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专题 04 一次函数全章复习攻略（3 个概念 2 个图象 1 个性质 4
个关系 1 个方法 2 个应用专练）
3 个概念
【考查题型一】常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否
在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如 是常量．
π
【例1】．（2023秋•沂源县期末）球的体积是 ，球的半径为 ，则 ，其中变量和常量分别
是
A．变量是 ， ；常量是 B．变量是 ， ；常量是
C．变量是 ， ；常量是3，4 D．变量是 ；常量是
【变式1-1】．（2023春•港南区期末）一本笔记本5元，买 本共付 元，则变量是
A．5 B．5和 C． D． 和
【变式1-2】．（2022春•沈北新区期末）如图，把两根木条 和 的一端 用螺栓固定在一起，木条
自由转动至 位置．在转动过程中，下面的量是常量的为
A． 的度数 B． 的长度 C． 的长度 D． 的面积
【变式1-3】．（2023春•南沙区期末）周长为 的矩形，若它的一边长是 ，面积是 ．
（1）请用含 的式子表示 ，并指出常量与变量；
（2）当 时，求 的值．【考查题型二】函数
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，
那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变
化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
【例2】．（2023秋•长丰县期末）下列各曲线中，表示 是 的函数的是
A． B．
C． D．
【变式2-1】．（2023春•沧州期末）观察表格和图象，下列判断正确的是
表格：
1
1 2 3 4A． 是 的函数， 不是 的函数
B． 和 都是 的函数
C． 不是 的函数， 是 的函数
D． 和 都不是 的函数
【变式2-2】．（2023春•昌平区期末）下列图象中， 不是 的函数的是
A． B．
C． D．
【变式2-3】．（2023春•怀化期末）下面分别给出了变量 与 之间的对应关系，其中 不是 函数的是
A． B．C． D．
【考查题型三】一次函数
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量⇔的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
【例3】．下列函数中，一定是一次函数的是
A． B． C． D．
【变式3-1】．（2023春•台江区校级期末）一次函数 是关于 的一次函数，则 ， 的
值为
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【变式3-2】．（2023春•遵化市期末）下列函数中，不是一次函数的是
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023春•兴城市期末）若函数 是一次函数，则 的值为
A． B． C．2 D．0
2 个图象
【考查题型四】函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点
组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的
值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这
个点就不在函数的图象上．．
【例4】．（2023秋•亭湖区校级期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道
的时间 与火车在隧道内的长度 之间的关系用图象描述大致是
A． B．
C． D．
【变式4-1】．（2023春•潮安区期末）某人沿直路行走，若此人离出发的距离 （千米）与行走时间
（分 的函数关系如图所示，则此人在这段时间内最快的行走速度是 千米 分．
【变式4-2】．（2023春•新华区校级期末）过山车（图 是一个有趣而刺激的娱乐项目，如图2所示的是
佳佳乘坐过山车在一分钟之内的高度 （米 与时间 （秒 之间的关系图象．
（1）当 秒时，过山车的高度是 米；
（2）请直接写出在这一分钟内过山车有几次高度达到90米；
（3）求在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差．【变式4-3】．（2023春•那曲市期末）下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了
一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．其中 表示时间， 表示张强离家的距离．根据图象回答
下列问题：
（1）体育场离张强家 千米；张强从家去体育场用了 分；
（2）体育场离文具店 千米，张强在文具店停留了 分；
（3）请计算：张强从文具店回家的平均速度是多少？
【考查题型五】一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣ ，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、
纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过
原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是
一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．【例5】．（2022秋•市南区期末）一次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大
致是
A． B．
C． D．
【变式5-1】．（2023春•博兴县期末）两个 关于 的一次函数 和 在同一平面直角坐
标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【变式5-2】．（2023春•桥西区期末）在如图所示的计算程序中， 与 之间的函数关系式所对应的图象
是A． B．
C． D．
【变式 5-3】．（2023 春•曲阜市期末）如图，一次函数 的图象为直线 ，菱形 ，
， ， 按图中所示的方式放置，顶点 ， ， ， ， 均在直线 上，顶点 ， ，
， 均在 轴上，则点 的纵坐标是 ．
1 个性质
