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第21章 一元二次方程（易错题考点集训）
【23个高频易错考点 共46题】
易错考点01：由一元二次方程的解求参数..............................................................................................................2
易错考点02：一元二次方程的解的估算...................................................................................................................3
易错考点03：由一元二次方程的定义求参数..........................................................................................................4
易错考点04：解一元二次方程-直接开平方法.......................................................................................................5
易错考点05：解一元二次方程-配方法.....................................................................................................................6
易错考点06：配方法的应用..........................................................................................................................................7
易错考点07：根据判别式判断-元二次方程根的情况.........................................................................................8
易错考点08：根据一元二次方程根的情况求参数..............................................................................................10
易错考点09：公式法解一元二次方程.....................................................................................................................12
易错考点10：因式分解法解一元二次方程............................................................................................................13
易错考点11：换元法解一元二次方程.....................................................................................................................15
易错考点12：—元二次方程的根与系数的关系...................................................................................................16
易错考点13：传播问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................18
易错考点14：增长率问题（一元二次方程的应用）.........................................................................................19
易错考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用）...........................................................................21
易错考点16：数字问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................23
易错考点17：营销问题(一元二次方程的应用）................................................................................................24
易错考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用）.....................................................................................27
易错考点19：工程问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................29
易错考点20：行程问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................31
易错考点21：图表信息题（一元二次方程的应用）.........................................................................................33
易错考点22：其他问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................35
易错考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）...........................................................................38
易错考点01：由一元二次方程的解求参数
1．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）如果2是方程x2−cx+2=0的一个根，那么c的值是（ ）
A．3 B．2 C．−2 D．−3
【答案】A
【思路引导】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化
为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错．
根据方程根的定义，把x=2代入方程，得到22−2c+2=0，然后通过移项、计算，求出c的值．
【规范解答】解：由题意，将x=2代入方程，得：22−2c+2=0
4−2c+2=0
6−2c=0
2c=6
解得c=3．
故选：A．
m−3 ( 5 )
2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）先化简，再求值： ÷ m+2− ，其中m
3m2−6m m−2
是方程x2+3x−1=0的根．
1 1
【答案】 ， ．
3(m2+3m) 3
【思路引导】本题考查了分式化简求值，方程的解，先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，
由于m是方程x2+3x−1=0的根，那么m2+3m−1=0，可得m2+3m=1整体代入化简后的式子，计算即
可，掌握知识点的应用是解题的关键．
m−3 ( 5 )
【规范解答】解： ÷ m+2−
3m2−6m m−2
m−3 m2−4−5
= ÷
3m(m−2) m−2
m−3 m−2
= ×
3m(m−2) (m+3)(m−3)
1
=
，
3(m2+3m)
