2=±❑√6，
x=2±❑√6，∴x =2+❑√6，x =2−❑√6．
1 2
10．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）（1）解一元二次方程：x2+2x−6=0．
【答案】x =❑√7−1,x =−❑√7−1
1 2
【思路引导】本题考查解一元二次方程
配方法解方程即可；
【规范解答】解：x2+2x−6=0
x2+2x=6，
x2+2x+1=6+1，
(x+1) 2=7，
x+1=±❑√7，
∴x =❑√7−1,x =−❑√7−1；
1 2
易错考点06：配方法的应用
11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程x2−4x+m=0可配成(x−n) 2=1，则m+n的
值为（ ）
A．−1 B．1 C．−5 D．5
【答案】D
【思路引导】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为(x−2) 2=4−m，所
以n=2，4−m=1，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可．
【规范解答】解：x2−4x+m=0，
x2−4x=−m，
x2−4x+4=4−m，
(x−2) 2=4−m，
∴n=2，4−m=1，
解得m=3，
∴m+n=3+2=5．
故选：D．12．（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题：
若m2+2m+n2−4n+5=0，求m和n的值．
∵m2+2m+n2−4n+5=0，
∴m2+2m+1+n2−4n+4=0，
∴(m+1) 2+(n−2) 2=0，
∴m+1=0，n−2=0，
∴m=−1，n=2．
(1)已知a2−2a+b2+6b+10=0，求a、b的值；
(2)若a2+b2−8a−10b+41+|5−c)=0，请问以a、b、c为三边的△ABC是什么形状？说明理由．
【答案】(1)a=1，b=−3；
(2)△ABC是等腰三角形，理由见解析．
【思路引导】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关
键．
（1）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出a、b即可；
（2）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出a、b、c，根据等腰三角形的概
念解答即可．
【规范解答】（1）解：∵a2−2a+b2+6b+10=0，
∴a2−2a+1+b2+6b+9=0，
∴(a−1) 2+(b+3) 2=0，
∴a−1=0，b+3=0，
∴a=1，b=−3；
（2）解：△ABC是等腰三角形，理由，
∵a2+b2−8a−10b+41+|5−c)=0，
∴a2−8a+16+b2−10b+25+|5−c)=0，
∴(a−4) 2+(b−5) 2+|5−c)=0，
∴a−4=0，b−5=0，5−c=0，
∴a=4，b=c=5，
∴△ABC是等腰三角形．易错考点07：根据判别式判断-元二次方程根的情况
13．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）（1）用配方法解方程：2x2−5x+2=0；
（2）证明：不论a，b，c为任何实数，关于x的方程x2−(a−b)x−(ab+c2)=0都有实数根．
1
【答案】（1）x =2,x = ；（2）见解析．
1 2 2
【思路引导】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握配方法以及根的判别式与根的个数之间的
关系，是解题的关键：
（1）一除，二移，三配方，进行求解即可；
（2）求出判别式的符号即可得证．
【规范解答】解：（1）2x2−5x+2=0，
5
x2− x+1=0，
2
5
x2− x=−1，
2
5 25 25
x2− x+ =−1+ ，
2 16 16
( 5) 2 9
x− = ，
4 16
5 3
x− =± ，
4 4
1
∴x =2,x = ；
1 2 2
（2）x2−(a−b)x−(ab+c2)=0，
∴Δ=[−(a−b)) 2 +4(ab+c2)
=a2−2ab+b2+4ab+4c2
=a2+2ab+b2+4c2
=(a+b) 2+4c2≥0，
∴不论a，b，c为任何实数，关于x的方程x2−(a−b)x−(ab+c2)=0都有实数根．14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于x的方程x2−(m+1)x+ ( m− 1) =0．
4
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当m取0<m<5的整数时，存在两个有理数根，求m的值和这两个有理数根．
【答案】(1)方程必有两个不等实数根；
1 3
(2)m的值为1，这两个有理数根为 和 ．
2 2
【思路引导】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程．
（1）由方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac，可得出Δ=(m−1) 2+1>0，进而可证出方程必有两个不
等实数根；
3
（2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出m=1，代入后可得出原方程为x2−2x+ =0，且
4
Δ=1，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根．
2 ( 1)
【规范解答】（1）证明：Δ=[−(m+1)) −4×1× m−
4
=m2+2m+1−4m+1
=m2−2m+2
=(m−1) 2+1．
∵(m−1) 2≥0，
∴(m−1) 2+1>0，
即Δ>0，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取0<m<5的整数时，存在两个有理数根，且Δ=(m−1) 2+1，
∴m=1，
3
∴原方程为x2−2x+ =0，且Δ=1，
4
−(−2)±1
∴此时原方程的解为x= ，
21 3
∴m的值为1，这两个有理数根为 和 ．
2 2
易错考点08：根据一元二次方程根的情况求参数
15．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生） 已知关于x的方程x2−(m+2)x+2m=0．
(1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数m的值；
(2)若等腰△ABC的一边长为3，另两边的长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长
【答案】(1)−1
(2)等腰三角形的周长为7或8
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌
握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）利用公式法进行求解一元二次方程，得出x =m，x =2，再利用两根异号，且正根的绝对值较大，
1 2
得出−2<m<0，即可求解；
（2）当边长为3的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程，确定出三边长；
当边长为3的边为腰时，则可知方程有一个根为3，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，进而求
得周长，注意根据三角形的三边关系定理判断是否成立．
【规范解答】（1）解：∵x2−(m+2)x+2m=0，
∴a=1，b=−(m+2)，c=2m，
∵Δ=(m+2) 2−4×2m=(m−2) 2≥0，
m+2±❑√(m−2) 2 m+2±(m−2)
∴x= = ，
2 2
∴x =m，x =2，
1 2
∵两根异号，且正根的绝对值较大，
∴−2<m<0，
∴整数m的值为−1；
（2）解：①当3为底边长时，Δ=(m−2) 2=0，
∴m=2，
此时原方程为x2−4x+4=0，
解得：x =x =2．
1 2∵2、2、3能组成三角形，
∴三角形的周长为2+2+3=7；
②当3为腰长时，将x=3代入原方程，得：32−(m+2)×3+2m=0，
解得：m=3，
此时原方程为x2−5x+6=0，
解得：x =2,x =3．
1 2
∵2、3、3能组成三角形，
∴三角形的周长为2+3+3=8，
综上所述：等腰三角形的周长为7或8．
16．（20-21九年级上·湖南永州·期末）若关于x的一元二次方程(k−1)x2−2kx+k−3=0有实数根，
