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专题 16 期末复习（易错 46 个考点 90 题）
范围：九年级上册+九年级下册26章和27章
考点一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．若关于x的方程(m−2)xm2−2+4x−7=0是一元二次方程，则m的值为（
）
A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2
考点二．一元二次方程的一般形式（共1小题）
2．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项
分别是（ ）
A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1
考点三．一元二次方程的解（共1小题）
3．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（ ）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1
考点四．解一元二次方程-配方法（共2小题）
4．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值
为（ ）
10 7 4
A． B． C．2 D．
3 3 3
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
考点五．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
6．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．7．解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2．
考点六．换元法解一元二次方程（共1小题）
8．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
考点七．根的判别式（共1小题）
9．关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．k＜− B．k≤− C．k＞− D．k≥−
8 8 8 8
考点八．根与系数的关系（共8小题）
b a
10．若实数a、b满足等式a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，则代数式 + 之值为（ ）
a b
23 23 23 23
A．− B． C．2或− D．2或
7 7 7 7
11．已知 ， 是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024 + 2）（1+2025 + 2）
的值是α（ β ） α α β β
A．4 B．3 C．2 D．1
12．已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 ．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根分别为x 和x ，则x2−3x +x
1 2 1 1 2
的值为 ．
14．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+1＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
2
（2）是否存在实数m，使方程的两根x ，x 满足x +x +3x •x = m？若存在，求出实数
1 2 1 2 1 2 5
m的值；若不存在，请说明理由．15．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ，且满足x2+x2=12，求k的值．
1 2 1 2
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ，若（x +1）（x +1）＝﹣1，求k的值．
1 2 1 2
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0．
（1）求证：该方程必有两个不相等的实数根．
1 1 3
+ =
（2）若x ，x 是该方程的两个根，且满足 ，求k的值．
1 2 x x 2
1 2
考点九．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
18．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的
平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝280
B．100（1+x）+100（1+x）2＝280
C．100（1﹣x）2＝280
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280
考点十．反比例函数的图象（共1小题）b
19．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y= （其中a，b是常数，ab≠0）的大
ax
致图象是（ ）
A． B． C． D．
考点十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
6
20．已知点A（1，y ）、B（2，y ）、C（﹣3，y ）都在反比例函数y= 的图象上，则
1 2 3 x
y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
考点十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
k
21．如图，正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y = 2的图象相交于A，B两点，其中
1 1 2
x
点A的横坐标为2，当y ＜y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
3 k
22．如图，直线y ＝﹣x+4，y = x+b都与双曲线y= 交于点A（1，m），这两条直线分
1 2 4 x
别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
3 k
（2）直接写出当x＞0时，不等式 x+b＞ 的解集；
4 x
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．考点十三．反比例函数的应用（共2小题）
23．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略
不计）的可变电阻R （ ）（如图1），当人站上踏板时，电阻R 随人的质量m的变化
1 1
而变化，此时可通过电压Ω表显示的读数U 换算为人的质量m（kg）．已知U 连R 的变
0 0 1
化而变化（如图2），R 与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（
1
）
A．在一定范围内，U 越小，R 越大
0 1
B．当U ＝4V时，R 的阻值为30
0 1
C．当踏板上人的质量为95kg时，ΩU
0
＝3V
D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U ≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质
0
量是110kg
24．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中
水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，
随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温
降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的
信息，解答问题：
（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内
的温度约为多少℃？
考点十四．二次函数的性质（共1小题）
25．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小
值2，则m的值是（ ）
1 1 1
A．1 B． C．1或 D．1或−
3 3 3
考点十五．二次函数图象与系数的关系（共3小题）
26．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc
＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实
数）．其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线 x＝﹣1，则下列
结论中：
b
① ＞0；
c
②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；
③3a+c＜1；④若M（x ，y）、N（x ，y）是抛物线上不同的两个点，则x +x ≤﹣3．
1 2 1 2
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B
（1，0），则下列结论正确的个数是（ ）
①abc＜0；
②3b+2c＞0；
③对任意实数m，am2+bm≥a﹣b均成立；
1
④若点（﹣4，y ），（ ，y ）在抛物线上，则y ＜y ．
1 2 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点十六．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
29．若A（﹣1，y ），B（﹣5，y ），C（0，y ）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三
1 2 3
点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3
30．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y ），
1
N（﹣1，y ），K（8，y ）也在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（
2 3
）A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
考点十七．二次函数图象与几何变换（共1小题）
31．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
考点十八．二次函数的最值（共1小题）
32．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（ ）
5 13
