文档内容
专题 04 一元二次方程的解法（因式分解法）（2 个
知识点 4 种题型 2 个易错考点中考 2 种考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：因式分解法（重难点）
知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：利用因式分解法解一元二次方程
（1）利用提公因式法
（2）利用平方差公式
（3）利用完全平方公式
（4）十字相乘法因式分解
题型2：选择合适的方法解一元二次方程
题型3：一题多解——解一元二次方程
题型4：由两方程的公共根求方程中字母的值
【方法三】 差异对比法
易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。
易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错
【方法四】 仿真实战法
考法1：用因式分解法解一元二次方程
考法2：解一元二次方程与三角形综合
【方法五】 成果评定法
【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法
知识点1：因式分解法（重难点）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因
式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等
于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以
含有未知数的代数式.
知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）
例1.用适当的方法解下列方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【解析】（1） （2）
① ， ② ， ，
解得： ； 解得： ；（3）整理得： （4）∵ 原方程是一元二次方程，
， ，
，
解得： ；
，
．
解得：
【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．
【方法二】实例探索法
题型1：利用因式分解法解一元二次方程
（1） 利用提公因式法
例2.方程： 的较小的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】提公因式，得： ，
整理得： ，
∴ ，
∵ ，故选择D．
【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．
例3.解关于 的方程（因式分解方法）：
（1） ； （2） ．【答案】（1） ； （2） ．
【解析】（1） （2）
① ②
∴ ；
① ②
∴ ．
【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．
（2）利用平方差公式
例4.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．
【答案与解析】
(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，
∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，
∴ x＝1，x＝-4．
1 2
例5.解关于 的一元二次方程： ．
【答案】 ．
【解析】移项，得： ，
，
，
，
，
解得： ．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．
（3）利用完全平方公式
例6.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；
【答案与解析】
(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，
(2x3)2 0
(2x+1+2)2＝0． 即 ，
3
x x
1 2 2
∴ ．
（4） 十字相乘法因式分解
例7.用合适的方法解下列关于 的方程：
（1） ； （2） ；
【答案】
（1）
； （2） ；
【解析】（1） ，
，
解得： ；
（2）
，
解得： ；
【总结】本题考查了一元二次方程的解法．
题型2：选择合适的方法解一元二次方程
例8.解关于 的方程（合适的方法 ）：（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法
① ②
∴ ； ∴ ．
【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！
例9.解关于 的方程（合适的方法）：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ； （2） ．
【解析】（1）因式分解法 （2）把 看作一个整体，因式分解
① ②
∴ ；
① ②
∴ ．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．
题型3：一题多解——解一元二次方程
例10.（2022秋•昆都仑区期末）解方程：x2+2x＝3．（用两种方法解方程）
【分析】利用因式分解法和配方法求解即可．
【解答】解：解法一：x2+2x＝3，
x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x ＝﹣3，x ＝1；
1 2
解法二：x2+2x＝3，
x2+2x+1＝3+1，
（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得x ＝﹣3，x ＝1．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和配方法是解答本题的关键．
题型4：由两方程的公共根求方程中字母的值
例11.方程 的解相同，求 的值．
【答案】12．
【解析】由已知得两个方程是同一个方程，
将 左右两边同时乘以3，得： ，
∴ ．
【总结】本题考查了方程的解的概念．
例12.已知方程 有共同的根是 ，求a的值．
【答案】 ．
【解析】将 代入，得： ，
① ×2+②，得： ， 解得： ．
【总结】本题考查了方程的解的概念．
【方法三】差异对比法
易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。
例13.解关于 的方程：
（1） ； （2）（3） ．
【答案】 （1） ， ；
（2）当 时， ， ；
当 时， ；
当 ，原方程有无数解；
（3）当 时， ， ；
当 时， ；
当 时， ．
【解析】（1）
，
，
∴ ， ；
（2）①当 即 时，原方程是一元二次方程
∴ ， ；
②当 且 时，即 时，原方程是一元一次方程 ；
③当 ，等式恒成立，原方程有无数解；
综上：当 时， ， ；
当 时， ；
当 ，原方程有无数解；
（3）整理得：① 当 即 时，原方程是一元二次方程
∴ ， ；
②当 时，原方程为： ，解得： ；
③当 时，原方程为： ，解得： ；
综上：当 时， ， ；
当 时， ；
当 时， ；