则k的取值范围为（ ）
3 3
A．k≥ B．k≥ 且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
4 4
【答案】B
【思路引导】此题考查了根的判别式，根据题意可得Δ=(−2k) 2−4×(k−1)×(k−3)=16k−12≥0，然
后结合k−1≠0即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式
Δ=b2−4ac，当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0；当方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没
有实数根时，Δ<0．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2−2kx+k−3=0有实数根，
∴Δ=(−2k) 2−4×(k−1)×(k−3)=16k−12≥0，
3
解得：k≥ ，
4
∵k−1≠0，
3
∴k的取值范围是k≥ 且k≠1，
4
故选：B．易错考点09：公式法解一元二次方程
17．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）解下列方程：
(1)(x−2) 2−9=0；
(2)2x2−6x+1=0；
【答案】(1)x =5，x =−1
1 2
3+❑√7 3−❑√7
(2)x = ，x =
1 2 2 2
【思路引导】本题考查一元二次方程的解法，涉及直接开平方法、公式法．直接开平方法体现“降次”思
想，需将方程化为(mx+n) 2=p(p≥0)形式；公式法是通用解法，关键是确定a、b、c并计算判别式Δ．
易错点为直接开平方法漏解正负情况，公式法易在b的取值或计算时出错．
（1）对于(x−2) 2−9=0，因左边是完全平方式，用直接开平方法．先移项得(x−2) 2=9，再由平方根定
义得x−2=±3，分别求解得x ，x ．
1 2
（2）对于2x2−6x+1=0，用公式法．确定a=2，b=−6，c=1，计算Δ=(b) 2−4ac=28>0，代入求根
−b±❑√b2−4ac
公式x= ，得，即可求得x ，x ．
1 2
2a
【规范解答】（1）(x−2) 2−9=0
(x−2) 2=9
x−2=±3
∴x−2=3或 x−2=−3，
∴x =5，x =−1．
1 2
（2）2x2−6x+1=0
∵a=2，b=−6，c=1，
∴Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×2×1=36−8=28>0，
∴方程有两个不相等的实数根．−(−6)±❑√28 6±2❑√7 3±❑√7
∴x= = = ，
2×2 4 2
3+❑√7 3−❑√7
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
18．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=a,AD=b，先以顶点B为圆心，
以边AB为半径作弧交对角线BD于点E，再以顶点D为圆心，以边AD为半径作弧交对角线BD于点 F，则
方程 x2+2ax=b2的一个正根是（ ）
A．线段BD的长 B．线段BF的长 C．线段DE的长 D．线段EF的长
【答案】C
【思路引导】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是
解题的关键．
根据勾股定理求出DE，利用求根公式解方程，比较即可．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=a,BC=AD=b
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=❑√BC2+CD2=❑√b2+a2，
∴DE=BD−BE=BD−AB=❑√a2+b2−a，
−2a±❑√4a2+4b2
解方程x2+2ax=b2得x= =−a±❑√a2+b2，
2
∴线段DE的长是方程x2+2ax=b2的一个根．
故选：C．
易错考点10：因式分解法解一元二次方程
19．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）解方程
(1)2(x−2) 2=x2−4；
(2)3x2+2x−2=0．【答案】(1)x =2，x =6；
1 2
−1+❑√7 −1−❑√7
(2)x = ，x = ．
1 3 2 3
【思路引导】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的
方法．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【规范解答】（1）解：2(x−2) 2=x2−4
2(x−2) 2=(x+2)(x−2)
2(x−2) 2−(x+2)(x−2)=0
(x−2)[2(x−2)−(x+2))=0
(x−2)(x−6)=0，
x−2=0或x−6=0，
解得x =2，x =6；
1 2
（2）解：3x2+2x−2=0
其中a=3，b=2，c=−2，
∴Δ=22−4×3×(−2)=28，
−2±❑√28 −2±2❑√7 −1±❑√7
∴x= = =
6 6 3
−1+❑√7 −1−❑√7
解得x = ，x = ．
1 3 2 3
20．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）按要求解下列方程：
(1)x2−x−1=0（公式法）
(2)x2−4x=−3（配方法）
(3)3x(x+4)=2(x+4)（因式分解法）
1−❑√5 1+❑√5
【答案】(1)x = ，x =
1 2 2 2
(2)x =1，x =3
1 2
2
(3)x =−4，x =
1 2 3【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可解答；
（2）利用配方法解一元二次方程即可解答；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可解答．
【规范解答】（1）解：a=1，b=−1，c=−1，
Δ=(−1) 2−4×1×(−1)=1+5=5>0，
1±❑√5
∴x= ，
2
1−❑√5 1+❑√5
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：配方，得x2−4x+4=−3+4，
即(x−2) 2=1
开方，得x−2=±1
∴x =1，x =3；
1 2
（3）解：移项，得3x(x+4)−2(x+4)=0
则(x+4)(3x−2)=0
∴x+4=0或3x−2=0
2
∴x =−4，x = ．
1 2 3
易错考点11：换元法解一元二次方程
21．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一元二次方程ax2+bx−c=0的解是x =1，
1
x =−3，则另一个关于x的方程a(x+3) 2+b(x+3)−c=0的解是（ ）
2
A．x =2，x =6 B．x =−2，x =−6
1 2 1 2
C．x =−1，x =3 D．x =1，x =−3
1 2 1 2
【答案】B
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二
次方程，令t=x+3，则方程a(x+3) 2+b(x+3)−c=0即为at2+bt−c=0方程，根据题意可得方程的解是
t =1，t =−3；则x+3=1或x+3=−3，据此求解即可．
1 2【规范解答】解：令t=x+3，则方程a(x+3) 2+b(x+3)−c=0即为at2+bt−c=0方程，
∵方程ax2+bx−c=0的解是x =1，x =−3
1 2
∴方程at2+bt−c=0的解是t =1，t =−3，
1 2
∴x+3=1或x+3=−3，
解得，x =−2，x =−6，
1 2
∴方程的解是，x =−2，x =−6．
1 2
故选：B．
22．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程a(x+m) 2+b=0的解是x =−3，x =2，则方
1 2
程a(x+m+1) 2+b=0的解是（ ）
A．x =−2，x =3 B．x =−4，x =1 C．x =4，x =−1D．无实数解
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的结构相同，则解相同是解题的关键．通
过换元法，将新方程转化为原方程的形式，从而利用已知解推导出新解．
【规范解答】解：∵原方程 a(x+m) 2+b=0 的解为 x =−3，x =2，
