文档内容
北师大版（2024）第四章《一次函数》4.2认识一次函数（2）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 认识一次函数（2） 课时 1
引导学生从数到形、从静到动、从具体到抽象的认知飞跃。要求学生不仅要“学会”知识，更
课标 要学会数学，掌握数形结合这一强大的思想武器，并能用它来分析和解决问题。
要求
《一次函数》是初中数学八年级上册的重要内容。从知识内容来说,本课是对一次函数的进一
步认识与提升，教材在编排上充分体现了从实际生活情境中抽象数学问题，通过实例从代数表
教材 达式的角度认识一次函数。从教材体系来说，之前学生已经掌握了变量之间的关系，初步体会
分析 了一次函数概念的基础之上的教学。通过本节课的学习可以培养学生函数思想和建模意识，为
之后探究一次函数图像、二次函数等奠定了扎实的基础。本课的知识起到了承前启后的作用，
也符合学生的认知规律。
就现阶段的学生而言，已经掌握了两个变量的关系，能列出变量间的关系表达式，但是
借助生活情境，正确将实际问题抽象为函数模型是有一定困难的，因此需要积极引导学生学习
学情 好的数学方法，进一步体会变量和函数之间的关系 更多说课稿因此在教学过程中教师要充分
分析 借助具体情境来激发学生学习兴趣的同时设置问题来引发学生思考，类比观察、探究规律，巧
妙地建立概念。
1、结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析
核心 式；
素养 2、掌握求函数值的的方法，初步体会一次函数与一次方程的联系。
目标 3、让学生体会数学来源于实践，反过来又指导实践进一步发展的辩证唯物主义思想。
教学 根据现实生活中的实例，写出一次函数的表达式。
重点
教学 一次函数的简单运用
难点
教学 课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 一次函数和正比例函数的表达式： 知识回顾 回顾知识，唤醒
一次函数：y=kx+b(k，b为常量，且K≠0） 记忆。
正比例函数y=kx(k为常量，且K≠0）
二、课前 写出下面现实生活中的函数关系式 完成检测题 检测上节课学生对
检测 1、某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升 一次函数的掌握情
高1 km 气温下降6 ℃．登山队员由大本营向上登高x 况，适当调整教学
km 时，他们所处位置的气温是 y ℃． 设计
y=5-6x
2、有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c
与温度 t（单位：℃）有关，且 c 的值约是 t 的7
倍与35的差；
3、一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法
是，以厘米为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是G 的值；
G=h-105
4、某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括
月租费 22 元和拨打电话 x min 的计时费（按 0.1
元/min收取）；
y=0.1x+22
5、把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，
宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．
y=50-5x（0≤x≤10）
观察上面5个一次函数的表达式，找出自变量、因变
量、K值、b值。
三、典例 一、用关系式表示自变量和因变量的关系 1、自学例题 通过例题1的学习
精析 例题1：在一次测试中，某汽车紧急刹车后,每过1s其 1，根据现实 使学生掌握根据现
速度减少35Km/h 生活中的实例 实生活中实例，根
(1)假设汽车以120Km/h的速度行驶，试写出该汽车刹 写出一次函数 据数量关系写出一
车后速度y(单位：Km/h)与刹车的时间t（单位：s)之 的解析式。 次函数的解析式，
间的函数关系式，y=kx+b,并说明K和b的含义。 2、独立完成 体会一次函数与一
解：刹车开始速度120Km/h，每1s速度减少35Km/h， 做一做。 元一次方程的关
经过t秒减少35tKm/h,所以y与t的关系式是y=120- 3、自学例题 系。
35t。其中b=120表示初始速度，k=-35表示每秒汽车 2根据自变量 通过例题2的学生
速度的变化量。 的取值范围， 掌握分档计费时由
（2）求汽车从刹车到停止所需的时间。 确定函数值。 于自变量的取值范
解：停止是速度是0，即y=0,代入y=120-35t中。 4、小组交流 围不一样，函数关
0=120-35t 讨论议一议 系式是不相同的，
35t=120 知道根据自变量的
t=3.43 取值范围来确定函
因此汽车从刹车到停止所需要的是剪是3.43s 数值。
做一做
某单位需租一辆45座的大客车，咨询了甲、乙两家出
租车公司，甲公司的计费标准：直接按里程算，每千
米15元；乙公司计费标准：除了每千米10元的里程
费用外，另收服务费200元（不足1千米按1千米计
算）
