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专题 16 期末复习（易错 46 个考点 90 题）
范围：九年级上册+九年级下册26章和27章
考点一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．若关于x的方程(m−2)xm2−2+4x−7=0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的方程(m−2)xm2−2+4x−7=0是一元二次方程，
{m−2≠0)
∴ ，
m2−2=2
解得：m＝﹣2．
故选：C．
考点二．一元二次方程的一般形式（共1小题）
2．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1
【答案】C
【解答】解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，
所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，﹣1．
故选：C．
考点三．一元二次方程的解（共1小题）
3．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（ ）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1
【答案】C
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0，
得k2﹣1＝0，
解得k＝﹣1或1；
又k﹣1≠0，
即k≠1；
所以k＝﹣1．
故选：C．考点四．解一元二次方程-配方法（共2小题）
4．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
10 7 4
A． B． C．2 D．
3 3 3
【答案】B
【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
1
x2+2x= ，
3
1 4
则x2+2x+1= +1，即（x+1）2= ，
3 3
4
∴a＝1，b= ，
3
7
∴a+b= ．
3
故选：B．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【答案】D
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
考点五．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
6．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，
3
所以把x＝2代入方程，可得k= ，
2
所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，
2
解得：x ＝2，x = ，
1 2 3
2
所以BC的值是 ．
3
7．解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝4+1，
（x+1）2＝5，
x+1＝±❑√5，
x =❑√5−1，x =−❑√5−1；
1 2
（2）3x（2x+1）＝4x+2，
3x（2x+1）＝2（2x+1），
3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
（3x﹣2）（2x+1）＝0，
3x﹣2＝0或2x+1＝0，
2 1
x = ，x =− ．
1 3 2 2
考点六．换元法解一元二次方程（共1小题）
8．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【答案】A
【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
考点六．换元法解一元二次方程（共1小题）
9．关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．k＜− B．k≤− C．k＞− D．k≥−
8 8 8 8
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，
∴12﹣4×2×（﹣k）＜0，
∴1+8k＜0，
1
∴k＜− ．
8
故选A．
考点八．根与系数的关系（共8小题）
b a
10．若实数a、b满足等式a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，则代数式 + 之值为（ ）
a b
23 23 23 23
A．− B． C．2或− D．2或
7 7 7 7
【答案】C
b a
【解答】解：当a＝b时， + =2；
a b
当a≠b时，
∵a、b是方程x2+3x﹣7＝0的根，
∴a+b＝﹣3，ab＝﹣7，
b a b2+a2 (a+b) 2−2ab (−3) 2+14 23
∴ + = = = =− ；
a b ab ab −7 7b a 23
综上所述， + =2或− ，
a b 7
故选：C．
11．已知 ， 是方程 x2+2023x+1＝0 的两个根，则代数式（1+2024 + 2）（1+2025 + 2）的值是
（ ）α β α α β β
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：∵ ， 是方程x2+2023x+1＝0的两个根，
∴ ＝1， 2+20α23 β+1＝0， 2+2023 +1＝0，
（α1+β2024 α+ 2）（α1+2025 +β 2） β
＝a•2 α α β β
＝2 β
＝2α×1β
＝2．
故选：C．
12．已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 2 9 ．
【答案】29．
【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣24＝0中的两根分别为a、b，
∴a+b＝5，a2﹣5a﹣24＝0．
∴a2﹣5a＝24，
∴a2﹣4a+b＝a2﹣5a+a+b，
＝24+5，
＝29．
故答案为：29．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根分别为x 和x ，则x2−3x +x 的值为 5
1 2 1 1 2
．
【答案】5
【解答】解：由题意，∵方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根分别为x 和x ，
1 2
∴根据根与系数的关系可得，x2−4x −1=0，且x +x ＝4，
1 1 1 2∴x2−4x =1，
1 1
∴x2−3x +x
1 1 2
=(x2−4x )+(x +x )，
1 1 1 2
＝1+4，
＝5，
故答案为：5．
14．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+1＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
2
（2）是否存在实数m，使方程的两根x ，x 满足x +x +3x •x = m？若存在，求出实数m的值；若不
1 2 1 2 1 2 5
存在，请说明理由．
17
【答案】（1）m≤ 且m≠2；（2）m＝﹣3．
4
【解答】解：（1）由题意，∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴m﹣2≠0，且Δ＝9﹣4（m﹣2）≥0．
17
∴m≤ 且m≠2．
4
（2）由题意，∵一元二次方程为（m﹣2）x2﹣3x+1＝0，
3 1
∴x +x = ，x x = ．
1 2 m−2 1 2 m−2
2
又∵x +x +3x •x = m，
1 2 1 2 5
3 1 2
∴ +3× = m．
m−2 m−2 5
∴m＝5或﹣3．
17
又∵结合（1）可得m≤ 且m≠2，
4
∴m＝﹣3．
15．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ，且满足x2+x2=12，求k的值．
1 2 1 2【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根，
∴Δ＝4k2﹣4（k2+k）≥0．
∴k≤0．
（2）由题意，∵方程x2+2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣2k，x x ＝k2+k．
1 2 1 2
∴x2+x2=（x +x ）2﹣2x x ＝4k2﹣2k2﹣2k＝2k2﹣2k．
1 2 1 2 1 2
∵x2+x2=12，
1 2
∴2k2﹣2k＝12，即k2﹣k﹣6＝0．
∴k＝﹣2或k＝3．
又∵结合（1）得，k≤0，
∴k＝﹣2．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ，若（x +1）（x +1）＝﹣1，求k的值．
1 2 1 2
3
【答案】（1）k≤1；（2）k=− ．
2
【解答】解：（1）由题意，∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（2k﹣1）≥0．
∴k≤1．
（2）由题意，∵方程x2﹣2x+2k﹣1＝0的两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝2k﹣1．
1 2 1 2
∵（x +1）（x +1）＝﹣1，
1 2
∴x x +（x +x ）+1＝﹣1．
1 2 1 2
∴2k﹣1+2+1＝﹣1．
3
∴k=− ．
2
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0．
（1）求证：该方程必有两个不相等的实数根．
1 1 3
+ =
（2）若x ，x 是该方程的两个根，且满足 ，求k的值．
1 2 x x 2
1 22
【答案】（1）证明见解析；（2）k= 或k＝﹣1．
3
【解答】（1）证明：由题意，∵一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1）
＝4k2﹣4k+1﹣4k2+4k
＝1＞0．
∴该方程必有两个不相等的实数根．
（2）解：由题意，∵一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0，
∴x +x ＝﹣2k+1，x •x ＝k（k﹣1）＝k2﹣k．
1 2 1 2
1 1 x +x −2k+1
∴ + = 1 2= ．
x x x x k2−k
1 2 1 2
1 1 3
+ =
又∵ ，
x x 2
1 2
−2k+1 3
=
∴ ．
k2−k 2
2
∴k= 或k＝﹣1．
3
考点九．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
18．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为
x，根据题意列出的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝280
B．100（1+x）+100（1+x）2＝280
C．100（1﹣x）2＝280
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280
【答案】B
【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器为：100（1+x），
三月份生产机器为：100（1+x）2；
又知二、三月份共生产280台；
所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280．
故选：B．
考点十．反比例函数的图象（共1小题）b