∵m是方程x2+3x−1=0的根，
∴m2+3m−1=0，∴m2+3m=1，
1
∴原式=
3×1
1
= ．
3
易错考点02：一元二次方程的解的估算
3．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）观察下列表格，一元二次方程x2−3x=4.6的一个近似解为
（）
x −1.13 −1.12 −1.11 −1.10 −1.09 −1.08 −1.07
x2−3x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.36
A．−1.123 B．−1.117 C．−1.089 D．−1.073
【答案】B
【思路引导】先明确方程x2−3x=4.6，通过表格找x2−3x的值接近4.6时对应的x，利用函数的增减性确
定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系
及通过数据趋势判断近似解是解题关键．
【规范解答】解：观察表格：
当x=−1.13时，y=4.67；当x=−1.12时，y=4.61；当x=−1.11时，y=4.56 ，
∵4.61更接近4.6，
∴x=−1.12时x2−3x的值更接近4.6，且x在−1.13到−1.11 逐渐增大时，x2−3x逐渐减小（由表格数
据可知），4.6介于4.61（x=−1.12）和4.67（x=−1.13）之间，更靠近4.61，
∴近似解在−1.12附近，
对比选项，−1.117最接近−1.12 ，
故选：B．
4．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）根据下表判断方程x2+2x−10=0的一个解x的取值范围是
（ ）
x … −4.5 −4.4 −4.3 −4.2 −4.1 …
x2+2x−10 … 1.25 0.56 −0.11 −0.76 −1.39 …
A．−4.50，
∴当−4.40，进而可证出方程必有两个不
等实数根；
3
（2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出m=1，代入后可得出原方程为x2−2x+ =0，且
4
Δ=1，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根．
2 ( 1)
【规范解答】（1）证明：Δ=[−(m+1)) −4×1× m−
4
=m2+2m+1−4m+1
=m2−2m+2
=(m−1) 2+1．
∵(m−1) 2≥0，
∴(m−1) 2+1>0，
即Δ>0，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取00；当方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没
有实数根时，Δ<0．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2−2kx+k−3=0有实数根，
∴Δ=(−2k) 2−4×(k−1)×(k−3)=16k−12≥0，
3
解得：k≥ ，
4
∵k−1≠0，
3
∴k的取值范围是k≥ 且k≠1，
4
故选：B．易错考点09：公式法解一元二次方程
17．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）解下列方程：
(1)(x−2) 2−9=0；
(2)2x2−6x+1=0；
【答案】(1)x =5，x =−1
1 2
3+❑√7 3−❑√7
(2)x = ，x =
1 2 2 2
【思路引导】本题考查一元二次方程的解法，涉及直接开平方法、公式法．直接开平方法体现“降次”思
想，需将方程化为(mx+n) 2=p(p≥0)形式；公式法是通用解法，关键是确定a、b、c并计算判别式Δ．
易错点为直接开平方法漏解正负情况，公式法易在b的取值或计算时出错．
（1）对于(x−2) 2−9=0，因左边是完全平方式，用直接开平方法．先移项得(x−2) 2=9，再由平方根定
义得x−2=±3，分别求解得x ，x ．
1 2
（2）对于2x2−6x+1=0，用公式法．确定a=2，b=−6，c=1，计算Δ=(b) 2−4ac=28>0，代入求根
−b±❑√b2−4ac
公式x= ，得，即可求得x ，x ．
1 2
2a
【规范解答】（1）(x−2) 2−9=0
(x−2) 2=9
x−2=±3
∴x−2=3或 x−2=−3，
∴x =5，x =−1．
1 2
（2）2x2−6x+1=0
∵a=2，b=−6，c=1，
∴Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×2×1=36−8=28>0，
∴方程有两个不相等的实数根．−(−6)±❑√28 6±2❑√7 3±❑√7
∴x= = = ，
2×2 4 2
3+❑√7 3−❑√7
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
18．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=a,AD=b，先以顶点B为圆心，
以边AB为半径作弧交对角线BD于点E，再以顶点D为圆心，以边AD为半径作弧交对角线BD于点 F，则
方程 x2+2ax=b2的一个正根是（ ）
A．线段BD的长 B．线段BF的长 C．线段DE的长 D．线段EF的长
【答案】C
【思路引导】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是
解题的关键．
根据勾股定理求出DE，利用求根公式解方程，比较即可．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=a,BC=AD=b
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=❑√BC2+CD2=❑√b2+a2，
∴DE=BD−BE=BD−AB=❑√a2+b2−a，
−2a±❑√4a2+4b2
解方程x2+2ax=b2得x= =−a±❑√a2+b2，
2
∴线段DE的长是方程x2+2ax=b2的一个根．
故选：C．
易错考点10：因式分解法解一元二次方程
19．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）解方程
(1)2(x−2) 2=x2−4；
(2)3x2+2x−2=0．【答案】(1)x =2，x =6；
1 2
−1+❑√7 −1−❑√7
(2)x = ，x = ．
1 3 2 3
【思路引导】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的
方法．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【规范解答】（1）解：2(x−2) 2=x2−4
2(x−2) 2=(x+2)(x−2)
2(x−2) 2−(x+2)(x−2)=0
(x−2)[2(x−2)−(x+2))=0
(x−2)(x−6)=0，
x−2=0或x−6=0，
解得x =2，x =6；
1 2
（2）解：3x2+2x−2=0
其中a=3，b=2，c=−2，
∴Δ=22−4×3×(−2)=28，
−2±❑√28 −2±2❑√7 −1±❑√7
∴x= = =
6 6 3
−1+❑√7 −1−❑√7
解得x = ，x = ．
1 3 2 3
20．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）按要求解下列方程：
(1)x2−x−1=0（公式法）
(2)x2−4x=−3（配方法）
(3)3x(x+4)=2(x+4)（因式分解法）
1−❑√5 1+❑√5
【答案】(1)x = ，x =
1 2 2 2
(2)x =1，x =3
1 2
2
(3)x =−4，x =
1 2 3【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可解答；
（2）利用配方法解一元二次方程即可解答；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可解答．
【规范解答】（1）解：a=1，b=−1，c=−1，
