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第六章 数据的分析
6.2中位数与箱线图导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
知识与技能：理解中位数的概念及其在数据分析中的作用；掌握箱线图的绘制方法及如何从箱线图
中读取信息。
过程与方法：通过实际问题情境引入，让学生经历数据收集、整理、描述的过程，培养学生的统计
意识和数据分析能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作交流能力和批判性思维。
学习重点：掌握中位数、百分位数、四分位数概念，从箱线图中获取信息。
学习难点：运用箱线图分析数据分布。
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预习自测
一、知识链接
1、某公司员工月工资收入如下
经理：我公司员工收入很高，平均5400元。数据5400是这组数据的 数。
职员C：我的工资4800，在公司算中等收入。数据4800是这组数据的 数。
职员D：我们好几个人的工资都是4500元。数据4500是这组数据的 数。
应聘者：这个公司的收入到底怎样？
2、议一议：众数、平均数、中位数各有什么特点
众数、平均数、中位数都是描述数据 的统计量
① 存在性：平均数和中位数必然 且 ，众数可能 。
② 数据依赖性：平均数依赖 ，中位数仅依赖 ，众数依赖 的数据。
③ 极端值影响：平均数最敏感，中位数次之（仅在偶数个数据时可能受中间两数影响），众数完全
不受影响。
3、中位数
定义：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最 的一个数据（或 ）叫做这组数据
的中位数。
例：数据2，3，3，5，7，它们的中位数为 ；
数据2，3，3，5，7，8，它们的中位数为 。
中位数是刻画一组数据“ ”的一个代表
4、求中位数步骤
（1）排序 （2）判奇偶 （3）定中位数
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教学过程
探究1百分位数的计算
中位数是一组数据从小到大排列数据中占据50%位置的数，优点是简单，受极端数据的影响较小。
但仅有中位数不能完整反映数据的分布情况，为此，通常还可以找出其他百分位位置上的数据，
（处于p%位置上的数据称为第P百分位数，记为p%分位数，制作百分位数值表。它能更细致地反
映数据在整体中的分布情况，比如在身高数据中，可明确自己身高在同龄人中的位置。
下表是根据世界卫生组织的相关数据制作的14岁学生身高百分位数值表，你能读懂这张表吗？
能能判断自己的身高在同龄人中的大致位置吗？
探究2，四分位数的计算
在百分位数中，除了最大值和最小值外，我们尤为关注25%，50%、75%分位数，把一组数据分位
个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数（ ）、中位数（ ）、上四分位数，（
），如何计算一组数据的四分位数呢？同学之间互相交流。
例题：某市12月16日--31日每日的最高气温（单位：摄氏度）依次如下;
5 3 2 2 2 2 3 3 5 5 -2 -2 -5 -1 -1 -1
中位数（50%分位数）（2+2）÷2=2 即 =2C
下四分位数（25%分位数），前一半数据的中位数 [（-1）+（-1）]÷2=-1 即 =-1C
上四分位数（75%分位数），后一半数据的中位数 （3+3）÷2=3 即 =3C
【强调】怎样计算四分位数：
1、把这组数据从小到大排列
2、计算这组数据的中位数（ ）
3、下四分位：计算前一半数据的中位数（ ）
4、上四分位：计算后一半数据的中位数（ ）
探究3：箱线图
1、下面是全班40个同学1min跳绳的次数；
132，136，144，162，144，115，132，136，123，144，136，132，132，159，136，144，129，
136，139，153，123，133，144，137，152，138，136，129，129，134，138，149，125，128，
128，133，138，134，146，148。