19．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax+b与y= （其中 a，b是常数，ab≠0）的大致图象是
ax
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：若a＞0，b＞0，
b
则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y= （ab≠0）位于一、三象限，
ax
若a＞0，b＜0，
b
则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数y= （ab≠0）位于二、四象限，
ax
若a＜0，b＞0，
b
则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y= （ab≠0）位于二、四象限，
ax
若a＜0，b＜0，
b
则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y= （ab≠0）位于一、三象限，
ax
故选：A．
考点十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
6
20．已知点A（1，y ）、B（2，y ）、C（﹣3，y ）都在反比例函数y= 的图象上，则y 、y 、y 的大小
1 2 3 x 1 2 3
关系是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
【答案】B6
【解答】解：∵点A（1，y ），B（2，y ），C（﹣3，y ）都在反比例函数y= 的图象上，
1 2 3 x
6 6 6
∴y = =6，y = =3，y = =−2，
1 1 2 2 3 −3
∵﹣2＜3＜6，
∴y ＜y ＜y ，
3 2 1
故选：B．
考点十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
k
21．如图，正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y = 2的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标
1 1 2
x
为2，当y ＜y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
【答案】B
k
【解答】解：∵正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y = 2的图象相交于A、B两点，
1 1 2
x
∴A，B两点坐标关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴B点的横坐标为﹣2，
∵y ＜y
1 2
k
∴在第一和第三象限，正比例函数y ＝k x的图象在反比例函数y = 2的图象的下方，
1 1 2
x
∴x＜﹣2或0＜x＜2，
故选：B．
3 k
22．如图，直线y ＝﹣x+4，y = x+b都与双曲线y= 交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于
1 2 4 x
B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；3 k
（2）直接写出当x＞0时，不等式 x+b＞ 的解集；
4 x
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y ＝﹣x+4，可得m＝﹣1+4＝3，
1
∴A（1，3），
k
把A（1，3）代入双曲线y= ，可得k＝1×3＝3，
x
3
∴y与x之间的函数关系式为：y= ；
x
（2）∵A（1，3），
3 k
∴当x＞0时，不等式 x+b＞ 的解集为：x＞1；
4 x
（3）y ＝﹣x+4，令y＝0，则x＝4，
1
∴点B的坐标为（4，0），
3 3
把A（1，3）代入y = x+b，可得3= +b，
2 4 4
9
∴b= ，
4
3 9
∴y = x+ ，
2 4 4
令y＝0，则x＝﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC＝7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
1 7 1 7
∴CP= BC= ，或BP= BC= ，
4 4 4 4
7 5 7 9
∴OP＝3− = ，或OP＝4− = ，
4 4 4 45 9
∴P（− ，0）或（ ，0）．
4 4
考点十三．反比例函数的应用（共2小题）
23．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变
电阻R （ ）（如图1），当人站上踏板时，电阻R 随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表
1 1
显示的读数Ω U 换算为人的质量m（kg）．已知U 连R 的变化而变化（如图2），R 与踏板上人的质
0 0 1 1
量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，U 越小，R 越大
0 1
B．当U ＝4V时，R 的阻值为30
0 1
C．当踏板上人的质量为95kg时，ΩU
0
＝3V
D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U ≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是110kg
0
【答案】D
【解答】解：∵图2中U 随R 的增大而减小，
0 1
∴在一定范围内，U 越大，R 越小．
0 1
故A正确，不符合题意；
∵图2中的图象经过点（30，4），
∴当U ＝4V时，R 的阻值为30 ．
0 1
故B正确，不符合题意； Ω∵当m＝95时，R ＝﹣2m+240＝50 ，U ＝3V时，对应的是50 ，
1 0
∴踏板上人的质量为95kg时，U 0 ＝Ω3V． Ω
故C正确，不符合题意．
∵R ＝﹣2m+240，
1
∴R 随m的增大而减小．
1
∵R 的最小值为10，
1
∴m的最大值为115．
∴若电压表量程为0﹣6V（0≤U ≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg．
0
故D错误，符合题意．
故选：D．
24．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与
开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中
水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复
上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多
少℃？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，
{ b=20 )
依据题意，得 ，
10k+b=100
{k=8
)
解得： ，
b=20
∴此函数解析式为：y＝8x+20；m
（2）当10≤x≤t，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y= ，
x
m
依据题意，得：100= ，
10
即m＝1000，
1000
故y= ，
x
1000
当y＝20时，20= ，
t
解得：t＝50；
（3）∵70﹣50＝20＞10，
1000
∴当x＝20时，y= =50，
20
答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为50℃．
考点十四．二次函数的性质（共1小题）
25．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值
是（ ）
1 1 1
A．1 B． C．1或 D．1或−
3 3 3
【答案】D
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣2mx+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为2，
∴①当m＞0时，x＝1时，y＝2，
则m﹣2m+3＝2，
解得m＝1．
②当m＜0时，
∵对称轴是直线x＝1，
∴当x＝﹣1时，y取最小值＝2，
则m+2m+3＝2，
1
解得m=− ．
3
1
故m的值为1或− ，
3故选：D．
考点十五．二次函数图象与系数的关系（共3小题）
26．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a
＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有
（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】B
【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣a＞c，
故②正确；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，
故③正确；
b
④∵x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
3a＜﹣c，
故④不正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故选：B．
27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：
b
① ＞0；
c
②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；
③3a+c＜1；
④若M（x ，y）、N（x ，y）是抛物线上不同的两个点，则x +x ≤﹣3．
1 2 1 2
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
b
又抛物线的对称轴是直线x=− =−1，
2a
∴b＝2a＜0．
又抛物线交y轴正半轴，
∴当x＝0时，y＝c＞0．
b
∴ ＜0，故①错误．
c
由题意，当x＝﹣1时，y取最大值为y＝a﹣b+c，∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a﹣b+c．
∴对于任意实数m，当x＝m时，y＝am2+bm+c≤a﹣b+c．
∴am2+bm≤a﹣b，故②正确．
由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
又b＝2a，
∴3a+c＜0＜1，故③正确．
由题意∵抛物线为y＝ax2+bx+c，
b 2a
∴x +x =− =− =−2＞﹣3，故④错误．
1 2 a a
综上，正确的有②③共2个．
故选：B．
28．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），则下列
结论正确的个数是（ ）
①abc＜0；
②3b+2c＞0；
③对任意实数m，am2+bm≥a﹣b均成立；
1
④若点（﹣4，y ），（ ，y ）在抛物线上，则y ＜y ．
1 2 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：∵抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），
−3+1
∴对称轴是直线x= =−1．
2
b
∴− =−1．
2a∴b＝2a．
又图象可得，a＞0，c＜0，
∴b＝2a＞0．
∴abc＜0，故①正确．
∵B（1，0）在抛物线上，
∴a+b+c＝0．
又b＝2a，
3
∴ b+c＝0．
2
∴3b+2c＝0，故②错误．
∵对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线开口向上，