【总结】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！是一元二次方程时，一般利用因式分
解法．
易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错
(x2 y2)(x2 y2 2)3 x2 y2
例14.如果 ，请你求出 的值．
【答案与解析】
x2 y2 z
设 ，∴ z(z-2)＝3．
z2 2z30
整理得： ，∴ (z-3)(z+1)＝0．
∴ z＝3，z＝-1．
1 2
z x2 y2 0
∵ ，∴ z＝-1(不合题意，舍去)
∴ z＝3．
x2 y2
即 的值为3．
x2 y2
【总结升华】如果把 视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分x2 y2 x2 y2
解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算 ，但实际上如果把 看成
z x2 y2 x2 y2
一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设 再求z值，从而求出 的值实际就是换
元思想的运用．
x2 y2 0 x2 y2 3 x2 y2 1
易错提示:忽视 ，而得 或 ．
【方法四】 仿真实战法
考法1：用因式分解法解一元二次方程
1．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x ＝6，x ＝4 B．x ＝6，x ＝﹣4
1 2 1 2
C．x ＝﹣6，x ＝4 D．x ＝﹣6，x ＝﹣4
1 2 1 2
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，
（x﹣6）（x+4）＝0，
x﹣6＝0或x+4＝0，
解得x ＝6，x ＝﹣4，
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．
2．（2022•包头）若x ，x 是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x •x 2的值为（ ）
1 2 1 2
A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6
【分析】先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝3或x＝﹣1，
①x ＝3，x ＝﹣1时， ＝3，
1 2
②x ＝﹣1，x ＝3时， ＝﹣9，
1 2
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，掌握因式分解法解出方程的步骤，分情况讨论是解题关键．
3．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x ＝1，x ＝3 B．x ＝﹣1，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝﹣3 D．x ＝﹣1，x ＝﹣3
1 2 1 2
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x ＝﹣3，x ＝﹣1，
1 2
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关
键．
4．（2022•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 x ＝ 2 ， x ＝﹣ 7 ．
1 2
【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0，
x﹣2＝0或x+7＝0，
x ＝2，x ＝﹣7，
1 2
故答案为：x ＝2，x ＝﹣7．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关
键．
5．（2022•云南）方程2x2+1＝3x的解为 x ＝ 1 ， x ＝ ．
1 2
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：2x2+1＝3x，
2x2﹣3x+1＝0，
（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
解得：x ＝1，x ＝ ．
1 2
故答案为：x ＝1，x ＝ ．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：掌握十字相乘法解方程是本题的关键．
6．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等
于一次项系数．
7．（2022•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“＜”或“＞”填空：a ＜ b，ab ＜ 0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法
请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．
【分析】（1）先根据数轴确定a、b的正负，再利用乘法法则确定ab；
（2）根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．
【解答】解：（1）由数轴上点的坐标知：a＜0＜b，
∴a＜b，ab＜0．
故答案为：＜，＜．
（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，
Δ＝22﹣4×1×（﹣1）
＝4+4
＝8，
∴x＝
＝
＝
＝﹣1± ．
∴x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ；
1 2②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0．
∴x ＝0，x ＝3；
1 2
③利用配方法：x2﹣4x＝4，
两边都加上4，得x2﹣4x+4＝8，
∴（x﹣2）2＝8．
∴x﹣2＝±2 ．
∴x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 ；
1 2
④利用因式分解法：x2﹣4＝0，
∴（x+2）（x﹣2）＝0．
∴x ＝﹣2，x ＝2．
1 2
【点评】本题考查了数轴、一元二次方程的解法，掌握数轴的意义、一元二次方程的解法是解决本题的
关键．
考法2：解一元二次方程与三角形综合
8．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（
）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨
论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是 ×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是 ＝ ，该直角三角形的面积是 ×3× ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行