1 2
∴令新方程 a(x+m+1) 2+b=0 中的 t=x+1，则方程变为 a(t+m) 2+b=0，与原方程形式相同，
∴新方程的 t 解与原方程的 x 解相同，即 t=−3 或 t=2，
∴ t=x+1=−3或t=x+1=2，
∴此时新方程解得 x=−4 或 x=1；
故选：B ．
易错考点12：—元二次方程的根与系数的关系
23．（2024九年级上·湖南衡阳·竞赛）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0．
(1)判断方程根的情况；
(2)若方程的两根x 、x 满足(x −1)(x −1)=6，求k值；
1 2 1 2
(3)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5．
①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)k=−3或2
(3)①k=2；②k=3或4，△ABC的周长为14或16
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二
次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得x +x =2k+3，x x =k2+3k+2，再将(x −1)(x −1)=6
1 2 1 2 1 2
化简为含x +x ，x x 的式子代入计算即可；
1 2 1 2
（3）①根据一元二次方程根与系数的关系及勾股定理列方程求解即可；
②分AB=AC和AB或AC与BC相等两种情况讨论，根据方程的根的情况求解即可．
【规范解答】（1）解：∵Δ=[−(2k+3)) 2 −4(k2+3k+2)=4k2+12k+9−4k2−12k−8=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意，得x +x =2k+3，x x =k2+3k+2，
1 2 1 2
∵(x −1)(x −1)=6，
1 2
∴x x −(x +x )+1=6，
1 2 1 2
∴k2+3k+2−(2k+3)+1=6，
解得k=−3，或k=2；
（3）解：①由题意，得AB+AC=2k+3，AB⋅AC=k2+3k+2，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2，
∴(AB+AC) 2−2AB⋅AC=BC2，
∴(2k+3) 2−2(k2+3k+2)=52，
解得k=−5，或k=2，
∵AB+AC=2k+3>0，
3
∴k>− ，
2
∴k=2
且当k=2时，方程为x2−7x+12=0，解得x=3或4，符合题意，
∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
②若△ABC是等腰三角形，分两种情况：
当AB=AC时，方程有两个相等的实数根，这与Δ>0不符，不合题意，舍去；
当AB或AC与BC相等时，5是方程的根，
∴52−5(2k+3)+k2+3k+2=0，
解得k=3或4，
当k=3时，AB+AC=2k+3=9，△ABC的周长为9+5=14；
当k=4时，AB+AC=2k+3=11，△ABC的周长为11+5=16．
24．（25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试）已知关于x的一元二次方程 x2−2(k−1)x+k2+3=0
(1)若该方程有一个根是−2，求k的值．
(2)若该方程的两个实数根x .x 满足(x −1)(x −1)=14， 求k的值．
1 2 1 2
【答案】(1)k=−3或k=−1；
(2)k=−2
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握根与系数
的关系是解题的关键．
（1）把x=−2代入方程求出k的值即可；
（2）根据方程有两个实数根得到Δ≥0，求解可得k的取值范围；根据根与系数的关系可得
x +x =2(k−1)，x x =k2+3，再整理(x −1)(x −1)=14并将x +x =2(k−1)，x x =k2+3整体代
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
入得到关于k的一元二次方程求解即可；
【规范解答】（1）解：把x=−2代入方程得：(−2) 2−2(k−1)(−2)+k2+3=0
解得：k=−3或k=−1；
（2）解：∵方程x2−2(k−1)x+k2+3=0的两个实数根x ,x
1 2
∴Δ=[−2(k−1)) 2 −4(k2+3)≥0，解得：k≤−1；
∴x +x =2(k−1)，x x =k2+3，
1 2 1 2∴(x −1)(x −1)
1 2
=x x −(x +x )+1
1 2 1 2
=k2+3−2(k−1)+1
=k2−2k+6
=14，
解得：k=−2或k=4（不合题意，舍去）．
∴k=−2．
易错考点13：传播问题（一元二次方程的应用）
25．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，
设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（ ）人得了流感.
A．1372 B．343 C．1512 D．2744
【答案】A
【思路引导】本题考查了运用一元二次方程解决实际问题．设每轮传染中平均每人传染x人，根据初始4
人经过两轮传染后总人数为196，建立方程求解x，再计算三轮后的总人数．正确的列出方程是解题的关键．
【规范解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的(1+x)倍，根据
题意得，
4(1+x) 2=196，
(1+x) 2=49，
1+x=±7，
x =6，x =−8（舍去），
1 2
∴每轮传染中平均每人传染6人，
则三轮传染后得流感的人数为196×(1+6)=1372（人）．
故选：A．
26．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经
过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过
700台？
【答案】会【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．可设每
轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有(1+x)台被感染，第二轮后共有(1+x)+x(1+x)即
(1+x) 2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有(1＋x) 3台被感染，比较该数同700的大小，
即可作出判断．
【规范解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，
根据题意得：1+x+(1+x)x=81，
整理得：(1+x) 2=81，
两边同时开平方得：x+1=±9，
∴ x+1=9或x+1=−9，
解得：x =8，x =−10(舍去)，
1 2
∴(1+x) 2+x(1+x) 2=(1+x) 3=(1+8) 3=729>700，
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
易错考点14：增长率问题（一元二次方程的应用）
27．（25-26九年级上·广东珠海·开学考试）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行
动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，
如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出多少张电影
票．
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决
本题的关键．
（1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房=第1次累计票房×（1+平均每次累计票房增长的百分率）❑ 2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总价÷单价，即可求出结论．
【规范解答】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x，
依题意得，10(1+x) 2=12.1，
即(1+x) 2=1.21，
可得1+x=±1.1，
解得x =−1+1.1=0.1=10%，x =−1−1.1=−2.1（不符合题意，舍去），
1 2