求全班同学1min跳绳的最小值，下四分位数，中位数，上四分位数、最大值。
2、下面是有关40个同学1min跳绳的箱线图，
看图回答下列问题
①图中有5条横线：分别表示什么含义？
②中间长方形（箱子）被136分成两部分，上半部分比下半部分大，说明说明原因？
③估计一下这组数据的平均数大还是中位数大？
3、箱线图也可以表示为4、直方图与箱线图的比较
直方图的特点是能够显示各组频数分布的情况， 箱线图包括最大值、最小值、四分位数信息
易于比较各组之间频数的差异，并反映数据的 反映一组数据的分布情况，适应于多组数据
整
分布形态。 体分布情况的比较。
5、利用箱线图进行数据分析
下图是同一个班级两次1min跳绳成绩箱线图，两次跳绳成绩比较（填写下表）
最 小 中 位 最 大
值 数 值
第一次
第二次
结论：该班跳绳的成绩有所提升。
6、强调
（1）箱线图的特点：
箱线图包括最大值、最小值、四分位数信息。反映一组数据的分布情况，适应于多组数据整体分布情况的比较。
（2）上、下四分位数的计算
下四分位数；前一半数据的中位数；
上四分位数：后一半数据的中位数。
课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.某射击运动员在一次训练中，10次射击的成绩（环数）分别是：9.2, 9.5, 9.8, 10.0, 9.0,
9.6, 9.3, 9.7, 9.9, 9.4。这组数据的中位数是 环。
2.对于一组数据，其下四分位数（ ）、中位数（ ）、上四分位数（ ）将所有数据分成
了四个部分。每个部分包含的数据个数约占总数据个数的 %。
3.一组数据的上四分位数是85，下四分位数是60，则这组数据的四分位距（IQR）是 。
4.某班25名学生的身高数据（单位：cm）已按从小到大的顺序排列。已知第7名学生的身高是
160cm，第13名学生的身高是168cm，第19名学生的身高是175cm。则这组身高的中位数是
cm，下四分位数（ ）约是 cm，上四分位数（ ）约是 cm。
(提示：对于n=25， 的位置是第(n+1)÷4， 的位置是第3(n+1)÷4)
5.某小组8名同学的数学测试成绩如下（单位：分）：
85, 92, 78, 95, 88, 85, 90, 98
（1）求这组数据的平均数、中位数和众数。
（2）求这组数据下四分位数( )、上四分位数（ ) 。
能力提升：
6.甲、乙两名运动员在10次训练中的跳远成绩（单位：米）如下：
甲： 5.8, 5.9, 6.0, 6.1, 6.1, 6.2, 6.3, 6.3, 6.4, 6.5
乙： 5.5, 5.7, 5.9, 6.0, 6.1, 6.1, 6.2, 6.4, 6.7, 7.0
（1）分别计算甲、乙两组数据的五数概括（最小值、 、中位数、 、最大值）。
（2）在同一数轴上，绘制出甲、乙两名运动员跳远成绩的箱线图。（3）根据箱线图，比较两名运动员成绩的异同点（至少写出两点）。
拓展迁移：
7. 为了解A、B两个品种的小麦生长情况，农业技术员各抽取了 10株小麦，测量了它们的株高
（单位：cm），数据如下：
品种A： 45, 48, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 60, 65
品种B： 40, 42, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 58, 80
（1）计算两个品种小麦株高的中位数和平均数。
（2）计算两个品种小麦株高的四分位数 和 。
（3）一位技术员说：“品种B的平均高度更高，所以品种B的生长情况更好。” 你同意这个观点
吗？请结合中位数、四分位距和箱线图（可自行绘制或想象）的知识，从稳定性和异常情况等方面
进行分析，并说明理由。
四、总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1、一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）
叫做这组数据的中位数。中位数是刻画一组数据“中等水平”的一个代表（ ）
2、下四分位数；前一半数据的中位数；（ ）
3、上四分位数：后一半数据的中位数。（ ）
4、箱线图包括最大值、最小值、上下四分位数信息。反映一组数据的分布情况，适应于多组数据整体分布情况的比较。