讨论是解题的关键．
9．（2021•黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为 1 2 ．
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断能否组成三角形，最后求出三角形的周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，
当第三边为3时，2+3＝5，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
当第三边为5时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+5+5＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出方程的解是解此题的关
键．
10．（2021•广安）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形
的周长为 1 2 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x ＝2，x ＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的
1 2
长为4，从而得到计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x ＝2，x ＝4，
1 2
若三角形第三边长为2，而2+3＝5，不符合三角形三边的关系舍去；
若三角形第三边长为3，而4+3＞5，符合三角形三边的关系舍去；
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分
解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程
的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思
想）．也考查了三角形三边的关系．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023春·广东揭阳·九年级校考阶段练习）方程 的两个根为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．（2023·四川广元·统考一模）已知关于 的方程 的一个解与方程 的解相同，则方程
的另一个解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解出分式方程，根据方程 的一个解与方程 的解相同，可求出 的值，再解
方程 ，即可求出另一个解．
【详解】解：方程 的两边同乘以 ，得：
，解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
把 代入方程： ，得 ，
解得 ，
∴ ，
解得： ， ，
∴另一个解为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程和一元二次方程，注意分式方程需要检验，熟练掌握分式方程和一元二次
方程的解法是解答本题的关键．3．（2023·浙江杭州·统考一模）方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】移项后利用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，
，
，即 ，
则 或 ，
解得： 或 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
二、填空题
4．（2023·陕西咸阳·二模）一元二次方程 的根是__________．
【答案】 ，
【分析】利用因式分解法求解．
【详解】解： ，
或 ，
， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤．
5．（2023·四川成都·统考二模）一个三角形的两边长分别为和，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为____．
【答案】20
【分析】因式分解法解方程求出 的值，再根据三角形三边之间的关系求出符合条件的 的值，最后求出
周长即可．
【详解】解： ，即 ，
或 ，
解得： 或 ，
当 时，三角形的三边 ，构不成三角形，舍去；
当 时，这个三角形的周长为 ，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了解一元二次方程 因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三
边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
6．（2023春·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）“换元”是将代数式化繁为简的一种
方法，试用这种方法解方程 ，它的解是___________
【答案】 ， ，
【分析】设 ，则原方程变为 ，再利用因式分解法解此方程，即可求解．
【详解】解：设 ，则原方程变为 ，
解得 ， ，
或 ，
解得 ， ， ，
故答案为： ， ， ．
【点睛】本题主要考查了利用换元法及因式分解法解方程，根据方程的特点设出合适的新元是解题的关键．
7．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）解方程： ，利用整体思想和换元法
可设 ，则原方程可化为：______.【答案】
【分析】根据换元法，设 ，代入原方程即可求解．
【详解】解：设 ，则原方程可化为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，整体代入是解题的关键．
8．（2022秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）若实数x、y满足 ，则
_____．
【答案】1
【分析】设 ，解关于t的一元二次方程，根据结果取舍即可．
【详解】解：∵ ，设 ，则 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： （舍）或 ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法，利用整体思想求解．
9．（2023·浙江宁波·校考一模）已知 ，求 的值为______．
【答案】3
【分析】把 看作一个整体，设 ，利用换元法得到新方程 ，求解即可．
【详解】解：设 ，
据题意，得 ，解得 ，
∵ ，
∴ 不符合题意舍去，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是将 看作一个整体，熟练应用换元法．
10．（2023·全国·九年级专题练习）若 ，则 ______．
【答案】
【分析】设 ．则原方程转化为关于 的一元二次方程 ，即 ；然后解关
于 的方程即可．
【详解】解：设 ．则
，即 ，
解得， 或 不合题意，舍去)；