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%；
（2）解：[1000000000×(1+10％)−1000000000)÷40
=(1100000000−1000000000)÷40
=100000000÷40
=2500000（张），
答：从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出2500000张电影票．
28．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特
色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流
量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25
元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价
x元．请解答以下问题：
①填空：每天可售出扇子_______________把（用含x的代数式表示）；
②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多
少元？
【答案】(1)20%
(2)①300+30x；②6
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键．
（1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，依题意得8(1+x) 2=11.52，计算求出满足要求的解即
可；
（2）①由题意知，每天可售出扇子(300+30x)把，然后作答即可；②依题意得(25−x−7)(300+30x)=5760，计算求解，然后作答即可．
【规范解答】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
依题意得，8(1+x) 2=11.52，
解得，x=0.2=20%或x=−2.2（舍去），
∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为20%；
（2）①解：由题意知，每天可售出扇子(300+30x)把，
故答案为：300+30x；
②解：依题意得，(25−x−7)(300+30x)=5760，
整理得，(x−2)(x−6)=0，
解得，x=2或x=6，
∵想尽可能地减少库存，
∴每把扇子应降价6元．
易错考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
29．（2025·江苏泰州·三模）综合与实践
主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，
EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为xcm，用x的代数式表示收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长；
任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高．
【答案】任务一：BC的长为(40−2x)cm，AB的长为(40−x)cm；任务二：该收纳盒的高为10cm
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，
任务一：根据图①分别列出代数式即可；
任务二：设该收纳盒的高为xcm，则BC=(40−2x)cm，AB=(40−x)cm，根据收纳盒的底面积为
600cm2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【规范解答】解：任务一：∵长方形硬纸板的长为80cm，宽为40cm，收纳盒的高为xcm，80−2x
∴BC=(40−2x)cm，AB= =(40−x)cm，
2
答：收纳盒的底面ABCD的边BC的长为(40−2x)cm，AB的长为(40−x)cm；
任务二：设该收纳盒的高为xcm，则BC=(40−2x)cm，AB=(40−x)cm，
根据题意得：(40−x)(40−2x)=600，
整理得：x2−60x+500=0，
解得：x =10，x =50(不符合题意，舍去)．
1 2
答：该收纳盒的高为10cm．
30．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内
部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务．
(1)图案n中实心圆有______个，空心圆有______个；
(2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由．
【答案】(1)n2，(4n+4)
(2)存在，第6个图案中实心圆比空心圆多8个．
【思路引导】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，
以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案n中实心圆有n2个，空心圆有(4n+4)个；
（2）根据（1）所得规律，依题意列方程解答即可．
【规范解答】（1）解：图案1空心圆有2×4=8个，实心圆有1个，
图案2空心圆有3×4=12个，实心圆有2×2=4个，
图案3空心圆有4×4=16个，实心圆有3×3=9个，
……
∴图案n中实心圆有n2个，空心圆有(4n+4)个，
故答案为： n2，(4n+4)
（2）存在，理由如下：
设图案n中实心圆比空心圆多8个，根据题意，得：n2−(4n+4)=8，
整理，得n2−4n−12=0，
解得n=−2（舍去）或n=6，
故第6个图案中实心圆比空心圆多8个．
易错考点16：数字问题（一元二次方程的应用）
31．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积
等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（ ）
A．36 B．63 C．36或63 D．−36或−63
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，设十位数字为x，则个位数字为(9−x)，根据这两个数字
之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合这个两
位数是[10x+(9−x))，即可得出这个两位数是36或63．
【规范解答】解：设十位数字为x，则个位数字为(9−x)，
依题意得：x(9−x)=2×9，
整理得：x2−9x+18=0，
解得x =3，x =6．
1 2
当x=3时，9−x=9−3=6，此时这个两位数是3×10+6=36；
当x=6时，9−x=9−6=3，此时这个两位数是6×10+3=63．
故选：C．
32．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字
等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202，则这个
三位数是 ．
【答案】452
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解数字与每个位上的数字的关系是解题的关键．
设该三位数个位上的数字为x，则十位上的数字是(x+3)，百位上的数字是x2；再根据“这个三位数比它个
位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202 ”列出方程求解即可．
【规范解答】解：设该三位数个位上的数字为x，则十位上的数字是(x+3)，百位上的数字是x2．
由题意，得100x2+10(x+3)+x=25x(x+3)+202，整理，得75x2−64x−172=0，
86
解得x =2,x =− （舍去），
1 2 75
∴十位上的数字为2+3=5，百位上的数字为22=4．
故答案为：452．
易错考点17：营销问题(一元二次方程的应用）
33．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款
冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价−进货价）
A款钥匙 B款钥匙
类别价格
扣 扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和
销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利