∴当x＝﹣1时，y取最小值为a﹣b+c．
∴对应任意的m，当x＝m时，函数值y＝am2+bm+c≥a﹣b+c．
∴am2+bm≥a﹣b，故③正确．
∵抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
1 3
又∵|﹣4﹣（﹣1）|＝3＞| −（﹣1）|= ，
2 2
∴y1＞y2，故④错误．
综上，正确的有2个．
故选：B．
考点十六．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
29．若A（﹣1，y ），B（﹣5，y ），C（0，y ）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y ，y ，
1 2 3 1 2
y 的大小关系是（ ）
3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3
【答案】B
【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+4x﹣m＝（x+2）2﹣4﹣m，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且抛物线开口向上．
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
∵A（﹣1，y ），B（﹣5，y ），C（0，y ），且﹣1﹣（﹣2）＝1＜0﹣（﹣2）＝2＜﹣2﹣（﹣5）
1 2 3
＝3，
∴y ＜y ＜y ．
1 3 2故选：B．
30．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y ），N（﹣1，
1
y ），K（8，y ）也在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵M（﹣2，y ），N（﹣1，y ），K（8，y ），
1 2 3
∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故选：B．
考点十七．二次函数图象与几何变换（共1小题）
31．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物
线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式
是y＝（x﹣2）2﹣4+2，即y＝（x﹣2）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
故选：B．
考点十八．二次函数的最值（共1小题）
32．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（ ）
5 13
A．2 B．±2 C．2或 D．2或
2 6
【答案】A
【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2．
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a．
∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a，
∴4﹣2a＝﹣1，5
∴a= ，
2
不合题意，舍去．
当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2．
∴3﹣a2＝﹣1．
∴a2＝4，
∵1≤a≤3，
∴a＝2．
当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小．
∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a．
∴12﹣6a＝﹣1．
13
∴a= ．
6
∵a≥3．
∴不合题意，舍去．
综上：a＝2．
故选A．
考点十九．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
1
33．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线x=− ．
2
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝
x2+bx+c的图象上，求m的值；
9
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．
4
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，
b 1
∴抛物线的对称轴为直线x=− =− ．
2 2
∴b＝1．
∴抛物线为y＝x2+x+c．
又图象经过点A（﹣2，5），
∴4﹣2+c＝5．∴c＝3．
∴抛物线为y＝x2+x+3．
（2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），
∴平移后的点为（1﹣m，9）．
又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3，
∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3．
∴m＝4或m＝﹣1（舍去）．
∴m＝4．
1
（3）由题意，当 n＜− 时，
2
1 11 9
∴最大值与最小值的差为5−[(n+ ) 2+ ]= ．
2 4 4
1
∴n =n =− ，不符合题意，舍去．
1 2 2
1
当− ≤n≤1 时，
2
11 9
∴最大值与最小值的差为5− = ，符合题意．
4 4
1 11 11 9
当n＞1时，最大值与最小值的差为 (n+ ) 2+ − = ，解得 n ＝1 或 n ＝﹣2，不符合题意．
2 4 4 4 1 2
1
综上所述，n的取值范围为− ≤n≤1．
2
考点二十．抛物线与x轴的交点（共1小题）
34．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同
学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的
交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1
或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，
函数的最大值是4．其中正确结论的个数是 4 ．【答案】4
【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是
正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此
④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故答案为：4
考点二十一．二次函数的应用（共3小题）
35．2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥
龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，
此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能
使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为m，
依题意，得：80（1+m）2＝125，解得：m ＝0.25＝25%，m ＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
1 2
答：每次上涨的百分率为25%．
（2）由题意，设每个售价为x元，
∴每天的利润w＝（x﹣70）[75+5（125﹣x）]
＝（x﹣70）（700﹣5x）
＝﹣5x2+1050x﹣49000
＝﹣5（x﹣105）2+6125．
∴当x＝105时，每天的最大利润为6125．
∴每个应降价（125﹣105）元，即每个应降价20元．
答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元．
36．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售 A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B
类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类
特产需540元．
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售
出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数
关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天
销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润
w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价）
【答案】（1）A 类特产的售价为 60 元/件，B 类特产的售价为 72 元/件；（2）y＝10x+60
（0≤x≤10）；（3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
【解答】解：（1）由题意，设每件A类特产的售价为a元，则每件B类特产的售价为（132﹣a）元．
∴3a+5（132﹣a）＝540．
∴a＝60．
∴每件B类特产的售价132﹣60＝72（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）由题意，∵每件A类特产降价x元，
又每降价1元，每天可多售出10件，
∴y＝60+10x＝10x+60（0≤x≤10）．
答：y＝10x+60（0≤x≤10）．（3）由题意，∵w＝（60﹣50﹣x）（10x+60）+100×（72﹣60）
＝﹣10x2+40x+1800＝﹣10（x﹣2）2+1840．
∵﹣10＜0，
∴当x＝2时，w有最大值1840．
∴A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
37．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂
直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2．
（1）求y与x，S与x的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．
【答案】（1）y＝﹣2x+80（19≤x＜40），S＝﹣2x2+80x；（2）当x＝25时，围成的矩形花圃的面积
为750米2；（3）围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2，此时x的值为20．
【解答】解：（1）由题意，2x+y＝80，
∴y＝﹣2x+80．
由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0，
∴19≤x＜40．
由题意，S＝AB•BC＝x（﹣2x+80），
∴S＝﹣2x2+80x（19≤x＜40）．
（2）由题意，令S＝﹣2x2+80x＝750，
∴x＝15（舍去）或x＝25．
答：当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750米2．
（3）由题意，根据（1）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
又∵﹣2＜0，且19≤x＜40，
∴当x＝20时，S取最大值为800．