（1）假如该单位用车里程30Km,你建议租用哪个公司
的客车？
解：甲公司：15×30=450（元）
乙公司30×10+200=500（元）
所以租用甲公司的划算。
（2）假如该单位用车里程52Km,你建议租用哪个公司
的客车？
解：甲公司：15×52=780（元）乙公司52×10+200=720（元）
所以租用乙公司的划算。
（3）该单位用车里程多少Km时,两家租车公司的费用
相同？
解：甲公司费用：15t；乙公司费用10t+200
即15t=10t+200 解得t=40
所以租车里程40Km时两家公司的费用相同。
二、根据自变量的范围求相应的函数值
例题2、为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费
的方式收水费，下表是家庭人口不超过4人时户年用
水量及分档计费标准
计费档 户年用水量X/立方米 单价（元/立方
米）
第一档 0＜X 220 3.45
第二档 220＜X 300 4.83
第三档 X＞300 5.83
（1）当220＜x 300时，写出水费y(单位：元）与
用水量x（单位：立方米）的关系式
解：y=3.45×220+4.83×（x-220)
化简得Y=4.83X-303.6
（2）某户年用水量250立方米，求该用户这一年的水
费？
解：当x=250时
Y=4.83X-303.6=4.83×250-303.6=903.9（元）
（3）某户一年水费1000.5元，求该用户这一年的用
水量？
解：∵220×3.45=759
4.83×300-303.6=1145.4（元）
759＜x＜1145.4
所以该户的用水量是第二档。
即：1000.5=4.83x-303.6.求出x=270
所以该用户这一年的用水量是270立方米。
议一议
当x大于300时，写出水费y(单位：元）与用水量
（单位：立方米）的函数关系式？
解：∵220×3.45=759
4.83×（300-220）=386.4（元）
该户的用水量是第三档。
即：y=759+386.4+(x-300)×5.83
整理得y=5.83x-603.6三、小结
1、怎样求函数解析式？
结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式；
2、函数值的求法：
把自变量x的值代入一次函数的解析式中求出y值。
五、课堂 基础达标： 学生完成课堂 引导学生能够在课
练习 1．下列函数关系式：①y＝﹣2x， ② ， 作业。 堂练习的完成过程
③y＝﹣2x2，④y＝2，⑤y＝2x﹣ 1．其 中对要点知识加深
中是一次函数的是（ A ） 巩固，有效应用。
A．①⑤ B．①④⑤ C．②⑤ D．②④⑤
2．若函 数 是一次函数，则
m的值 为（ C ）
A．±1 B．0 C．-1 D．1
3．若 是一次函数，则m的值为（
B ）
A．0 B．-1 C．0或﹣1 D．±1
4．如 果是一次函数，那么
m的 值是（ B ）
A．2 B．-2 C．±2 D．±
5．若关于x的函 数是一次函
数，则m= 2 n= ≠ -1 ．
6．函数 中，当 满足
k≠﹣1 时，它是一次函数.
7．函数 是一次函数，则
3 .
8．新定义：[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c （a，b，c
为实数）的“关联数”．若“关联数”为[m-2，
m，1]的函数为一次函数，则m的值为 2 ．
能力提升：
9.我国自20l年9月1日起，个人工资、薪金所得税
征收办法规定：月收入不超过3500元的部分不收税；
月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的
所得税……如某人月收入 3860元，他应缴纳个人工
资、薪金所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）.
（1）当月收入超过3500元而又不超过5000元时，写
出应缴纳个人工资、薪金所得税y（元）与月收入x
（元）之间的关系式；
（2）某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪
金所得税多少元？（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2
元，那么此人本月工资薪金收入是多少元？
解：（1）y=(x－3500)×3%，即y=0.03x－105
（2）当 x=4160 时，y=0.03×4160－105=19.8
（元）
（3）∵（5000－3500）×3%=45（元），19.2＜
45，
∴此人本月工资、薪金收入不超过5000元。
即此人本月工资、薪金收入是4140元。
拓展迁移
10.把一长10cm，宽5cm的矩形的长减少x cm，宽不
变，矩形面积y（cm2）随x值的变化而变化.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）求当x=3时，矩形的面积；
（3）x为何值时，y=20？
解：（1）y=（10-x）×5=-5x+50
（2）x=3时，y=50－15=35（cm2）
（3）y=-5x+50=20，∴x=6
11.某种优质蚊香一盘长105cm，小海点燃后观察发现
每小时缩短10cm.