A．2 B．±2 C．2或 D．2或
2 6
考点十九．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
33．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线
1
x=− ．
2
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰
好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
9
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范
4
围．
考点二十．抛物线与x轴的交点（共1小题）
34．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊
桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出
下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象
具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而
增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．
其中正确结论的个数是 ．考点二十一．二次函数的应用（共3小题）
35．2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为
70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两
次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应
降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
36．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进
价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，
购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，
每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量
为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．
设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类
特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价）37．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长 42米，篱笆
长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S
米2．
（1）求y与x，S与x的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x
的值．
考点二十二．二次函数综合题（共5小题）
38．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交
于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平
行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长．
②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一
点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如
果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．39．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴
交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，
如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别
与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大
时，求△PON的面积．
40．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分
沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点
N，是否存在这样的点P，使△NCM与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P
的坐标；若不存在，请说明理由．41．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于
点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，
该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴
与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三
角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐
标；若不存在，请说明理由．考点二十三．垂径定理的应用（共2小题）
43．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图 1所示是一个
竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为
12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 cm．
44．王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅
这样操作：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点
D，交^AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，便可求出该工件的半径，则该圆形工
件的半径为 cm．
考点二十四．圆周角定理（共2小题）
45．如图，AB是 O的直径，C是 O上的一点．若∠AOC＝62°，则∠B＝（ ）
⊙ ⊙
A．62° B．31° C．30° D．28°46．如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD，BC．若∠BAC＝30°，
则∠D＝（ ⊙）
A．60° B．70° C．30° D．40°
考点二十五．点与圆的位置关系（共2小题）
47．已知 O的半径为4，OP＝3，则点P与 O的位置关系是（ ）
A．点⊙P在 O内 B．点P在 O上 ⊙ C．点P在 O外 D．不能确定
48．如图，已知⊙AB＝5， B的半径⊙为2，点C在 B上，连⊙接AC，并将线段AC绕点A顺
时针旋转60°得到线段⊙AD．当点C在 B上运⊙动时，点D到直线AB距离的最大值是
． ⊙
考点二十六．切线的性质（共1小题）
1
49．如图，已知 P的半径为3，圆心P始终在抛物线y= x2−3上运动，当 P与x轴相
2
⊙ ⊙
切时，圆心P的坐标为 ．
考点二十七．弧长的计算（共1小题）
50．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC
边的中点，若AB＝1，则C^E的长为（ ）π π ❑√3π ❑√3π
A．
B． C． D．
3 6 3 6
考点二十八．扇形面积的计算（共1小题）
51．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于
点 F，连接 AE、AF．若 AB＝4，∠BAD＝120°，则阴影部分的面积为
．
考点二十九．圆锥的计算（共1小题）
52．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为120°扇形，则该圆锥的侧面面
积为 cm2．
考点三十．旋转的性质（共3小题）
53．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得
到△AB C ，连接BC ，则BC 的长为（ ）
1 1 1 1
A．❑√5 B．❑√13 C．4 D．6
54．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针
旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为
cm．55．如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点
A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为 ．
考点三十一．中心对称图形（共1小题）
56．图中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点三十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
57．若点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b＝ ．
考点三十三．列表法与树状图法（共2小题）
58．在如图所示的电路图中，若闭合S 、S 、S 、S 中任意一个开关，则小灯泡发光的概
1 2 3 4
率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 5
59．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设
计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调
查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若某校有1000名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种
方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通
方式的概率．
考点三十四．利用频率估计概率（共1小题）
60．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区
域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观
