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第21章 一元二次方程（易错题考点集训）
【23个高频易错考点 共46题】
易错考点01：由一元二次方程的解求参数..............................................................................................................2
易错考点02：一元二次方程的解的估算...................................................................................................................2
易错考点03：由一元二次方程的定义求参数..........................................................................................................2
易错考点04：解一元二次方程-直接开平方法.......................................................................................................3
易错考点05：解一元二次方程-配方法.....................................................................................................................3
易错考点06：配方法的应用..........................................................................................................................................3
易错考点07：根据判别式判断-元二次方程根的情况.........................................................................................4
易错考点08：根据一元二次方程根的情况求参数................................................................................................4
易错考点09：公式法解一元二次方程........................................................................................................................5
易错考点10：因式分解法解一元二次方程..............................................................................................................5
易错考点11：换元法解一元二次方程........................................................................................................................6
易错考点12：—元二次方程的根与系数的关系.....................................................................................................6
易错考点13：传播问题（一元二次方程的应用）................................................................................................7
易错考点14：增长率问题（一元二次方程的应用）............................................................................................7
易错考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用）..............................................................................8
易错考点16：数字问题（一元二次方程的应用）................................................................................................9
易错考点17：营销问题(一元二次方程的应用）................................................................................................10
易错考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用）.....................................................................................11
易错考点19：工程问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................12
易错考点20：行程问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................13
易错考点21：图表信息题（一元二次方程的应用）.........................................................................................14
易错考点22：其他问题（一元二次方程的应用）..............................................................................................15
易错考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）...........................................................................16
易错考点01：由一元二次方程的解求参数
1．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）如果2是方程x2−cx+2=0的一个根，那么c的值是（ ）
A．3 B．2 C．−2 D．−3
2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）先化简，再求值： m−3 ( 5 )，其中
÷ m+2− m
3m2−6m m−2
是方程x2+3x−1=0的根．
易错考点02：一元二次方程的解的估算
3．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）观察下列表格，一元二次方程x2−3x=4.6的一个近似解为
（）
x −1.13 −1.12 −1.11 −1.10 −1.09 −1.08 −1.07
x2−3x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.36
A．−1.123 B．−1.117 C．−1.089 D．−1.073