Δ=(−1) 2−4×1×(−1)=1+5=5>0，
1±❑√5
∴x= ，
2
1−❑√5 1+❑√5
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：配方，得x2−4x+4=−3+4，
即(x−2) 2=1
开方，得x−2=±1
∴x =1，x =3；
1 2
（3）解：移项，得3x(x+4)−2(x+4)=0
则(x+4)(3x−2)=0
∴x+4=0或3x−2=0
2
∴x =−4，x = ．
1 2 3
易错考点11：换元法解一元二次方程
21．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一元二次方程ax2+bx−c=0的解是x =1，
1
x =−3，则另一个关于x的方程a(x+3) 2+b(x+3)−c=0的解是（ ）
2
A．x =2，x =6 B．x =−2，x =−6
1 2 1 2
C．x =−1，x =3 D．x =1，x =−3
1 2 1 2
【答案】B
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二
次方程，令t=x+3，则方程a(x+3) 2+b(x+3)−c=0即为at2+bt−c=0方程，根据题意可得方程的解是
t =1，t =−3；则x+3=1或x+3=−3，据此求解即可．
1 2【规范解答】解：令t=x+3，则方程a(x+3) 2+b(x+3)−c=0即为at2+bt−c=0方程，
∵方程ax2+bx−c=0的解是x =1，x =−3
1 2
∴方程at2+bt−c=0的解是t =1，t =−3，
1 2
∴x+3=1或x+3=−3，
解得，x =−2，x =−6，
1 2
∴方程的解是，x =−2，x =−6．
1 2
故选：B．
22．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程a(x+m) 2+b=0的解是x =−3，x =2，则方
1 2
程a(x+m+1) 2+b=0的解是（ ）
A．x =−2，x =3 B．x =−4，x =1 C．x =4，x =−1D．无实数解
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的结构相同，则解相同是解题的关键．通
过换元法，将新方程转化为原方程的形式，从而利用已知解推导出新解．
【规范解答】解：∵原方程 a(x+m) 2+b=0 的解为 x =−3，x =2，
1 2
∴令新方程 a(x+m+1) 2+b=0 中的 t=x+1，则方程变为 a(t+m) 2+b=0，与原方程形式相同，
∴新方程的 t 解与原方程的 x 解相同，即 t=−3 或 t=2，
∴ t=x+1=−3或t=x+1=2，
∴此时新方程解得 x=−4 或 x=1；
故选：B ．
易错考点12：—元二次方程的根与系数的关系
23．（2024九年级上·湖南衡阳·竞赛）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0．
(1)判断方程根的情况；
(2)若方程的两根x 、x 满足(x −1)(x −1)=6，求k值；
1 2 1 2
(3)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5．
①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)k=−3或2
(3)①k=2；②k=3或4，△ABC的周长为14或16
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二
次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得x +x =2k+3，x x =k2+3k+2，再将(x −1)(x −1)=6
1 2 1 2 1 2
化简为含x +x ，x x 的式子代入计算即可；
1 2 1 2
（3）①根据一元二次方程根与系数的关系及勾股定理列方程求解即可；
②分AB=AC和AB或AC与BC相等两种情况讨论，根据方程的根的情况求解即可．
【规范解答】（1）解：∵Δ=[−(2k+3)) 2 −4(k2+3k+2)=4k2+12k+9−4k2−12k−8=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意，得x +x =2k+3，x x =k2+3k+2，
1 2 1 2
∵(x −1)(x −1)=6，
1 2
∴x x −(x +x )+1=6，
1 2 1 2
∴k2+3k+2−(2k+3)+1=6，
解得k=−3，或k=2；
（3）解：①由题意，得AB+AC=2k+3，AB⋅AC=k2+3k+2，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2，
∴(AB+AC) 2−2AB⋅AC=BC2，
∴(2k+3) 2−2(k2+3k+2)=52，
解得k=−5，或k=2，
∵AB+AC=2k+3>0，
3
∴k>− ，
2
∴k=2
且当k=2时，方程为x2−7x+12=0，解得x=3或4，符合题意，
∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
②若△ABC是等腰三角形，分两种情况：
当AB=AC时，方程有两个相等的实数根，这与Δ>0不符，不合题意，舍去；
当AB或AC与BC相等时，5是方程的根，
∴52−5(2k+3)+k2+3k+2=0，
解得k=3或4，
当k=3时，AB+AC=2k+3=9，△ABC的周长为9+5=14；
当k=4时，AB+AC=2k+3=11，△ABC的周长为11+5=16．
24．（25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试）已知关于x的一元二次方程 x2−2(k−1)x+k2+3=0
(1)若该方程有一个根是−2，求k的值．
(2)若该方程的两个实数根x .x 满足(x −1)(x −1)=14， 求k的值．
1 2 1 2
【答案】(1)k=−3或k=−1；
(2)k=−2
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握根与系数
的关系是解题的关键．
（1）把x=−2代入方程求出k的值即可；
（2）根据方程有两个实数根得到Δ≥0，求解可得k的取值范围；根据根与系数的关系可得
x +x =2(k−1)，x x =k2+3，再整理(x −1)(x −1)=14并将x +x =2(k−1)，x x =k2+3整体代
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
入得到关于k的一元二次方程求解即可；
【规范解答】（1）解：把x=−2代入方程得：(−2) 2−2(k−1)(−2)+k2+3=0
解得：k=−3或k=−1；
（2）解：∵方程x2−2(k−1)x+k2+3=0的两个实数根x ,x
1 2
∴Δ=[−2(k−1)) 2 −4(k2+3)≥0，解得：k≤−1；
∴x +x =2(k−1)，x x =k2+3，
1 2 1 2∴(x −1)(x −1)
1 2
=x x −(x +x )+1
1 2 1 2
=k2+3−2(k−1)+1
=k2−2k+6
=14，
解得：k=−2或k=4（不合题意，舍去）．
∴k=−2．
易错考点13：传播问题（一元二次方程的应用）
25．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，
设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（ ）人得了流感.
A．1372 B．343 C．1512 D．2744
【答案】A
【思路引导】本题考查了运用一元二次方程解决实际问题．设每轮传染中平均每人传染x人，根据初始4
人经过两轮传染后总人数为196，建立方程求解x，再计算三轮后的总人数．正确的列出方程是解题的关键．
【规范解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的(1+x)倍，根据
题意得，
4(1+x) 2=196，
(1+x) 2=49，
1+x=±7，