五、【作业布置】
基础达标：
1、某公司8名员工的月薪（单位：元）分别为：4500, 4800, 5000, 5200, 5500, 5800, 6000,
20000。为了更真实地反映该公司员工的普遍收入水平，下列统计量中最合适的是（ ）。
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
2、在箱线图中，能反映数据离散程度，且不受极端值影响的部分是（ ）。
A. 上边缘 B. 中位数线 C. 箱体（四分位距 IQR） D. 下边缘
3、一组数据有15个数，已排序。下列说法不正确的是（ ）。
A. 第8个数是这组数据的中位数 B. 第7个数和第8个数的平均值是中位数
C. 第4个数是下四分位数 D. 第12个数是上四分位数
4、某小组9名同学的数学测验成绩如下（单位：分）：
78, 85, 92, 95, 98, 100, 100, 65, 88
(1) 求这组数据的平均数、中位数和众数。
(2) 如果去掉一个最低分65分，再求剩下8个成绩的平均数和中位数。
(3) 比较(1)和(2)的结果，说明极端值对平均数和中位数的影响。
能力提升：
5. 箱线图绘制与分析
为了解A、B两个工厂生产的同一种零件的直径稳定性，质检员各随机抽取了10个零件进行测量，
得到如下数据（单位：mm）：
A工厂： 20.1, 20.2, 20.3, 20.3, 20.4, 20.5, 20.5, 20.6, 20.7, 22.0
B工厂： 19.8, 19.9, 20.0, 20.1, 20.2, 20.3, 20.4, 20.5, 20.6, 20.7
(1) 分别计算A、B两厂数据的中位数、下四分位数、上四分位数和四分位距。
(2) 根据计算结果，在同一个数轴上绘制A、B两厂数据的箱线图。
(3) 根据箱线图，比较A、B两厂生产的零件直径的分布特征，并判断哪个工厂的生产过程更稳定。
请说明理由。拓展迁移：
6.实际应用与综合分析
某市连续15天记录了每日的PM2.5浓度（单位：μg/m³），数据如下：
35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120, 150
(1) 求这组数据的五数概括（最小值、 , , , 最大值）。
(2) 计算四分位距（IQR），并利用“1.5×IQR”法则判断这组数据中是否存在异常值。如果存在，
请指出是哪个（或哪些）。
(3) 剔除异常值后，重新计算剩余数据的五数概括，并绘制新的箱线图（草图即可）。
(4) 结合原始数据和剔除异常值后的分析，评价这15天该市的空气质量情况。
课堂作业参考答案：
基础达标：
1.9.552. 25%
3.25
4.168；160；175。
(提示：对于n=25， 的位置是第(n+1)÷4， 的位置是第3(n+1)÷4)
5.解析（1）：首先，将数据按从小到大的顺序排列：
78, 85, 85, 88, 90, 92, 95, 98
平均数：(78 + 85 + 85 + 88 + 90 + 92 + 95 + 98) ÷8 = 88.875 (分)
中位数= (88 + 90) ÷ 2 = 89 (分)
众数：数据中出现次数最多的数是85（出现了2次），众数= 85 (分)
（2）下四分位数是前半部分数据的中位数。前半部分数据为 78, 85, 85, 88。
=(85 + 85) ÷2 = 85 (分)。
上四分位数是后半部分数据的中位数。后半部分数据为 90, 92, 95, 98。
=(92 + 95) ÷2 = 93.5 (分)。
能力提升：
6.解(1)
甲： 最小值=5.8, =6.0, 中位数=6.15, =6.3, 最大值=6.5
乙： 最小值=5.5, =5.9, 中位数=6.1,
=6.55, 最大值=7.0
(2)甲跳远成绩的箱线图
5.8 6.0 6.1 6.3 6.5
乙跳远成绩的箱线图。
5.5 5.9 6.1 6.55 7.0
（3）相同点：
集中趋势相近：甲的中位数（6.15米）和乙的中位数（6.1米）非常接近，说明两名运动员成绩的
中间水平差不多。
都有较好的稳定性：从箱子的长度来看，甲的为0.3米，乙的为0.65米，说明甲的成绩中间50%更
集中，稳定性略好。但两者都没有特别离谱的极端值（在箱线图须线范围内）。