润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查
发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使
B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件
(2)当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元
(3)30元
【思路引导】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数以及一元二次方程的实际应用，正确
的列出方程，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，根据网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，
列出方程组进行求解即可；
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进(80−m)件B款钥匙扣，根据进货总价不高于2200元，列出不等式求
出m的范围，设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，根据总利润等于两款
钥匙扣的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，求最值即可；
（3）设每件B款钥匙扣的售价定为a元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【规范解答】（1）解：设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，{ x+ y=30 )
依题意得： ，
30x+25 y=850
{x=20)
解得： ．
y=10
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进(80−m)件B款钥匙扣，
依题意得：30m+25(80−m)≤2200，
解得：m≤40．
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，
则w=(45−30)m+(37−25)(80−m)=3m+960．
∵3>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40+960=1080，此时80−m=80−40=40．
答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．
（3）设每件B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a−25)元，平均每天可售出
4+2(37−a)=(78−2a)件，
依题意得：(a−25)(78−2a)=90，
整理得：a2−64a+1020=0，
解得：a =30，a =34．
1 2
∵为了尽快减少库存
∴售价应定为30元
答：将销售价定为每件30元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
34．（25-26九年级上·重庆·开学考试）列方程解下列问题：
卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．
甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．
4
乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的 倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制．
3
(1)求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？
(2)卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商
卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天
需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得
7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？【答案】(1)甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制
(2)需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出
【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用(x−2)天完成卤制，根据甲生产商计划卤制180
4
只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的 倍，列出分式
3
方程，解方程即可；
（2）设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为(99+3m)元，剩余(180−2m)只卤鹅，根据甲生
产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【规范解答】（1）解：设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用(x−2)天完成卤制，
160 180 4
由题意得： = × ，
x−2 x 3
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，
∴x−2=4，
答：甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制；
（2）解：设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为(99+3m)元，剩余(180−2m)只卤鹅，
由题意得：(99+3m)(180−2m)−60×180−324m=7020，
整理得：m2−3m=0，
解得：m =3，m =0，
1 2
答：需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出．
易错考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用）
35．（25-26九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度
移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动．(1)运动几秒时△PCQ的面积为8cm2？
(2)△PCQ的面积能否等于△ABC面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
【答案】(1)P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2；
(2)不存在使得△PCQ的面积等于△ABC面积的一半的时刻，理由见解析
【思路引导】本题考查解一元二次方程，解本题的关键是审题后，列出相关的一元二次方程，应掌握一元
二次方程根的判别式及求解．
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，分别表示出线段PC和线段CQ的长，再利用三角形的面积公
式列出方程求解；
（2）先求S ，根据题意建立方程，由根的判别式可得结果．
△ABC
【规范解答】（1）解：设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP=xcm，PC=(6−x)cm，CQ=2xcm，
1
∴ ⋅(6−x)⋅2x=8，
2
整理得：x2−6x+8=0，
解得：x =2，x =4，
1 2
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
1 1
（2）解：由题意得：S = ×AC⋅BC= ×6×8=24(cm2)，
△ABC 2 2
1 1
∴ ⋅2x⋅(6−x)= ×24，
2 2
整理可得：x2−6x+12=0，
Δ=(−6) 2−4×12=−12<0，该方程无实数解，
所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC面积的一半的时刻．