x =6，x =−8（舍去），
1 2
∴每轮传染中平均每人传染6人，
则三轮传染后得流感的人数为196×(1+6)=1372（人）．
故选：A．
26．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经
过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过
700台？
【答案】会【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．可设每
轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有(1+x)台被感染，第二轮后共有(1+x)+x(1+x)即
(1+x) 2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有(1＋x) 3台被感染，比较该数同700的大小，
即可作出判断．
【规范解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，
根据题意得：1+x+(1+x)x=81，
整理得：(1+x) 2=81，
两边同时开平方得：x+1=±9，
∴ x+1=9或x+1=−9，
解得：x =8，x =−10(舍去)，
1 2
∴(1+x) 2+x(1+x) 2=(1+x) 3=(1+8) 3=729>700，
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
易错考点14：增长率问题（一元二次方程的应用）
27．（25-26九年级上·广东珠海·开学考试）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行
动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，
如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出多少张电影
票．
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决
本题的关键．
（1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房=第1次累计票房×（1+平均每次累计票房增长的百分率）❑ 2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总价÷单价，即可求出结论．
【规范解答】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x，
依题意得，10(1+x) 2=12.1，
即(1+x) 2=1.21，
可得1+x=±1.1，
解得x =−1+1.1=0.1=10%，x =−1−1.1=−2.1（不符合题意，舍去），
1 2
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%；
（2）解：[1000000000×(1+10％)−1000000000)÷40
=(1100000000−1000000000)÷40
=100000000÷40
=2500000（张），
答：从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出2500000张电影票．
28．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特
色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流
量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25
元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价
x元．请解答以下问题：
①填空：每天可售出扇子_______________把（用含x的代数式表示）；
②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多
少元？
【答案】(1)20%
(2)①300+30x；②6
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键．
（1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，依题意得8(1+x) 2=11.52，计算求出满足要求的解即
可；
（2）①由题意知，每天可售出扇子(300+30x)把，然后作答即可；②依题意得(25−x−7)(300+30x)=5760，计算求解，然后作答即可．
【规范解答】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
依题意得，8(1+x) 2=11.52，
解得，x=0.2=20%或x=−2.2（舍去），
∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为20%；
（2）①解：由题意知，每天可售出扇子(300+30x)把，
故答案为：300+30x；
②解：依题意得，(25−x−7)(300+30x)=5760，
整理得，(x−2)(x−6)=0，
解得，x=2或x=6，
∵想尽可能地减少库存，
∴每把扇子应降价6元．
易错考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
29．（2025·江苏泰州·三模）综合与实践
主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，
EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为xcm，用x的代数式表示收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长；
任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高．
【答案】任务一：BC的长为(40−2x)cm，AB的长为(40−x)cm；任务二：该收纳盒的高为10cm
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，
任务一：根据图①分别列出代数式即可；
任务二：设该收纳盒的高为xcm，则BC=(40−2x)cm，AB=(40−x)cm，根据收纳盒的底面积为
600cm2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【规范解答】解：任务一：∵长方形硬纸板的长为80cm，宽为40cm，收纳盒的高为xcm，80−2x
∴BC=(40−2x)cm，AB= =(40−x)cm，
2
答：收纳盒的底面ABCD的边BC的长为(40−2x)cm，AB的长为(40−x)cm；
任务二：设该收纳盒的高为xcm，则BC=(40−2x)cm，AB=(40−x)cm，
根据题意得：(40−x)(40−2x)=600，
整理得：x2−60x+500=0，
解得：x =10，x =50(不符合题意，舍去)．
1 2
答：该收纳盒的高为10cm．
30．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内
部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务．
(1)图案n中实心圆有______个，空心圆有______个；
(2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由．
【答案】(1)n2，(4n+4)
(2)存在，第6个图案中实心圆比空心圆多8个．
【思路引导】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，
以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案n中实心圆有n2个，空心圆有(4n+4)个；
（2）根据（1）所得规律，依题意列方程解答即可．