4．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）根据下表判断方程x2+2x−10=0的一个解x的取值范围是
（ ）
x … −4.5 −4.4 −4.3 −4.2 −4.1 …
x2+2x−10 … 1.25 0.56 −0.11 −0.76 −1.39 …
A．−4.5<x<−4.4 B．−4.4<x<−4.3
C．−4.3<x<−4.2 D．−4.2<x<−4.1
易错考点03：由一元二次方程的定义求参数
5．（25-26九年级上·湖北襄阳·开学考试）已知关于 的方程 是一元二次
x (m+2)xm2−2+(m−1)x+6=0
方程，则m= ．
6．（25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化为一般形式后不含一次
项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．−3
易错考点04：解一元二次方程-直接开平方法
7．（2025九年级上·全国·专题练习）按照指定方法解下列方程：
(1) （用直接开平方法）
(2x−1) 2=9(2)2x2−9x+8=0（用配方法）
8．（24-25九年级上·全国·阶段练习）用直接开方法解方程 得方程的根为（ ）
(x−3) 2=8
A． B．
x=3+2❑√3 x =3+2❑√3,x =3−2❑√3
1 2
C． D．
x=3−2❑√3 x =3+2❑√2,x =3−2❑√2
1 2
易错考点05：解一元二次方程-配方法
9．（25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试）
（1）计算： （2）解方程：
❑√2(3−❑√2)−❑√8+∣❑√2−2∣ x2−4x=2
10．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）
解一元二次方程：x2+2x−6=0．
易错考点06：配方法的应用
11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程 可配成 ，则 的
x2−4x+m=0 (x−n) 2=1 m+n
值为（ ）
A．−1 B．1 C．−5 D．5
12．（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题：
若m2+2m+n2−4n+5=0，求m和n的值．
∵m2+2m+n2−4n+5=0，
∴m2+2m+1+n2−4n+4=0，
∴ ，
(m+1) 2+(n−2) 2=0∴m+1=0，n−2=0，
∴m=−1，n=2．
(1)已知a2−2a+b2+6b+10=0，求a、b的值；
(2)若 ，请问以 为三边的 是什么形状？说明理由．
a2+b2−8a−10b+41+|5−c)=0 a、b、c △ABC
易错考点07：根据判别式判断-元二次方程根的情况
13．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）（1）用配方法解方程：2x2−5x+2=0；
（2）证明：不论 ， ， 为任何实数，关于 的方程 都有实数根．
a b c x x2−(a−b)x−(ab+c2)=0
14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于 x 的方程 x2−(m+1)x+ ( m− 1) =0 ．
4
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当m取0<m<5的整数时，存在两个有理数根，求m的值和这两个有理数根．
易错考点08：根据一元二次方程根的情况求参数
15．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生） 已知关于 的方程 ．
x x2−(m+2)x+2m=0
(1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数m的值；(2)若等腰△ABC的一边长为3，另两边的长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长
16．（20-21九年级上·湖南永州·期末）若关于 的一元二次方程 有实数根，
x (k−1)x2−2kx+k−3=0
则k的取值范围为（ ）
3 3
A．k≥ B．k≥ 且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
4 4
易错考点09：公式法解一元二次方程
17．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）解下列方程：
(1) ； (2) ；
(x−2) 2−9=0 2x2−6x+1=0
18．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=a,AD=b，先以顶点B为圆心，
以边AB为半径作弧交对角线BD于点E，再以顶点D为圆心，以边AD为半径作弧交对角线BD于点 F，则
方程 x2+2ax=b2的一个正根是（ ）
A．线段BD的长 B．线段BF的长 C．线段DE的长 D．线段EF的长
易错考点10：因式分解法解一元二次方程
19．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）解方程
(1) ； (2) ．
2(x−2) 2=x2−4 3x2+2x−2=020．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）按要求解下列方程：
(1)x2−x−1=0（公式法） (2)x2−4x=−3（配方法）
(3)3x(x+4)=2(x+4)（因式分解法）
易错考点11：换元法解一元二次方程
21．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一元二次方程ax2+bx−c=0的解是x =1，
1
，则另一个关于x的方程 的解是（ ）
x =−3 a(x+3) 2+b(x+3)−c=0
2
A．x =2，x =6 B．x =−2，x =−6
1 2 1 2
C．x =−1，x =3 D．x =1，x =−3
1 2 1 2
22．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程 的解是 ， ，则方
a(x+m) 2+b=0 x =−3 x =2
1 2
程 的解是（ ）
a(x+m+1) 2+b=0
A．x =−2，x =3 B．x =−4，x =1
1 2 1 2
C．x =4，x =−1 D．无实数解
1 2
易错考点12：—元二次方程的根与系数的关系
23．（2024九年级上·湖南衡阳·竞赛）已知关于x的一元二次方程 ．
x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0
(1)判断方程根的情况；
(2)若方程的两根x 、x 满足(x −1)(x −1)=6，求k值；
1 2 1 2
(3)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5．①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．
24．（25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试）已知关于x的一元二次方程
x2−2(k−1)x+k2+3=0
(1)若该方程有一个根是−2，求k的值．
(2)若该方程的两个实数根 满足 ， 求k的值．
x .x (x −1)(x −1)=14
1 2 1 2
易错考点13：传播问题（一元二次方程的应用）
25．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，
设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（ ）人得了流感.