答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2，此时x的值为20．
考点二十二．二次函数综合题（共5小题）
38．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC
于点D，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长．
②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在
这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐
标；如果不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点
C，
{ a+b+3=0 ) { a=1 )
∴ ，解得 ，
9a+3b+3=0 b=−4
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图：
①设P（m，m2﹣4m+3），
将点B（3，0）、C（0，3）代入直线BC解析式y＝kx+b，
得k＝﹣1，b＝3，所以直线BC解析式为y ＝﹣x+3．
BC
∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．
②S△PBC ＝S△CPD +S△BPD
1 3 9
= OB•PD=− m2+ m
2 2 2
3 3 27
=− （m− ）2+ ．
2 2 8
3
∴当m= 时，S有最大值．
2
3 3
当m= 时，m2﹣4m+3=− ．
2 4
3 3
∴P（ ，− ）．
2 4
3 3
答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（ ，− ）．
2 4
（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点E（2，1），抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴
上一点，
∴EN＝CN＝2，
∴EC＝2❑√2，
根据菱形的四条边相等，
∴M′E＝EC＝2❑√2，
∴M′（2，1﹣2❑√2）或（2，1+2❑√2），
当EM＝EN＝2时，CMEN是正方形，
∴M（2，3），
答：点M的坐标为（2，3）或（2，1﹣2❑√2）或（2，1+2❑√2）．39．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，
3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求
出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛
物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）2+4，
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，
如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，∵E（0，3），
∴E'（2，3），
易得E'F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，
∴G（1，0）
（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），
易得AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3），
∴NQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，
∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，
∴△QMN∽△ADB，
QN AB
∴ = ，
MN BD
−m2+4m−3 2❑√5
∴ = ，
MN 2
❑√5 ❑√5
∴MN=− （m﹣2）2+ ，
5 5
❑√5
∵− ＜0，
5
∴当m＝2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，
∴△NGP∽△ADB，
PG BD 2 1
∴ = = = ，
NG AD 4 2
1 1
∴PG= NG= m，
2 2
1 3
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3− m＝﹣m2+ m+3，
2 2
1 1 3
∴S△PON =
2
OP•GN =
2
（﹣m2+
2
m+3）•m，1
当m＝2时，S△PON =
2
×2（﹣4+3+3）＝2．
1
（方法2：根据m的值计算N的坐标为（2，3），与E是对称点，连接EN，同理得：EP= EN＝1，
2
则OP＝2，根据面积公式可得结论）．
40．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其
余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这
样的点P，使△NCM与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理
由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）；
（2）b的值是2或3；
1+❑√17
（3）点P的坐标为（1，0）或（ ，0）或（1+❑√5，0）．
2
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，2），
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
∴A（﹣1，0），B（2，0），
设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），
把C（0，2）代入得：﹣2a＝2，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，
∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）；
（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；
②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，﹣x+b＝﹣x2+x+2，
x2﹣2x+b﹣2＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0，
∴b＝3，
综上，b的值是2或3；
（3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
∵PN∥y轴，
∴P（1，0）；
如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，
x2﹣x﹣4＝0，
1+❑√17 1−❑√17
∴x = ，x = ，
1 2 2 2
1+❑√17
∴P（ ，0）；
2
如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，
∴CN的解析式为：y＝x+2，
∴x+2＝x2﹣x﹣2，
∴x ＝1+❑√5，x ＝1−❑√5（舍），
1 2
∴P（1+❑√5，0），
1+❑√17
综上，点P的坐标为（1，0）或（ ，0）或（1+❑√5，0）．
241．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为
D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为 h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直
线BC始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
9
（2） ．
4
3−❑√17 −3−❑√17 3+❑√17 −3+❑√17
（3）存在，N（1，﹣2）或（ ， ）或（ ， ）或（3，0）．
2 2 2 2
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1），
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0）．
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．
设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，
令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，
∵该抛物线与直线BC始终有交点，∴Δ＝9﹣4h≥0，
9
∴h≤ ．
4
9
∴h的最大值为 ．
4
（3）存在，理由如下：
由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2，
∴E（2，﹣1），
∴DE＝2，
设点M（m，﹣m2+4m﹣3），
若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：
①当DE为边时，DE∥MN，
则N（m，m﹣3），
∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，
3−❑√17 3+❑√17
∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m= 或m= ．
2 2
3−❑√17 −3−❑√17 3+❑√17 −3+❑√17
∴N（1，﹣2）或（ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
②当DE为对角线时，
设点N的横坐标为t，
则N（t，t﹣3），
{ m+t=2+2 )
∴ ，
−m2+4m−3+t−3=1+(−1)
{m=1) {m=2)
解得m 或 （舍），
t=3 t=2
∴N（3，0）．
3−❑√17 −3−❑√17 3+❑√17 −3+❑√17
综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（ ， ）或（ ， ）或（3，
2 2 2 2
0）．
42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于
点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
1 1
（2）点G的坐标为G（1，3）或（1，﹣3）或（1， ）或（1，− ）；
3 3
3+❑√17 −1−❑√17 3−❑√17 −1+❑√17
（3）点Q的坐标为（2，3）或（ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点代入抛物线解析式得：
{
a−b+c=0
)
9a+3b+c=0 ，
c=3
{a=−1
)
解得： b=2 ，
c=3
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，
由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
则顶点P（1，4），对称轴为直线x＝1，
∴N（1，0），
∵A（﹣1，0）、C（0，3），
∴OA＝1，OC＝3，
分两种情况：
AO OC
①当△AOC∽△ONG时， = ，
ON NG1 3
即 = ，
1 NG
∴NG＝3，
∴G（1，3）或（1，﹣3），
AO OC
②当△AOC∽△GNO时， = ，
GN ON
1 3
即 = ，
GN 1
1
∴GN= ，
3
1 1