36．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿
边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如
果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(0<t<3)．
(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？(2)连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于8cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)t=2
(2)存在，t=1
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二
次方程解决问题．
（1）先求出BQ=2tcm，PB=AB−AP=(5−t)cm，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案；
1
（2）先求出CQ=BC−BQ=(6−2t)cm，再根据三角形面积计算公式得到方程 (5−t)(6−2t)=8，解方
2
程即可得到答案．
【规范解答】（1）解：在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以
1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒
(0<t<3)，
∴BQ=2tcm，AP=tcm，
∴PB=AB−AP=(5−t)cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得PQ2=PB2+BQ2，
∴(5−t) 2+(2t) 2=52，
解得t =0（舍去），t =2，
1 2
∴当t=2时，PQ的长度等于5cm；
（2）由题意得：CQ=BC−BQ=(6−2t)cm，
∵ △PQC的面积等于8cm2，
1
∴ CQ⋅PB=8，
2
1
∴ (5−t)(6−2t)=8，
2
t2−8t+7=0，
∴t=1或t=7（舍去），
∴当t=1时，使得△PQC的面积等于8cm2．易错考点19：工程问题（一元二次方程的应用）
37．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施
工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每
合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；
1 1
(2)实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加 a万元，且每天多挖 a．乙每合格完成1米隧
6 24
1 1 ( 11 )
道施工成本增加 a万元，且每天多挖 a米．若最终每天实际总成本比计划多 24+ a 万元，求a的值．
3 8 2
【答案】(1)甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元
(2)a的值为12
【思路引导】（1）设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为
(x+2)万元，根据题意列方程即可求解；
（2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解．
【规范解答】（1）解：设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为
(x+2)万元，
∴6x+6(x+2)=108，解得，x=8，
∴甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元．
（2）解：由（1）可知，甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8
万元，
1
∴实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加 a万元，则甲每合格完成1米实际成本为
6
( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )
10+ a 万元，且每天多挖 a，则甲每天实际完成量为6× 1+ a = 6+ a 米，乙每合格完成1
6 24 24 4
1 ( 1 ) 1
米隧道施工成本增加 a万元，则乙每合格完成1米实际成本为 8+ a 万元，且每天多挖 a米，则乙每
3 3 8( 1 ) ( 11 )
天实际完成量为 6+ a 米，终每天实际总成本比计划多 24+ a 万元，则最中每天的实际总成本为
8 2
( 11 ) ( 11 )
108+ 24+ a = 132+ a 万元，
2 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 11
∴ 10+ a × 6+ a + 8+ a × 6+ a =132+ a，整理得，a2+12a−288=0，解得，a =12，
6 4 3 8 2 1
a =−24（不符合题意，舍去），
2
∴a的值为12．
【考点剖析】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元
一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键．
38．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高
速G69银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某
隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，
两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格
完成1米隧道施工成本为9万元．
3
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
2
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧
m m
道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，若最
2 3
终每天实际总成本比计划多(9m−2)万元，求m的值．
【答案】(1)甲最多施工900米
(2)m的值为2
【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量
之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．
（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工(2000−x)米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低
3
于甲总施工成本的 ”列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答；
2
（2）根据“最终每天实际总成本比计划多(9m−2)万元”即可得出关于m的一元二次方程求解即可．【规范解答】（1）解：设甲施工x米，
3
由题意可得：9(2100−x)≥8x× ，
2
解得：x≤900．
答：甲最多施工900米．
( m) ( m)
（2）解：由题意可得：(8+m) 6+ +9 6− =9m−2+6×(8+9)，
2 3
整理得m2−4m+4=0，
解得m =m =2．
1 2
答：m的值为2．
易错考点20：行程问题（一元二次方程的应用）
39．（24-25八年级下·上海·期中）l 是一条东西方向的道路，l 是一条南北方向的道路，这两条道路相
1 2
交于点O．小明和小丽分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着l 以4千米/时的速度由西向东前进，小
1
明沿着l 以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点P处，古树与l 、l 的距离分别为3
2 1 2
千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等．
14
【答案】 小时
9
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．根据题意，假设小明看作点A，小丽看作点B，再过P分别作l 、l 的垂线，两人与这棵古树的