故 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意 中的 的取值范围： ．
11．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考一模）写出一个以 为未知数，以 和4为根的一元二次
方程________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用因式分解的方法判断确定出满足题意的方程即可．
【详解】解：根据题意得： ，即 ，
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（2022秋·黑龙江·九年级统考期中）方程 ，则 的值是______．
【答案】2
【分析】用换元法解方程即可．
【详解】解：设 ，
则原方程转换为： ，
解得， ， ；
当 时， ，方程没有实数根，舍去；
当 时， ，方程有实数根；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，解题关键是通过换元整体求解，注意：利用根的判别式进行
舍值．
13．（2023·山东济南·统考一模）菱形的两条对角线长分别为方程 的两个根，则该菱形的周
长为______．
【答案】10
【分析】解方程，可得菱形的对角线长，根据菱形的性质，可通过菱形的对角线求得菱形的边长，进而求
出周长．
【详解】解：解方程 ，解得 ， ，
菱形的对角线互相垂直且边长相等，
根据勾股定理可得，边长为 ，
菱形的周长为 ．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，熟知菱形性质是解题的关键．
三、解答题
14．（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考开学考试）解方程：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解： ，
即 ，
解得： ；
（2）解：
∴
∴
解得：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：
(1) ．（直接开平方法）
(2) （配方法）
(3) （因式分解法）
(4) （公式法）
【答案】(1)(2)
(3)
(4) ，
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法得到 ，然后利用直接开平方法解方程；
（3）利用因式分解法解方程．
（4）求出 ，根据公式即可求出答案；
【详解】（1）解： ，
两边除以4得： ，
两边开平方得： ，
∴ ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴
所以 ；（3）解：
∴ ，
∴ 或 ，
所以 ．
（4）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．（2023·浙江湖州·统考一模）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】解：方程整理，得： ，
，
则 或 ，
解得 ， ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（2023秋·山东临沂·九年级统考期末）解方程：
(1) ；
(2) ．【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案；
（2）先换元，令 ，将 转化为 ，利用十字相乘因式分解法直接
求解即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
，
解得 ， ；
（2）解： ，
令 ，则 ，
，解得 或 ，
或 ，
解得 ， ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，根据具体的方程结构特征熟练运用一元二次方程的解法求解是解决问
题的关键．
18．（2023·青海·统考一模）提出问题
为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后可设 ，则
，于是原方程可转化为 ，解此方程，得 ， ．
当 时， ， ，∴ ；
当 时， ， ，∴ ．∴原方程的解为 ， ， ， ．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程 ．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足 ，求 的值．
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】（1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解；
（2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解．
【详解】解：解决问题：（1）设 ，
∴原方程变形为 ，解得， ， ，
当 时， ，故舍去；
当 时， ，解得， ， ；
综上所示，原方程的解为 ， ．
延伸拓展：（2）
∴ ，
∴原式变形为 ，
∴ ，设 ，
∴ ，则 ，解得， ，即 ，
∵ ，
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键．
19．（2023·上海崇明·统考二模）在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，
计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x
（瓶）之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
(2)该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比
乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．
【答案】(1)
(2)选购的甲、乙消毒剂的数量分别为30瓶，60瓶
【分析】（1）设出函数解析式，根据图象，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设乙种消毒剂的单价为 元，甲种消毒剂的单价为 元，根据两种消毒剂的数量关系，列出分
式方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为 ，
由图象可知，图象过点 ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）解：设乙种消毒剂的单价为 元，甲种消毒剂的单价为 元，由题意，得：，
整理，得：
解得： （负值已舍掉），
经检验， 是原方程的解，
∴乙种消毒剂的单价为 元，甲种消毒剂的单价为 元，
∴甲消毒剂的数量为 瓶，乙消毒剂的数量为 瓶．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，分式方程的应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，列出分