∴G（1， ）或（1，− ），
3 3
1 1
综上，点G的坐标为G（1，3）或（1，﹣3）或（1， ）或（1，− ）；
3 3
（3）存在，
设直线BC的解析式为：y＝mx+n，
{3k+b=0) {k=−1)
∴ ，解得： ，
b=3 b=3
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴M（1，2），
∴设过点P与直线BC平行的直线为：y＝﹣x+b ，
1
将点P（1，4）代入，得y＝﹣x+5，
{ y=−x+5 ) {x 1 =1 ) {x 2 =2 )
，解得： ， ，
y=−x2+2x+3 y =4 y =3
1 2
∵P（1，4），
∴Q（2，3），
设过点N（1，0）与直线BC平行的直线为：y＝﹣x+b ，
2
将点N（1，0）代入，得y＝﹣x+1，{ x =
3+❑√17
) { x =
3−❑√17
)
{ y=−x+1 ) 1 2 2 2
，解得： ， ，
y=−x2+2x+3 −1−❑√17 −1+❑√17
y = y =
1 2 2 2
3+❑√17 −1−❑√17 3−❑√17 −1+❑√17
∴Q的坐标为（ ， ）或（ ， ），
2 2 2 2
3+❑√17 −1−❑√17 3−❑√17 −1+❑√17
综上，点Q的坐标为（2，3）或（ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
考点二十三．垂径定理的应用（共2小题）
43．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图 1所示是一个竹筒水容器，
图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最
大深度是 1 8 cm．
【答案】18
【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交 O于点D，
∵OC⊥AB， ⊙
∴AC＝CB＝6cm，
由题意可知，OB＝10cm，
∴在Rt△OBC中，OC=❑√OB2−BC2=❑√102−62=8（cm），
∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm），
即这个水容器所能装水的最大深度是18cm．
44．王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在
工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交^AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 2 5 cm．
【答案】25．
【解答】解：如图，取圆心点O，连接OA．
设圆O的半径为rcm，则OA＝OC＝rcm．
∵AB⊥OC，AB＝40cm，
1
∴AD= AB＝20cm，
2
∵CD＝10cm，
∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）cm，
在Rt△ADO中利用勾股定理，得AD2+OD2＝OA2，
∴202+（r﹣10）2＝r2，
∴r＝25，
∴该圆形工件的半径为25cm．
故答案为：25．
考点二十四．圆周角定理（共2小题）
45．如图，AB是 O的直径，C是 O上的一点．若∠AOC＝62°，则∠B＝（ ）
⊙ ⊙A．62° B．31° C．30° D．28°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOC＝62°，
1 1
∴∠B= ∠AOC= ×62°=31°，
2 2
故选：B．
46．如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点 E，连接 AC，AD，BC．若∠BAC＝30°，则∠D＝
（ ） ⊙
A．60° B．70° C．30° D．40°
【答案】A
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵∠BAC＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°．
故选：A．
考点二十五．点与圆的位置关系（共2小题）
47．已知 O的半径为4，OP＝3，则点P与 O的位置关系是（ ）
A．点⊙P在 O内 B．点P在 O上 ⊙ C．点P在 O外 D．不能确定
【答案】A ⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与 O的位置关系是点P在圆内．
故选：A． ⊙
48．如图，已知AB＝5， B的半径为2，点C在 B上，连接AC，并将线段AC绕点A顺时针旋转60°
⊙ ⊙
5❑√3
得到线段AD．当点C在 B上运动时，点D到直线AB距离的最大值是 + 2 ．
2
⊙5❑√3
【答案】 +2．
2
【解答】解：将AB绕A旋转60°得AE连接BC、BE、DE，如图．
∵∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠CAD﹣∠BAD＝∠BAE﹣∠BAD．
∴∠CAB＝∠DAE．
又∵CA＝DA，AB＝AE，
∴△CAB≌△DAE（SAS）．
∴CB＝ED＝2．
∴D在点E为圆心，2为半径的圆上．
∴如图，当DH过E垂直于AB时，点D到直线AB距离的最大．
∵∠BAE＝60°，AB＝AE，
∴△BAE为等边三角形．
又∵AB＝5，
5❑√3
∴EH= ．
2
5❑√3
∴D到直线AB距离的最大值为D'H＝D'E+EH= +2．
25❑√3
故答案为： +2．
2
考点二十六．切线的性质（共1小题）
1
49．如图，已知 P的半径为3，圆心P始终在抛物线y= x2−3上运动，当 P与x轴相切时，圆心P
2
⊙ ⊙
的坐标为 (2❑√3，3)或(−2❑√3，3) 或（ 0 ，﹣ 3 ） ．
【答案】(2❑√3，3)或(−2❑√3，3)或（0，﹣3）
【解答】解：已知 P的半径为3， P与x轴相切，
∴点P到x轴的距离⊙为3， ⊙
∴点P的纵坐标为±3，
1
当y＝3时，得：
x2−3=3，
2
解得：x=2❑√3或x=−2❑√3，
∴P的坐标为(2❑√3，3)或(−2❑√3，3)；
1
当y＝﹣3时，得：
x2−3=−3，
2
解得：x＝0，
∴P的坐标为（0，﹣3），
综上所述，圆心P的坐标为(2❑√3，3)或(−2❑√3，3)或（0，﹣3），
故答案为：(2❑√3，3)或(−2❑√3，3)或（0，﹣3）．
考点二十七．弧长的计算（共1小题）
50．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若
AB＝1，则C^E的长为（ ）π π ❑√3π ❑√3π
A． B． C． D．
3 6 3 6
【答案】C
【解答】解：根据旋转的性质，得AD＝AB＝1，
∵点D是BC的中点，
∴BC＝2AD＝2，
在Rt△ABC中利用勾股定理，得AC=❑√BC2−AB2=❑√22−12=❑√3，
AC
∵tan∠ABC= =❑√3，
AB
∴∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD＝60°，
60 ❑√3π
∴C^E= ×2 ×❑√3= ．
360 3
π
故选：C．
考点二十八．扇形面积的计算（共1小题）
51．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接
4π
AE、AF．若AB＝4，∠BAD＝120°，则阴影部分的面积为 4❑√3− ．
3
4π
【答案】4❑√3− ．
3
【解答】解：如图，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠BCD＝∠BAD＝120°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，
∵点E是BC的中点，
1
∴CE= BC＝2，AE⊥BC，
2
∴∠AEC＝90°，
同理，∠AFC＝90°，
∵以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，
∴CE＝CF，
在Rt△AEC和Rt△AFC中，
{CE=CF)
，
AC=AC
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
❑√3
∵AE＝AB•sin∠B＝4× =2❑√3，
2
1 1
∴S△AEC ＝S△AFC =
2
CE•AE =
2
×2×2❑√3=2❑√3，
∴S四边形AECF ＝S△AEC +S△AFC ＝4❑√3，
120 4π
∵S扇形 =
360
×22=
3
，
π
4π
∴S阴影 ＝S四边形AECF ﹣S扇形 ＝4 ❑√3−
3
．
4π
故答案为：4❑√3− ．
3
考点二十九．圆锥的计算（共1小题）4π
52．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为120°扇形，则该圆锥的侧面面积为
3
cm2．
4π
【答案】 ．
3
120 4π
【解答】解： ×22= （cm2），
360 3
π
4π
∴该圆锥的侧面面积为 cm2．
3
4π
故答案为： ．
3
考点三十．旋转的性质（共3小题）
53．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB C ，
1 1
连接BC ，则BC 的长为（ ）
1 1
A．❑√5 B．❑√13 C．4 D．6
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB C ，
1 1
∴AC＝AC ＝2，∠CAC ＝60°，
1 1
∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，
∴∠BAC ＝90°，
1
∴在Rt△BAC 中，BC =❑√32+22=❑√13．
1 1
故选：B．
54．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到
△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为 4 2 cm．【答案】42
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，
∴BD＝BC＝12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝CD＝12cm，
在Rt△ACB中，AB=❑√AC2+BC2=❑√52+122=13，
△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm），
故答案为：42．
55．如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A旋转的过程
中，线段CF的长的最小值为 2❑√5−❑√2 ．
【答案】2❑√5−❑√2
【解答】解：如图，连接AF，CF，AC，
∵长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1，
∴AC＝2❑√5，AF=❑√2，
∵AF+CF≥AC，
∴CF≥AC﹣AF，
∴当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为2❑√5−❑√2，
故答案为：2❑√5−❑√2．考点三十一．中心对称图形（共1小题）
56．图中不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．图形是中心对称图形，不符合题意；
B．图形是中心对称图形，不符合题意；
C．图形是中心对称图形，不符合题意；
D．图形不是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
考点三十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