【规范解答】（1）解：图案1空心圆有2×4=8个，实心圆有1个，
图案2空心圆有3×4=12个，实心圆有2×2=4个，
图案3空心圆有4×4=16个，实心圆有3×3=9个，
……
∴图案n中实心圆有n2个，空心圆有(4n+4)个，
故答案为： n2，(4n+4)
（2）存在，理由如下：
设图案n中实心圆比空心圆多8个，根据题意，得：n2−(4n+4)=8，
整理，得n2−4n−12=0，
解得n=−2（舍去）或n=6，
故第6个图案中实心圆比空心圆多8个．
易错考点16：数字问题（一元二次方程的应用）
31．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积
等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（ ）
A．36 B．63 C．36或63 D．−36或−63
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，设十位数字为x，则个位数字为(9−x)，根据这两个数字
之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合这个两
位数是[10x+(9−x))，即可得出这个两位数是36或63．
【规范解答】解：设十位数字为x，则个位数字为(9−x)，
依题意得：x(9−x)=2×9，
整理得：x2−9x+18=0，
解得x =3，x =6．
1 2
当x=3时，9−x=9−3=6，此时这个两位数是3×10+6=36；
当x=6时，9−x=9−6=3，此时这个两位数是6×10+3=63．
故选：C．
32．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字
等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202，则这个
三位数是 ．
【答案】452
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解数字与每个位上的数字的关系是解题的关键．
设该三位数个位上的数字为x，则十位上的数字是(x+3)，百位上的数字是x2；再根据“这个三位数比它个
位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202 ”列出方程求解即可．
【规范解答】解：设该三位数个位上的数字为x，则十位上的数字是(x+3)，百位上的数字是x2．
由题意，得100x2+10(x+3)+x=25x(x+3)+202，整理，得75x2−64x−172=0，
86
解得x =2,x =− （舍去），
1 2 75
∴十位上的数字为2+3=5，百位上的数字为22=4．
故答案为：452．
易错考点17：营销问题(一元二次方程的应用）
33．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款
冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价−进货价）
A款钥匙 B款钥匙
类别价格
扣 扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和
销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利
润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查
发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使
B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件
(2)当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元
(3)30元
【思路引导】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数以及一元二次方程的实际应用，正确
的列出方程，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，根据网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，
列出方程组进行求解即可；
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进(80−m)件B款钥匙扣，根据进货总价不高于2200元，列出不等式求
出m的范围，设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，根据总利润等于两款
钥匙扣的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，求最值即可；
（3）设每件B款钥匙扣的售价定为a元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【规范解答】（1）解：设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，{ x+ y=30 )
依题意得： ，
30x+25 y=850
{x=20)
解得： ．
y=10
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进(80−m)件B款钥匙扣，
依题意得：30m+25(80−m)≤2200，
解得：m≤40．
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，
则w=(45−30)m+(37−25)(80−m)=3m+960．
∵3>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40+960=1080，此时80−m=80−40=40．
答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．
（3）设每件B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a−25)元，平均每天可售出
4+2(37−a)=(78−2a)件，
依题意得：(a−25)(78−2a)=90，
整理得：a2−64a+1020=0，
解得：a =30，a =34．
1 2
∵为了尽快减少库存
∴售价应定为30元
答：将销售价定为每件30元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
34．（25-26九年级上·重庆·开学考试）列方程解下列问题：
卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．
甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．
4
乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的 倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制．
3
(1)求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？
(2)卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商
卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天
需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得
7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？【答案】(1)甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制
(2)需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出