察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只A
种候鸟．
考点三十五．反比例函数的性质（共1小题）
k−1
61．反比例函数 y= 的图象在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，则 k 的值可为
x
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
考点三十六．反比例函数的应用（共2小题）
62．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，
小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）
动力臂（L/m） … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 …
动力（F/N） … 300 150 100 a 60 …请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（ ）
A．150N B．90N C．75N D．60N
63．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两个物体与支
点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为：阻力×阻力臂＝动力×动
力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200牛顿和0.5
米，设动力为F（牛顿），动力臂为l（m）．
（1）求动力F与动力臂l之间的函数关系式；
（2）当撬动石头的动力为400牛顿时，动力臂为多少米？
考点三十七．含30度角的直角三角形（共1小题）
64．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为
BC 延长线上一点，取 PA＝CQ，连接 PQ，交 AC 于 M，则 EM 的长为
．
考点三十八．比例的性质（共1小题）
x y z x−y+z
65．若 = = ，则 的值是（ ）
3 5 7 x+ y−z
A．1 B．5 C．4 D．3
考点三十九．黄金分割（共2小题）66．五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三
AD
角形ABC，已知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则 的值为（ ）
AC
❑√5 ❑√5−1 ❑√3−1 ❑√3
A．
B． C． D．
2 2 2 2
67．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠
近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离
为 cm．（结果保留根号）
考点四十．平行线分线段成比例（共2小题）
68．如图，l ∥l ∥l ，直线a，b与l 、l 、l 分别相交于A、B、C和点D、E、F．若
1 2 3 1 2 3
AB 2
= ，DE＝4，则EF的长是（ ）
BC 3
8 20
A． B． C．6 D．10
3 3
69．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的
长为 ．考点四十一．相似多边形的性质（共2小题）
70．两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 ．
71．装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装
裱上去的部分的上下的宽都为 15cm，若装裱上去的左右部分的宽都为 xcm，则x＝
．
考点四十二．相似三角形的性质（共2小题）
72．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两
1
个动点，且 DE＝4，P 是 DE 的中点，连接 PA，PB，则 PA+ PB 的最小值为
4
．
73．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC
向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度
是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停
止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？考点四十三．相似三角形的判定（共3小题）
74．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相
似的是（ ）
A． B． C． D．
75．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，
沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的
时间为t秒（0＜t＜3）．
1
（1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 ？
9
（2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，
求出t的值；若不存在，请说明理由．
76．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．考点四十四．相似三角形的判定与性质（共12小题）
77．如图，矩形ABCD中，点E是DC边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在
BC边上，给出如下三个结论：
①∠AFE＝90°；
②△EFC∽△AEF；
③若AB＝9，DE＝5，则AD＝15．
上述结论一定正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
78．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE
相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
5 5 5
A． B．1 C． D．
6 4 3
79．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝AB，且∠CAD＝2∠BDE，过E作9
EF∥BC，EF交AD于点F，若AF＝4，CD＝5，S△ABD =
2
S
△EFD
，则DF的长
．
80．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使
▱
1
CE= CD，连接OE交BC于点F，若BC＝8，则CF＝ ．
2
81．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，
以 PA，PC 为邻边作平行四边形 PAQC，连接 PQ，则 PQ 的最小值为
．
82．如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于点F．
（1）求证△ABD≌△BCE；
（2）求证AE2＝EF•EB．83．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足
∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
84．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，
EF交AD于点K．
EF
①求 的值；
AK
②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若 AB＝AC，正方形 PQMN 的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在
△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．85．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接
AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的
位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什
么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=4❑√2，
BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）
86．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA
边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
87．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接
AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它
条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点 B、
C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究
∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．88．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形
AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．
（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ °；
（2）证明：△AFC∽△AGD；
BF 1 FC
（3）若 = ，请求出 的值．
FC 2 FH
考点四十五．相似三角形的应用（共1小题）
89．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F 的距离与焦点F 到凸透
1 1
镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（ ）
4 2 3 2
A． B． C． D．
5 5 2 3
考点四十六．位似变换（共1小题）
90．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似
1
中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
3A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