57．若点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称，
∴a﹣1＝﹣5，1﹣b＝﹣5，
解得a＝﹣4，b＝6，
∴a+b＝﹣4+6＝2．
故答案为：2．
考点三十三．列表法与树状图法（共2小题）
58．在如图所示的电路图中，若闭合S 、S 、S 、S 中任意一个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
1 2 3 41 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 5
【答案】C
【解答】解：根据题意，只有闭合S 时能够让灯泡发光，
1
1
∴能够让灯泡发光的概率为： ，
4
故选：C．
59．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜
欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果
绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 10 0 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若某校有1000名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联
系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%＝100人，
故答案为：100；
（2）喜欢用短信的人数为：100×5%＝5人，喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5＝40，
补充图形，如图所示：
40
（3）1000名学生中喜欢用微信进行沟通的人数大约为：1000× =400（人）；
100
（4）如图所示：列出树状图如下：
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
3 1
因此，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： = ．
9 3
考点三十四．利用频率估计概率（共1小题）
60．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A
种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有
10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 80 0 只A种候鸟．
【答案】800
【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案为：800．
考点三十五．反比例函数的性质（共1小题）
声明：试题解析著作权属所有未经书面同意，不得复k−1
61．反比例函数y= 的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可为（ ）
x
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
k−1
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
x
∴k﹣1＜0，解得k＜1．
故选：D．
考点三十六．反比例函数的应用（共2小题）
62．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变
动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）
动力臂（L/m） … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 …
动力（F/N） … 300 150 100 a 60 …
请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（ ）
A．150N B．90N C．75N D．60N
【答案】C
【解答】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，
K
设方程为：L= ，
F
从表中取一个有序数对，
K
可取（0.5，300）代入L= ，
F
∴K＝150．
150
∴L= ．
F
把L＝2.0m代入上式，∴F＝75N．
故选：C．
63．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两个物体与支点的距离与其
重量成反比，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一
块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别是 1200牛顿和0.5米，设动力为F（牛顿），动力臂为 l
（m）．
（1）求动力F与动力臂l之间的函数关系式；
（2）当撬动石头的动力为400牛顿时，动力臂为多少米？
600
【答案】（1）F= ；（2）当撬动石头的动力为400牛顿时，动力臂为1.5米．
l
【解答】解：（1）由题意可得：1200×0.5＝Fl，
600
∴F= ．
l
600
（2）由（1）知F= ，
l
600
∴当F＝400时，l= =1.5．
400
∴当撬动石头的动力为400牛顿时，动力臂为1.5米．
考点三十七．含30度角的直角三角形（共1小题）
64．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一
3
点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为 ．
2
3
【答案】
2
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
在△PFM和△QCM中，
{∠PFM=∠QCM
)
∠PMF=∠CMQ ，
PF=CQ
∴△PFM≌△QCM（AAS），
∴FM＝CM，
∵AE＝EF，
∴EF+FM＝AE+CM，
1
∴AE+CM＝ME= AC，
2
∵AC＝3，
3
∴ME= ，
2
3
故答案为： ．
2
考点三十八．比例的性质（共1小题）
x y z x−y+z
65．若 = = ，则 的值是（ ）
3 5 7 x+ y−z
A．1 B．5 C．4 D．3
【答案】B
x y z
【解答】解：设 = = = k，
3 5 7
∴x＝3k，y＝5k，z＝7k，x−y+z 3k−5k+7k 5k
∴ = = = 5，
x+ y−z 3k+5k−7k k
故选：B．
考点三十九．黄金分割（共2小题）
66．五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形 ABC，已
AD
知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则 的值为（ ）
AC
❑√5 ❑√5−1 ❑√3−1 ❑√3
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
1
∴∠ABC＝∠ACB= （180°﹣∠A）＝72°，
2
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD＝∠DBC= ∠ABC＝36°，
2
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴DA＝DB，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，
∴△ABC是黄金三角形，
BC ❑√5−1
∴ = ，
AC 2
AD ❑√5−1
∴ = ，
AC 2
故选：B．67．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金
分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 （ 8 0❑√5− 160 ）
cm．（结果保留根号）
【答案】（80❑√5−160）．
【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，
❑√5−1 ❑√5−1
∴AC= AB= ×80＝（40❑√5−40）cm，
2 2
∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，
❑√5−1 ❑√5−1
∴DB= AB= ×80＝（40❑√5−40）cm，
2 2
∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40❑√5−40）﹣80＝（80❑√5−160）cm，
∴支撑点C，D之间的距离为（80❑√5−160）cm，
故答案为：（80❑√5−160）．
考点四十．平行线分线段成比例（共2小题）
AB 2
68．如图，l ∥l ∥l ，直线a，b与l 、l 、l 分别相交于A、B、C和点D、E、F．若 = ，DE＝4，
1 2 3 1 2 3 BC 3
则EF的长是（ ）
8 20
A． B． C．6 D．10
3 3
【答案】C
【解答】解：∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
AB DE
∴ = ，
BC EF2 4
即 = ，
3 EF
解得：EF＝6．
故选：C．
6
69．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为 ．
5
6
【答案】
5
【解答】解：∵AB∥GH，
GH CH GH CH
∴ = ，即 = ①，
AB BC 2 BC
∵GH∥CD，
GH BH GH BH
∴ = ，即 = ②，
CD BC 3 BC
GH GH CH BH BC
①+②，得 + = + = =1，
2 3 BC BC BC
GH GH
∴ + = 1，
2 3
6
解得GH= ．
5
6
故答案为 ．
5
考点四十一．相似多边形的性质（共2小题）
70．两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 1 ： 2 ．
【答案】1：2．
【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为1：2，
∴两个相似多边形周长的比等于1：2，
故答案为：1：2．
71．装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的部分
的上下的宽都为15cm，若装裱上去的左右部分的宽都为xcm，则x＝ 1 0 ．【答案】10．
【解答】解：由题意得：
40 40+2x
= ，
60 60+15×2
解得：x＝10，
故答案为：10．
考点四十二．相似三角形的性质（共2小题）
72．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且
1 ❑√145
DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+ PB的最小值为 ．
4 2
❑√145
【答案】
2
1
【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF= ，连接PF，AF．
2
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，
1
∴PC= DE＝2，
2CF 1 CP 1
∵ = ， = ，
CP 4 CB 4
CF CP
∴ = ，
CP CB
∵∠PCF＝∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
PF CF 1