（1）写出点燃后的长度y（单位：cm）与点燃时间t
（单位：h）之间的函数关系式；
（2）5小时后，蚊香还有多长？
（3）该盘蚊香可使用多长时间？
解：（1）y=105－10t
（2）105－50=55（cm）
答：5小时后，蚊香还有55cm。
（3）105－10t=0
t=10.5
答：可用10.5小时
六、提升 适时小结，兴趣延伸 引导学生对本 引导学生从知识内
1、怎样求函数解析式？ 节课所学内容 容、研究方法以及
结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式； 进行总结。 运用过程三个方面
2、函数值的求法： 总结自己的收获，
把自变量x的值代入一次函数的解析式中求出y值 让学生全面把握本
3、一次函数与一元一次方程之间的联系。 节课的重点和难
点，并启发学生用
类比或迁移的方法
学习后续课程。板书设计 利用简洁的文字、
符号、图表等呈现
Y=kx+b
本节课的新知，可
一次函数 K,b为常数，k 0
以帮助学生理解掌
Y=kx 握知识，形成完整
正比例函数
K,为常数且 0
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1. 下列函数中，一次函数为 ( B )
习）
A. B. y=-2x+1 C. D.
2. 下列函数中，是正比例函数的是 ( A )
A. Y=-8x B. C. D. y=8x-4
3. 下列四个命题中，错误的是 ( C )
A. 正比例函数是一次函数 B. 反比例函数不是一次函数
C. 一次函数也是正比例函数
D. 如果 y 与 x+1 成正比例，则 y 与 x 的关系是一次函数
4. 下列变量之间的关系是一次函数的是 ( C )
A. 等边三角形的面积和它的边长B. 正方体的表面积和它的棱长
C. 匀速行驶的汽车，行驶的路程和行驶时间 D. 面积为 S 的长方形的长和宽
5. 若函数y=mx-2x+5 表示 x 的一次函数，则m ．
6. 已知函数y=x-m+1 是正比例函数，则 m= 1
7. 已知下列关系式：① y=2πx；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ （a为常数）；⑦ ；⑧ ．
其中 y 是 x 的一次函数有 ① ， ③ ， ④ ， ⑥ （填写关系式的序号，下同）；y 是 x
的正比例函数有 ① ；y 是 x 的常值函数有 ⑤ .
能力提升：
8、如图（单位：cm），规格相同的某种盘子整齐地摞在一起．
4个盘子 7个盘子
（1）设x个这种盘子摞在一起的高度为ycm，求y与x之间的关系式；
（2）求10个这种盘子摞在一起的高度．
【解析】4个盘子6cm,7个盘子9cm,摞在一起盘子边缘高度（9-6）÷（7-4）=1cm
盘子下半部分高度6-4=2，盘子摞在一起只是上半部分（边缘）增加下半部分不变，所以关系式是y=x+2；当x=10时，Y=X+2=10+2=12(cm)。
拓展迁移：
19.已知矩形周长为18，其中一条边长为x，设另一边长为y.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围.
解：(1)∵矩形周长为18，其中一条边长为x，设另一边长为y，
∴2(x+y)=18，则y=9﹣x；
(2)由题意可得：0＜9﹣x＜9，解得：0＜x＜9.
10.在等腰三角形ABC中，AB=AC，△ABC的周长是20，底边BC的长为y，腰长为x.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)当腰AC=8时，求底边BC的长.
(3)当底边长为5时，求腰长.
解：(1)由题意，得2x＋y=20，
∴y=－2x＋20.
(2)AC=8，即x=8.
把x=8代入y=－2x＋20，得
y=－2×8＋20=4.
∴底边BC的长为4.
(3)底边长为5，即y=5.
把y=5代入y=－2x＋20，得
－2x＋20=5，解得x=7.5.
∴腰长为7.5.
教学反思