【考查题型六】一次函数的性质
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
【例6】．（2023春•江汉区期末）一次函数 中， 随 的增大而减小， ，则这个函数的图
象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式6-1】．（2023春•兰陵县期末）关于一次函数 ，下列说法不正确的是
A．图象不经过第三象限 B． 随着 的增大而减小
C．图象与 轴交于 D．图象与 轴交于
【变式6-2】．（2023春•镇平县期末）请写出一个经过点 ，且 随 的增大而增大的一次函数的表达
式 ．
【变式6-3】．（2023春•湛江期末）已知一次函数 ，
（1）求图象与 轴、 轴的交点 、 的坐标．
（2）点 在 轴，四边形 、 、 、 是菱形，求出 点的坐标．
4 个关系
【考查题型七】一次函数与正比例函数关系
【例7】．（2023春•两江新区期末）一次函数 与正比例函数 在同一坐标系中的图象大
致是
A． B．C． D．
【变式7-1】．（2023春•荣昌区期末）已知函数 的图象如图所示，那么函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【变式7-2】．（2022秋•双流区期末）直线 与直线 在同一坐标系中的大致图象可能是图
中
A． B．C． D．
【变式7-3】．（2023春•盐山县期末）在同一直角坐标系中，一次函数 与正比例函数 的
图象可能是
A． B．
C． D．
【考查题型八】一次函数与一元一次方程关系
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为 0时，
自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
【例8】．（2023春•海港区期末）如图，已知函数 和 的图象交于点 ，根据图
象可得方程 的解是
A． B． C． D．都不对
【变式8-1】．（2023春•洪江市期末）如图，已知一次函数 ， 为常数， 的图象经过点， ．
（1）由图可知，关于 的一元一次方程 的解是 ；
（2）求该一次函数的表达式．
【变式8-2】．（2023秋•高州市期末）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的方程
的解是 ．
【变式8-3】．（2023春•南阳期末）如图，直线 过点 ，并且分别与 轴， 轴相交
于点 和点 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）直接写出方程 的解为 ；
（3）将直线 向上平移5个单位长度，交坐标轴于 ， 两点，求 的面积．【考查题型九】一次函数与二元一次方程（组）关系
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为 ax+b＝0（a，b为常数，
a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0时，求相应的自变量的值，从
图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程
（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
【例9】．（2023春•双辽市期末）如图，已知函数 和 的图象交于点 ，这两
个函数的图象与 轴分别交于点 、 ．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）根据图象直接写出不等式 的解集．【变式9-1】．（2023春•单县期末）已知：如图一次函数 与 的图象相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）若一次函数 与 的图象与 轴分别相交于点 、 ，求 的面积．
（3）结合图象，直接写出 时 的取值范围．
【变式9-2】．（2023春•高州市期末）如图，一次函数 的图象经过 ， 两点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出关于 的不等式 的解集．【变式9-3】．（2023春•陵城区期末）如图所示，在同一个坐标系中一次函数 和 的图
象，分别与 轴交于点 、 ，两直线交于点 ．已知点 坐标为 ，点 坐标为 ，观察图象并
回答下列问题：
（1）关于 的方程 的解是 ；关于 的不等式 的解集是 ；
（2）直接写出关于 的不等式组 解集是 ；
（3）若点 坐标为 ，
①关于 的不等式 的解集是 ；
② 的面积为 ；
③在 轴上找一点 ，使得 的值最大，则 点坐标为 ．【考查题型十】一次函数与不等式（组）关系
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣ ，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞ ，不等式kx+b＜0的解为：x＜ ；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜ ，不等式kx+b＜0的解为：x＞ ．
【例10】．（2023秋•宣汉县期末）已知直线 与 相交于点 ，则关于 ， 的二
元一次方程组 的解为
A． B． C． D．
【变式10-1】．（2023秋•西安期末）如图，两个一次函数图象的交点坐标为 ，则关于 ， 的方程
组 的解为A． B． C． D．
【变式10-2】．（2023秋•化州市期末）在平面直角坐标系 中，一次函数 和 的图象如
图所示，则二元一次方程组 的解为 ．
【变式10-3】．（2023春•裕华区期末）如图，直线 的图象与 轴交于点 ，直线
的图象与 轴交于点 ，两者相交于点 ．
（1）方程组 的解是 ；
（2）当 与 同时成立时， 的取值范围为 ；
（3）在直线 的图象上存在异于点 的另一点 ，使得 与 的面积相等，求出点 的
坐标．1 个方法
【考查题型十一】待定系数法
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则
需要两组x，y的值．
【例11】．（2023春•新邵县期末）已知 与 成正比例，当 时， ，求：
（1） 与 的函数解析式；
（2）当 时，求 的值．【变式11-1】．（2023春•澄城县期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ．
（1）求直线 的解析式；
（2）已知点 在第一象限，且到两坐标轴距离相等，若 ，求点 的坐标．