∴ = = ，
PB CP 4
1
∴PF= PB，
4
1
∴PA+ PB＝PA+PF，
4
√ 1 ❑√145
∵PA+PF≥AF，AF=❑√CF2+AC2=❑( ) 2+62= ，
2 2
1 ❑√145
∴PA+ PB≥ ，
4 2
1 ❑√145
∴PA+ PB的最小值为 ，
4 2
❑√145
故答案为 ．
2
73．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运
动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是
2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，由勾股定理得PQ=❑√CP2+CQ2=❑√82+62=10cm；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
1
因此Rt△CPQ的面积为S= ×(20−4t)×2t=(20t−4t2 )cm2；
2
（3）分两种情况：
CP CQ 20−4t 2t
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时， = ，即 = ，解得t＝3；
CA CB 20 15
CP CQ 20−4t 2t 40
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时， = ，即 = ，解得t= ．
CB CA 15 20 11
40
因此t＝3或t= 时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
11
考点四十三．相似三角形的判定（共3小题）
74．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由勾股定理得：AB=❑√32+12=❑√10，BC＝2，AC=❑√12+12=❑√2，
∴AC：BC：AB＝1：❑√2：❑√5，
A、三边之比为1：❑√5：2❑√2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：❑√2：❑√5，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为❑√2：❑√5：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：❑√5：❑√13，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．75．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运
动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜3）．
1
（1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 ？
9
（2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若
不存在，请说明理由．
1
【答案】（1）经过1秒或2秒时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 ；
9
（2）当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6cm，∠BAD＝90°，
AM＝tcm，AN＝6﹣2t（cm），
1 1 3 9
∴S△AMN =
2
AN•AM =
2
×（6﹣2t）×t＝﹣（t−
2
）2+
4
（0≤t≤3），
3 9 1
依题意得：﹣（t− ）2+ = ×3×6，
2 4 9
t2﹣3t+2＝0，
t ＝2，t ＝1．
1 2
1
答：经过1秒或2秒时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 ；
9
（2）设运动时间为t秒，
由题意得DN＝2t（cm），AN＝（6﹣2t）（cm），AM＝t（cm），
若△NMA∽△ACD，
则有AD：AN＝CD：AM，即6：（6﹣2t）＝3：t，
解得t＝1.5，
若△MNA∽△ACD
则有AD：AM＝CD：AN，即6：t＝3：（6﹣2t），
解得t＝2.4，
答：当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似．76．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD；
（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，
∵BC＝5，
∴EC＝5﹣3＝2，
由（1）得：△ABE∽△ECD，
AB EC
∴ = ，
BE CD
4 2
∴ = ，
3 CD
3
∴CD= ；
2
（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD；
理由是：过E作EF⊥AD于F，
∵△AED∽△ECD，
∴∠EAD＝∠DEC，∵∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DC⊥BC，
∴EF＝EC，
∵DE＝DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴DF＝DC，
同理可得：△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
考点四十四．相似三角形的判定与性质（共12小题）
77．如图，矩形ABCD中，点E是DC边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在BC边上，给
出如下三个结论：
①∠AFE＝90°；
②△EFC∽△AEF；
③若AB＝9，DE＝5，则AD＝15．
上述结论一定正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解答】解：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，∵点D关于直线AE的对称点点F在BC边上，
∴AE垂直平分DF，
∴AD＝AF，DE＝FE，
∴∠AFD＝∠ADF，∠EFD＝∠EDF，
∴∠AFE＝∠AFD+∠EFD＝∠ADF+∠EDF＝∠ADC＝90°，
故①正确；
假设△EFC∽△AEF成立，
∵AE与BC不平行，
∴∠EFC≠∠AEFM，
∵∠C＝∠AFE＝90°，
1
∴∠EFC＝∠AEF＝∠AED= ×180°＝60°，
3
∴∠FAE＝∠DAE＝∠FAB＝30°，
1 1
如图2，则BF= AF= AD，
2 2
√ 1 2 ❑√3 ❑√3
∴AB=❑√AF2−BF2=❑ AF2−( AF) = AF= AD，
2 2 2
显然，矩形ABCD是特殊矩形，与已知条件不符，
∴△EFC∽△AEF不成立，
故②错误；
∵AB＝9，DE＝5，
∴CD＝AB＝9，FE＝DE＝5，
∴CE＝CD﹣DE＝9﹣5＝4，
∴FC=❑√FE2−CE2=❑√52−42=3，
∵∠B＝∠C，∠AFB＝∠FEC＝90°﹣∠CFE，
∴△AFB∽△FEC，
AF AB 9
∴ = = = 3，
FE FC 3
∴AD＝AF＝3FE＝3×5＝15，
故③正确，
故选：B．78．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，
过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
5 5 5
A． B．1 C． D．
6 4 3
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，
∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
1 1
∴DF＝CF= DC＝3，CE＝BE= BC＝2，
2 2
∵EH∥CD，
∴FH＝BH，
∵BE＝CE，
1 3
∴EH= CF= ，
2 2
由勾股定理得：BF=❑√BC2+CF2=❑√42+32=5，
1 5
∴BH＝FH= BF= ，
2 2∵EH∥CD，
∴△EHG∽△DFG，
EH GH
∴ = ，
DF FG
3
2 GH
∴ = ，
3 5
−GH
2
5
解得：GH= ，
6
故选：A．
79．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝AB，且∠CAD＝2∠BDE，过E作EF∥BC，EF交
9
AD于点F，若AF＝4，CD＝5，S△ABD =
2
S
△EFD
，则DF的长 2 ．
【答案】2
【解答】解：作∠DAC的平分线AG，交CD于点G，如图，
1
则∠DAG＝∠CAG= ∠DAC，
2
∵∠CAD＝2∠BDE，
∴∠BDE＝∠DAG＝∠CAG．
∵EF∥BC，
∴∠FED＝∠BDE，
∴∠FED＝∠DAG＝∠CAG．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，BD＝AB，
∴BD＝CA．
在△BED和△CGA中，{
∠B=∠C
)
BD=CA ，
∠BDE=∠CAG
∴△BED≌△CGA（ASA），
∴DE＝AG，BE＝GC．
∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠ADG．
在△FED和△DAG中，
{∠EFD=∠ADG
)
∠FED=∠DAG ，
ED=AG
∴△FED≌△DAG（AAS），
∴DF＝DG，EF＝AD．
∵BD＝AB，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵EF∥BC，
∴∠EFA＝∠BDA，
∴∠EAF＝∠EFA．
∴EF＝EA，
∴EA＝AD．
设DF＝DG＝a，
∴BE＝CG＝CD﹣DG＝5﹣a，AE＝EF＝AD＝AF+DF＝4+a，
∴AB＝AE+BE＝9．
∴BD＝9，
S BD 9
∴ △ABD = = ，
S CD 5
△ACD
∵△BED≌△CGA，△FED≌△DAG，
∴S四边形BDFE ＝S△ADC ，
S 9
∴ △ABD = ．
S 5
四 边 形BDFE
设S△ABD ＝9k，则S四边形BDFE ＝5k，
∴S△AEF ＝4k，9
∵S△ABD =
2
S
△EFD
，
∴S△EFD ＝2k，
S AF
∴ △AEF = 2 = ，
S FD
△EFD
1
∴DF= AF＝2．
2
故答案为：2．
1
80．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE= CD，连接
2
▱
OE交BC于点F，若BC＝8，则CF＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：取CD中点G，连接OG，如图：
∵O为BD中点，G为CD中点，
∴OG为△BDC的中位线，
1
∴OG∥BC，且OG= BC＝4，
2
1
又∵CE= CD，CF∥OG，
2∴△ECF∽△EGO，
CF CE 1
∴ = = ，
OG EG 2
又OG＝4，
∴CF＝2，
故答案为：2．
81．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻
12
边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
5
12
【答案】
5
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC=❑√AC2+AB2=5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
CO OP′
∴ = ，
BC AB
2 OP′
∴ = ，
5 3
6
∴OP′= ，
5
12
∴则PQ的最小值为2OP′= ，