1 2
距离恰好相等，也就是PA=PB，在直角三角形中利用勾股定理列出关于t的一元二次方程，解之取其符合
题意的值，即可得出结论．
【规范解答】解：设两人离开路口时间为t，小明看作点A，小丽看作点B，
∴OA=5t千米，OB=4t千米
两人与这棵古树的距离恰好相等，则PA=PB
∴PA2=PB2根据题意P处与l 、l 的距离分别为3千米和2千米
1 2
如图，过点P作PN⊥l ,PM⊥l
1 2
∴PM=2千米 PN=3千米
，
在Rt△AMP中，PA2=AM2+PM2，即PA2=(5t−3) 2+22
在Rt△BNP中，PB2=NB2+PN2，即PB2=(4t−2) 2+32
∴ (5t−3) 2+22=(4t−2) 2+32
14
解得t =0（舍去），t =
1 2 9
14
∴ t=
9
14
答：离开路口后经过 小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．
9
40．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有
二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅
资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为7步，乙的速度为3
步．乙一直向东走，甲先向南走10步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走
了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步．
【答案】24.5
【思路引导】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走
的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了x步，则甲斜向北偏东方向走了(x−10)步，乙向东走了
( x)
3× 步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解
7
题的关键．【规范解答】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，
( x)
设甲走了x步，则甲斜向北偏东方向走了(x−10)步，乙向东走了 3× 步，
7
x
即：AB=3× ，AC=10，BC=x−10，
7
根据题意可得：AB2+AC2=BC2，
即： ( 3× x) 2 +102=(x−10) 2 ，
7
解得：x =24.5，x =0（舍去），
1 2
答：甲走了24.5步．
故答案为：24.5．
易错考点21：图表信息题（一元二次方程的应用）
41．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超
过x度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过x度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度
x
元交费．
100
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含x的代数式表
示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的x度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 101
【答案】(1) x（90－x）元
100
(2)50度
x
【思路引导】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度 元交电
100
费，即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得
x≥45，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
x
∵超过部分按每度 元交电费，
100
1
∴超过部分应交的电费为 x（90－x）元．
100
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
1
x（80－x）＝25－10．
100
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x＝30，x＝50．
1 2
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x＝30不合题意，舍去．
1
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【考点剖析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
42．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，
在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如
表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日
10月8日 10月11日 10月12日
期
发布次
第1次 第2次 第3次
数票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【思路引导】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房=第1次累计票房×（1+平
均每次累计票房增长的百分率）❑ 2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结÷单价，即可求出结论；
【规范解答】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x，
依题意得：10(1+x) 2=12.1，
解得：x =0.1=10%，x =−2.1（不符合题意，舍去）．
1 2
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：[1000000000×(1+10%)−1000000000)÷40
=[1100000000−1000000000)÷40
=100000000÷40
=2500000（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或1000000000×10%÷40=100000000÷40=2500000（张）．）
【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
易错考点22：其他问题（一元二次方程的应用）
43．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手
45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：
________________．
拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有
2条，五边形的对角线有5条．
（1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条；
（2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由．x(x−1)
【答案】问题： =45；拓展：（1）9；14；（2）可以，9
2
【思路引导】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键在于理解握手问题的数量关系．
问题：设参加聚会的同学共有x人，则每人应握手(x−1)次，根据等量关系建立等式即可．
拓展：（1）根据六边形中每个顶点可以形成3条对角线，求解即可；根据七边形中每个顶点可以形成4条
对角线，求解即可．
n(n−3)
（2）根据n边形的对角线数量为 条，建立等式求解一元二次方程即可．
2
【规范解答】解：问题：设参加聚会的同学共有x人，
对于其中任意一个人来说，他需要和除自己之外的(x−1)个人握手，
∵总共有x个人，总共握手的次数是x(x−1)次．
1
∴得 x(x−1)=45．
2
1
故答案为： x(x−1)=45．
2
拓展：（1）∵每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线．
∴每个顶点可以形成3条对角线，