【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用(x−2)天完成卤制，根据甲生产商计划卤制180
4
只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的 倍，列出分式
3
方程，解方程即可；
（2）设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为(99+3m)元，剩余(180−2m)只卤鹅，根据甲生
产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【规范解答】（1）解：设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用(x−2)天完成卤制，
160 180 4
由题意得： = × ，
x−2 x 3
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，
∴x−2=4，
答：甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制；
（2）解：设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为(99+3m)元，剩余(180−2m)只卤鹅，
由题意得：(99+3m)(180−2m)−60×180−324m=7020，
整理得：m2−3m=0，
解得：m =3，m =0，
1 2
答：需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出．
易错考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用）
35．（25-26九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度
移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动．(1)运动几秒时△PCQ的面积为8cm2？
(2)△PCQ的面积能否等于△ABC面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
【答案】(1)P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2；
(2)不存在使得△PCQ的面积等于△ABC面积的一半的时刻，理由见解析
【思路引导】本题考查解一元二次方程，解本题的关键是审题后，列出相关的一元二次方程，应掌握一元
二次方程根的判别式及求解．
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，分别表示出线段PC和线段CQ的长，再利用三角形的面积公
式列出方程求解；
（2）先求S ，根据题意建立方程，由根的判别式可得结果．
△ABC
【规范解答】（1）解：设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP=xcm，PC=(6−x)cm，CQ=2xcm，
1
∴ ⋅(6−x)⋅2x=8，
2
整理得：x2−6x+8=0，
解得：x =2，x =4，
1 2
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
1 1
（2）解：由题意得：S = ×AC⋅BC= ×6×8=24(cm2)，
△ABC 2 2
1 1
∴ ⋅2x⋅(6−x)= ×24，
2 2
整理可得：x2−6x+12=0，
Δ=(−6) 2−4×12=−12<0，该方程无实数解，
所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC面积的一半的时刻．
36．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿
边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如
果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(00，
∴n−m+2=0，
即m−n=2，
又∵x2+(1−m)x+m−2=0的一个根是x2+(n−1)x−n=0的一个根的2倍，
∴①当x =2x 时，m−2=2得：m=4，n=2，
1 3
②当x =2x 时，m−2=−2n，(n+2)−2=−2n，n=0（舍），
1 4
1
③当x =2x 时，1=−2n得：n=− （舍），
1 4 2
综上所述：m=4，n=2．
易错考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
45．（25-26九年级上·全国·课后作业）为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工
队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，
规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有y人，则下列方程正确的是
（ ）
A．y(y−1)=50 B．y(y+1)=50
1 1
C． y(y−1)=50 D． y(y+1)=50
2 2
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系列出一元二次方
程是解题的关键．
设参赛选手有y人，每个参赛选手都要赛(y−1)场，但两人之间只有一场比赛，据此列出一元二次方程即
可．
【规范解答】解：设参赛选手有y人，每个参赛选手都要赛(y−1)场，但两人之间只有一场比赛，
1
则有： y(y−1)=50．
2
故选：C．
46．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参
赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计：(1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？
(2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明；
(3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为
__________．
【答案】(1)15
(2)小江说的有道理，理由见详解；
(3)4
【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
6×(6−1)
（1）由题意，得6个人需比赛的局数为 =15；
2
x(x−1)
（2）设有x人报名参赛，根据题意列方程 =40，然后解方程，根据方程根的情况可得结论；
2
(x−1)(x−2)
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意 +n=40，整理并求解即可．
2
6×(6−1)
【规范解答】（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为 =15，
2
答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛；
（2）解：小江说的有道理，理由如下：
x(x−1)
设有x人报名参赛，由题意得 =40，整理得x2−x−80=0，
2
1±❑√321
解得x= ，不为整数，
2
∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理；
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意，
(x−1)(x−2)
得 +n=40，整理得x2−3x+2n−78=0，
23±❑√321−8n
解得x= ，
2
3+17 3−17
当n=4时，x = =10，是正整数，符合题意；x = =−7不符合题意，舍去．
1 2 2 2
∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4．
故答案为：4．