5方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC•AB＝BC•OP'，求得OP′，而其他部分的步骤共用．
12
故答案为： ．
5
82．如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于点F．
（1）求证△ABD≌△BCE；
（2）求证AE2＝EF•EB．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
在△ABD和△BCE中，
{
AB=BC
)
∠ABC=∠C ，
BD=CE
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（2）∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE+∠CBE＝∠BAF+∠EAF，
∵△ABD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠BAF，
∴∠ABE＝∠EAF，
∵∠AEF＝∠BEA，
∴△ABE∽△FAE，AE BE
∴ = ，
EF AE
∴AE2＝EF•EB．
83．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，
且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵△BDE∽△CEF，
BE DE
∴ = ，
CF EF
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
CE DE
∴ = ，
CF EF
∵∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE＝∠CFE，
∴FE平分∠DFC．84．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于
点K．
EF
①求 的值；
AK
②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，
直接写出正方形PQMN的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵EF∥BC，
AK EF
∴ = ，
AD BC
EF BC 12 3
∴ = = = ，
AK AD 8 2
EF 3
即 的值是 ．
AK 2
②∵EH＝x，
∴KD＝EH＝x，AK＝8﹣x，
EF 3
∵ = ，
AK 2
3
∴EF= (8−x)，
23 3 2
∴S＝EH•EF= x（8﹣x）=− (x−4) +24，
2 2
∴当x＝4时，S的最大值是24．
（2）设正方形的边长为a，
①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，
8−a 8
= ，
a 12
24
解得a= ．
5
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝12÷2＝6，
∴AB＝AC=❑√AD2+BD2=❑√62+82=10，
∴AB或AC边上的高等于：
AD•BC÷AB
＝8×12÷10
48
=
5
48 48
−a
∴ 5 5 ，
=
a 10
240
解得a= ．
49
综上，可得
24 240
正方形PQMN的边长是 或 ．
5 49
85．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边
且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并
证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=4❑√2，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°．
由正方形ADEF得AD＝AF，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD．
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．
∴CF⊥BC．
∴CF⊥BD．
（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∴AC＝AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD．
（3）如图①，当AB＜AC时，
过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得AC＝AG，∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
如图②，点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．
∴DQ＝4﹣x，△AQD∽△DCP，
CP CD
∴ = ，
DQ AQ
CP x
∴ = ，
4−x 4
x2
∴CP=− +x．
4
如图③，点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴AQ＝CQ＝4，
∴DQ＝4+x．
过A作AQ⊥BC，
∵CF⊥BD，
∴∠P+∠PDC＝90°，
∵∠PDC+∠ADQ＝90°，
∴∠ADQ＝∠P，
∵∠Q＝∠PCD＝90°，
∴△AQD∽△DCP，
CP CD
∴ = ，
DQ AQ
CP x
∴ = ，
4+x 4
x2
∴CP= +x．
486．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm
的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运
动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据勾股定理得：BA=❑√62+82=10；
（1）分两种情况讨论：
BP BQ
①当△BPQ∽△BAC时， = ，
BA BC
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
5t 8−4t
∴ = ，解得，t＝1，
10 8BP BQ
②当△BPQ∽△BCA时， = ，
BC BA
5t 8−4t 32
∴ = ，解得，t= ；
8 10 41
32
∴t＝1或 时，△BPQ与△ABC相似；
41
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
AC CQ
∴ = ，
CM MP
6 4t 7
∴ = ，解得t = ．
8−4t 3t 8
87．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边
作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点 C），其它条件不变，
（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，
以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，
并说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
{
AB=AC
)
∠BAM=∠CAN
AM=AN
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；
理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
{
AB=AC
)
∠BAM=∠CAN
AM=AN
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（3）解：∠ABC＝∠ACN；
理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，
∴底角∠BAC＝∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，AB AM
∴ = ，
AC AN
又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC＝∠ACN．
88．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与
正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．
（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ 2 7 °；
（2）证明：△AFC∽△AGD；
BF 1 FC
（3）若 = ，请求出 的值．
FC 2 FH
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC＝∠GAF＝45°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠HAG＝∠BAF＝18°，
∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，
∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，
故答案为：27．
（2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
AD ❑√2 AG ❑√2
∴ = ， = ，
AC 2 AF 2
AD AG
∴ = ，
AC AF∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
BF 1
（3）∵ = ，
FC 2
设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF=❑√AB2+BF2=❑√(3k) 2+k2=❑√10k，AC=❑√2AB＝3❑√2k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
AF FH
∴ = ，
AC CF
FC 3❑√2 3❑√5
∴ = = ．
FH ❑√10 5
考点四十五．相似三角形的应用（共1小题）
89．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F 的距离与焦点F 到凸透镜中心线DB
1 1
的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（ ）
4 2 3 2
A． B． C． D．
5 5 2 3
【答案】D
【解答】解：由题意得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO，
∴∠AHO＝∠BOH＝90°，
∵∠AF H＝∠BF O，
1 1
∴△AHF ∽△BOF ，
1 1
H F AH 3
∴ 1= = ，
OF BO 2
12
∴BO= AH，
3
2
∴CG= AH，
3
2
∴物体被缩小到原来的 ，
3
故选：D．
考点四十六．位似变换（共1小题）
90．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比
1
为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
3
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【答案】D
1
【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，
3
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