A．1372 B．343 C．1512 D．2744
26．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经
过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过
700台？
易错考点14：增长率问题（一元二次方程的应用）
27．（25-26九年级上·广东珠海·开学考试）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行
动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，
如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出多少张电影
票．
28．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特
色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流
量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25
元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价
x元．请解答以下问题：
①填空：每天可售出扇子_______________把（用含x的代数式表示）；
②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多
少元？
易错考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
29．（2025·江苏泰州·三模）综合与实践
主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为xcm，用x的代数式表示收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长；
任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高．
30．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内
部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务．
(1)图案n中实心圆有______个，空心圆有______个；
(2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由．
易错考点16：数字问题（一元二次方程的应用）
31．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积
等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（ ）
A．36 B．63 C．36或63 D．−36或−63
32．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字
等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202，则这个
三位数是 ．
易错考点17：营销问题(一元二次方程的应用）
33．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价−进货价）
A款钥匙 B款钥匙
类别价格
扣 扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和
销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利
润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查
发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使
B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
34．（25-26九年级上·重庆·开学考试）列方程解下列问题：
卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．
甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．
4
乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的 倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制．
3
(1)求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？
(2)卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商
卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天
需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得
7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？易错考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用）
35．（25-26九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度
移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动．
(1)运动几秒时△PCQ的面积为8cm2？
(2)△PCQ的面积能否等于△ABC面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
36．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿
边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如
果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(0<t<3)．(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
(2)连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于8cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请
说明理由．
易错考点19：工程问题（一元二次方程的应用）
37．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施
工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每
合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；
1 1
(2)实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加 a万元，且每天多挖 a．乙每合格完成1米隧
6 24
道施工成本增加1 万元，且每天多挖1 米．若最终每天实际总成本比计划多( 11 )万元，求 的值．
a a 24+ a a
3 8 2
38．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高
速G69银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，
两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格
完成1米隧道施工成本为9万元．
3
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
2
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧
m m
道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，若最
2 3
终每天实际总成本比计划多(9m−2)万元，求m的值．
易错考点20：行程问题（一元二次方程的应用）
39．（24-25八年级下·上海·期中）l 是一条东西方向的道路，l 是一条南北方向的道路，这两条道路相
1 2
交于点O．小明和小丽分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着l 以4千米/时的速度由西向东前进，小
1
明沿着l 以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点P处，古树与l 、l 的距离分别为3
2 1 2
千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等．
40．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有
二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为7步，乙的速度为3
步．乙一直向东走，甲先向南走10步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走
了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步．
易错考点21：图表信息题（一元二次方程的应用）
41．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超
过x度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过x度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度
x
元交费．
100
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含x的代数式表
示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的x度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
42．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，
在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如
表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）影片《万里归途》的部分统计数据
发布日
10月8日 10月11日 10月12日
期
发布次
第1次 第2次 第3次
数
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
易错考点22：其他问题（一元二次方程的应用）
43．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手
45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：
________________．
拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有
2条，五边形的对角线有5条．
（1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条；
（2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由．
44．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0），如果Δ=b2−4ac的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整
数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）称为“友好方程”，代数式4ac−b2的值
为该“友好方程”的“超强代码”，用 表示，即 ；若另一关于x的一元二
Q(a,b,c) Q(a,b,c)=4ac−b2
次方程px2+qx+r=0（p≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为Q(p,q,r)，当满足
Q(a,b,c)−Q(p,q,r)=4c时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程
px2+qx+r=0（p≠0）的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”x2−x−6=0的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程 （m为整数，且 ）是“友好方程”，
x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0 4<m<15
请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程 是 （m，n均为正整数，且 ）
x2+(1−m)x+m−2=0 x2+(n−1)x−n=0 m≠n
的“最佳搭子方程”，且 的一个根是 的一个根的2倍，求m和n
x2+(1−m)x+m−2=0 x2+(n−1)x−n=0
的值
易错考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
45．（25-26九年级上·全国·课后作业）为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工
队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，
规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有y人，则下列方程正确的是
（ ）
A．y(y−1)=50 B．y(y+1)=50
1 1
C． y(y−1)=50 D． y(y+1)=50
2 246．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参
赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计：
(1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？
(2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明；
(3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为
__________．