【变式11-2】．（2023春•北京期末）在平面直角坐标系 中，点 和点 在一次函数
的图象上．
（1）若 ， ， ，求该一次函数的解析式；
（2）已知点 ，将点 向左平移3个单位长度，得到点 ．
①求点 的坐标；
②若 ，一次函数 的图象与线段 有公共点，求 的取值范围．【变式11-3】．（2023春•昌平区期末）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过
点 ， ，
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出
的取值范围．
2 个应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要
符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件
寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．【考查题型十二】给出图象解实际问题
【例12】．（2023春•覃塘区期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向 的出行距
离．现有 、 两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中 品牌收费方式
对应 ， 品牌的收费方式对应 ．
（1） 品牌每分钟收费 元；
（2）求 品牌的函数关系式；
（3）如果小明每天早上需要骑行 品牌或 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的
平均行驶速度均为 ，小明家到工厂的距离为 ，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
【变式12-1】．（2023春•新宾县期末） ， 两地相距 ，甲、乙两人分别开车从 地出发前往
地，其中甲先出发 ．如图是甲、乙行驶路程 ， 随行驶时间 变化的图象，请结合图象
信息，解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 ；
（2）分别求出 ， 与 之间的函数表达式；
（3）求出点 的坐标．【变式12-2】．（2023春•巩义市期末）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度
与挖掘时间 之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖 ．
（2）当 时，求 与 的之间的函数关系式．
（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差 ．
【变式12-3】．（2023春•赣县区期末）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量 （单位： 与充电时间 （单位： 的
函数图象分别为图2中的线段 、 ．
（1）求线段 对应的函数表达式；
（2）已知该手机正常使用时耗电量为 ，在用快速充电器将其充满电后，正常使用 ，接着再用普
通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是 ，求 的值．
【考查题型十三】给出表格信息解实际问题【例13】．（2023春•寻乌县期末）如图，是一种学生双肩背包，其背带由固定带、活动带和调节扣构成．
使用时，可以通过调节调节扣使背带的总长度（固定带与活动带使用部分的长度总和，其中调节扣所占的
长度忽略不计）加长或缩短．设活动带未使用部分的长度为 ，背带的总长度为 ，经测量，得到
如下数据：（说明：本题只讨论一条背带）
活动带未使用部分的 5 10 15 20 30
长度 分）
65 60 55
背带的总长度
（1）根据表中数据的规律，填空： ， ；
（2）当 时，求 关于 的函数解析式；
（3）在下面的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中的函数图象；
（4）根据小敏的身高和习惯，背带的总长度为 时，背起来最合适，请求出此时活动带未使用部分的
长度．
【变式13-1】．（2023春•久治县期末）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车
辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
苹果 芦柑 香梨
7 6 5
每辆汽车载货量（吨
每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1
（1）设装运苹果的车辆为 辆，装运芦柑的车辆为 辆，求 与 之间的函数关系式，并直接写出 的取
值范围
（2）用 来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出 的最大值．
【变式13-2】．（2023春•江岸区期末）为了迎接“十 一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购
进甲，乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
种类 甲 乙
运动鞋价格
进价（元 双）
售价（元 双） 160 120
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求 的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润 售价 进价）不少于10800元，且不超过
11100元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠
元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【变式13-3】．（2023春•诸城市期末）小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整
齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的．凳子的数量 （单位：个）与叠放在一起的凳子的总高度 （单位： 的关系如表：
凳子的数量 1 2 3 4
叠放的凳子总高度 45 50 55 60
根据以上信息，回答下列问题：
（1）判断叠放的凳子总高度 与凳子的数量 之间符合什么函数关系？请用待定系数法求 与 的函数关
系式；
（2）若将该种凳子竖直叠放在层高为 超市货架上，最多能叠放多少个？