式方程．
20．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）我们给出定义：若关于x的一元二次方程
（a≠0）的两个实数根为 ， （ ），分别以 ， 为横坐标和纵坐标得到点M（
， ），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为 ，该方程的衍生点M为 ．
(2)若关于x的一元二次方程 的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与
坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程 的衍生点M始终在直线y＝kx+2
（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
【答案】(1)（1，2）
(2) 或
(3)存在， ，
【分析】（1）解方程 后，根据定义即可求M点坐标；
（2）求出方程的解为x = 1或x = 5m，再分情况讨论：当5m≥1时，此时M (1，5m)；当0≤5m≤1时，此时
M (5m，1)，当5m < 0时，M (5m，1)；再由题意分别求出m的值即可；（3）由直线经过定点( 2，6)，则方程 +bx +c = 0的衍生点M为( 2，6)，即可求出b= 4，c= 12．
【详解】（1）∵ 的解为x=1或2，
∴ ，
∴M (1，2)，
该方程的衍生点M的坐标(1，2)，
故答案为：（1，2）；
（2）∵ 的解为x=1或x=5m，
当 时， ，此时M (1，5m)，
由题意可得1 = 5m，
解得m = ，
当 时， ，此时M (5m，1)，
∴5m=1，
∴m= ；
当5m < 0时，M (5m，1)，此时 ，
解得m = ；
综上，m的值为 或 ；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵ ，
∴直线经过定点 ，
∴方程 + bx + c = 0的衍生点M为 ，
∴将 和 代入 可得 ,
解得 ， ．【点睛】本题属于一元二次方程与一次函数综合题，考查一元二次方程的解法，一次函数的图象及性质，
点M为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会
用分类讨论的思想解决问题．
21．（2022秋·湖南郴州·九年级统考阶段练习）根据要求解答下列问题
(1)①方程 的解为
②方程 的解为
③方程 的解为
(2)根据以上方程特征及解的特征猜想：方程 的解为 ，并用配方法解方程进行验证；
(3)根据以上探究得出一般结论：关于 的方程 的解为 ．
【答案】(1)① ； ② ； ③ ；
(2) ，验证见解析；
(3) ．
【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）利用配方法解方程 可判断猜想结论的正确；
（3）根据前面发现的规律即可完成此问．
【详解】（1）解：① ，
，
解得 ，
即方程 的解为 ；
② ，
，
解得 ，即方程 的解为 ；
③ ，
，
解得 ，
即方程 的解为 ，
故答案为：① ； ② ； ③ ；
（2）解： ，
，
，
；
故答案为： ；
（3）解： ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平
方法求解，也考查了因式分解法-十字相乘法解一元二次方程．
22．（2022秋·湖南郴州·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程 ，这是一个
一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设 ，那么 ，于是原方程可变为（1），解得 ， ，当 时， ， ；当 时， ， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法
达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)试用上述方法解方程： ，得原方程的解为 ___________．
(2)解方程 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）结合材料，利用 ，再换元，求出m的值，再代入求出x即可；
（2）结合材料，利用 ，再换元，求出n的值，再代入求出x即可．
【详解】（1）解：设 ，则原方程变为 ，
解得 ， ，
当 时， ，解得 ，
当 ， ，方程无解，
故原方程的解为 ， ，
故答案为： ， ．
（2）解：设 ，则原方程变为 ，
解得 ， ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，
，则方程无解，
故原方程的解为 ．
【点睛】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
23．（2023·广东梅州·统考一模）若关于x，y的二元一次方程 ，若满足 ， ．
(1)求参数a的取值范围；
(2)若y为一个直角三角形的一条直角边长，x为该直角三角形的斜边长，另一条直角边长为方程
的一个根，试求该直角三角形的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ， ， ，解得 ，解不等式组即可；
（2）由题意知， ，求出满足要求的 值，然后代入 ，求
解满足要求的 值，进而可得 的值，进而可求周长．
【详解】（1）解： ，
① ②可得 ，解得 ，
② ①可得 ，解得 ，
，
，
∴不等式组的解集为 ，
∴a的取值范围为 ；
（2）解： ，
即 或 ，解得 （舍去）或 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，即 ，
解得 ， （不合题意，舍去）
， ，
∵ ，
∴该直角三角形周长为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元二次方程，解一元一次不等式组，勾股定理等知识．解题
的关键在于理解题意并正确的列等式、不等式并正确运算．
24．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
【答案】x ＝ ，x ＝ .
1 2
【分析】本题先进行分组相乘得: [(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48,整理可得:
(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48,然后利用换元法,设y= x2－5x+5,可得: (y－1)(y＋1)＝48,解得
y＝7，y＝－7,然后得x2－5x+5=7或x2－5x+5=－7,最后求方程即可.
1 2
【详解】原方程即[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y ＝7，y ＝－7.
1 2
当x2－5x＋5＝7时，解得x ＝ ，x ＝ ；
1 2
当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．
∴原方程的根为x ＝ ，x ＝ .
1 2