6×3
∴六边形的对角线数量为 =9条．
2
∵每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线．
∴每个顶点可以形成4条对角线，
7×4
∴七边形的对角线数量为 =14条．
2
故答案为：9；14．
（2）∵每个顶点可以与n−3个顶点连接形成对角线，
∴每个顶点可以形成n−3条对角线．
n(n−3)
所以n边形的对角线数量为 条．
2
设多边形的边数为n，对角线数量为27，
n(n−3)
可以得到方程 =27，化简为n2−3n−54=0．
2
解得n=9或n=−6，
因为n为正整数，所以n=9，
即多边形的边数为9．44．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0），如果Δ=b2−4ac的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整
数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）称为“友好方程”，代数式4ac−b2的值
为该“友好方程”的“超强代码”，用Q(a,b,c)表示，即Q(a,b,c)=4ac−b2；若另一关于x的一元二
次方程px2+qx+r=0（p≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为Q(p,q,r)，当满足
Q(a,b,c)−Q(p,q,r)=4c时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程
px2+qx+r=0（p≠0）的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”x2−x−6=0的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0（m为整数，且4<m<15）是“友好方程”，
请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x+m−2=0是x2+(n−1)x−n=0（m，n均为正整数，且m≠n）
的“最佳搭子方程”，且x2+(1−m)x+m−2=0的一个根是x2+(n−1)x−n=0的一个根的2倍，求m和n
的值
【答案】(1)−25
(2)−49
(3)m=4，n=2
【思路引导】本题考查了一元二次方程的新定义运算．
（1）直接根据“超强代码”的定义作答即可；
（2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出m=9，再根据“超强代码”的定义计算即可；
（3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到(m+n)(n−m+2)=0，可知
m−n=2，再根据“x2+(1−m)x+m−2=0的一个根是x2+(n−1)x−n=0的一个根的2倍”列出所有情
况，判断是否符合题意即可．
【规范解答】（1）解：“友好方程”x2−x−6=0的“超强代码”是：
Q(a,b,c)=4×(−6)−(−1) 2=−25，故答案为：−25；
（2）解：∵x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0是“友好方程”，
∴b2−4ac=(2m−1) 2−4(m2−2m−3)=4m+13且为完全平方数，
∵4<m<15，
∴29<4m+13<73，
∴4m+13=36或49或64，
23 51
∴m= 或9或 ，
4 4
∵m为整数，
∴m=9，
将m=9代入原方程，则x2−17x+60=0，
∴Q(a,b,c)=4ac−b2=4×60−172=−49，
∴方程x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0的“超强代码”为−49；
（3）解：方程x2+(1−m)x+m−2=0的“超强代码”为：
Q(a,b,c)=4×1×(m−2)−(1−m) 2=−m2+6m−9，
(m−1)±❑√(m−3) 2
由x= 得：x =m−2,x =1
1 2
2
方程x2+(n−1)x−n=0的“超强代码”为：
Q(p,q,r)=4×1×(−n)−(n−1) 2=−n2−2n−1，
(1−n)±❑√(n+1) 2
由x= 得：x =1,x =−n
3 4
2
∵x2+(1−m)x+m−2=0是x2+(n−1)x−n=0的“最佳搭子方程”，
∴Q(a,b,c)−Q(p,q,r)=4c，
即−m2+6m−9−(−n2−2n−1)=4(m−2)，整理得，(m+n)(n−m+2)=0，
∵m，n均为正整数且m≠n，
∴m+n>0，
∴n−m+2=0，
即m−n=2，
又∵x2+(1−m)x+m−2=0的一个根是x2+(n−1)x−n=0的一个根的2倍，
∴①当x =2x 时，m−2=2得：m=4，n=2，
1 3
②当x =2x 时，m−2=−2n，(n+2)−2=−2n，n=0（舍），
1 4
1
③当x =2x 时，1=−2n得：n=− （舍），
1 4 2
综上所述：m=4，n=2．
易错考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
45．（25-26九年级上·全国·课后作业）为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工
队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，
规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有y人，则下列方程正确的是
（ ）
A．y(y−1)=50 B．y(y+1)=50
1 1
C． y(y−1)=50 D． y(y+1)=50
2 2
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系列出一元二次方
程是解题的关键．
设参赛选手有y人，每个参赛选手都要赛(y−1)场，但两人之间只有一场比赛，据此列出一元二次方程即
可．
【规范解答】解：设参赛选手有y人，每个参赛选手都要赛(y−1)场，但两人之间只有一场比赛，
1
则有： y(y−1)=50．
2
故选：C．
46．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参
赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计：(1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？
(2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明；
(3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为
__________．
【答案】(1)15
(2)小江说的有道理，理由见详解；
(3)4
【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
6×(6−1)
（1）由题意，得6个人需比赛的局数为 =15；
2
x(x−1)
（2）设有x人报名参赛，根据题意列方程 =40，然后解方程，根据方程根的情况可得结论；
2
(x−1)(x−2)
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意 +n=40，整理并求解即可．
2
6×(6−1)
【规范解答】（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为 =15，
2
答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛；
（2）解：小江说的有道理，理由如下：
x(x−1)
设有x人报名参赛，由题意得 =40，整理得x2−x−80=0，
2
1±❑√321
解得x= ，不为整数，
2
∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理；
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意，
(x−1)(x−2)
得 +n=40，整理得x2−3x+2n−78=0，
23±❑√321−8n
解得x= ，
2
3+17 3−17
当n=4时，x = =10，是正整数，符合题意；x = =−7不符合题意，舍去．
1 2 2 2
∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4．
故答案为：4．