不同点：成绩的离散程度（波动性）不同：甲的箱线图整体更“紧凑”，箱子（IQR=0.3）和须线（范围
=0.7）都较短，说明甲的成绩波动小，表现非常稳定。乙的箱线图整体更“分散”，箱子
（IQR=0.65）和须线（范围=1.5）都较长，说明乙的成绩波动大，表现不够稳定。
成绩的分布范围不同：甲的成绩集中在5.8米到6.5米之间。乙的成绩范围更广，从5.5米到7.0米，
说明乙既有发挥失常的时候（5.5米），也有超常发挥的时候（7.0米）。
拓展迁移：
7.解：（1）计算中位数和平均数。
品种A：中位数 = (53 + 55) ÷2 = 54 cm
平均数= (45+48+50+52+53+55+56+58+60+65) ÷10 = 54.2 cm
品种B：中位数 = (53 + 54) ÷2 = 53.5 cm
平均数= (40+42+50+52+53+54+55+56+58+80) ÷ 10 = 54 cm
（2）品种A：
（前半段 45, 48, 50, 52, 53 的中位数）
= 50 cm
（后半段 55, 56, 58, 60, 65 的中位数）
= 58 cm
品种B：
（前半段 40, 42, 50, 52, 53 的中位数）
= 50 cm
（后半段 54, 55, 56, 58, 80 的中位数）
= 56 cm
（3）我不同意这个观点。理由如下：
从集中趋势看，品种A更优：
技术员只看到了平均数（A: 54.2 cm, B: 54.0 cm），两者几乎一样。但 中位数 是更能抵抗极
端值影响的集中趋势指标。品种A的中位数（54 cm）高于品种B的中位数（53.5 cm），这说明品
种A中大多数植株的高度要高于品种B。因此，从普遍水平来看，品种A的生长情况更好。
从稳定性和离散程度看，品种A远胜于品种B：
品种B的平均数被一个 异常值（80cm）严重拉高了。如果没有这个80cm的植株，品种B的平均数
会远低于品种A。这说明品种B的生长情况 极不稳定，大部分植株长势一般，但存在个别“疯长”
的特例。
从 箱线图 的角度看（可以想象），品种B的箱线图会有一个非常长的上须线，指向80cm，这明显是一个异常值。而品种A的数据分布则相对均匀和稳定。
虽然 四分位距 显示品种B（IQR=6cm）中间50%的数据比品种A（IQR=8cm）更集中，但这主要是
因为品种B的异常值“拉大”了整体范围，使得其 相对靠后。IQR在这里的参考价值需要结
合整体分布来看。品种A的整体分布（从最小值45到最大值65）比品种B（从最小值40到最大值
80）要 稳健得多。
结论：
评价一个品种的生长情况，不能只看平均数。一个稳定、普遍长势良好的品种（如品种 A）比一个
大部分长势一般、仅靠个别植株拉高平均数的品种（如品种 B） 更具推广价值和实际意义。因此，
品种A的生长情况更好。
课外作业参考答案：
基础达标：
1、B
2、C
3、B
4、解：(1) 求平均数、中位数和众数。
排序： 65, 78, 85, 88, 92, 95, 98, 100, 100
平均数： (65+78+85+88+92+95+98+100+100) ÷9 = 89 (分)
中位数： 共9个数据，中位数是第5个数，即 92 (分)。
众数： 100出现了2次，是出现次数最多的数，所以众数是 100 (分)。
(2) 去掉最低分65后，求平均数和中位数。
新数据： 78, 85, 88, 92, 95, 98, 100, 100
新平均数： (801 - 65) ÷8 = 92 (分)
新中位数： 共8个数据，中位数是第4和第5个数的平均值，
即 (92 + 95) ÷ 2 = 93.5 (分)。
(3) 比较与说明。
原平均数为89分，新平均数为92分，上升了3分。
原中位数为92分，新中位数为93.5分，上升了1.5分。
结论： 极端值（最低分65）对平均数的影响比对中位数的影响更大。当数据中存在极端值时，平
均数会向极端值的方向偏移，而中位数则相对稳定，更能反映数据的中间水平。
能力提升：
5.解：（1）
A工厂： 20.1, 20.2, 20.3, 20.3, 20.4, 20.5, 20.5, 20.6, 20.7, 22.0
最小值= 20.1 ，最大值= 22.0，
中位数( ) = (第5个数 + 第6个数) ÷2 = (20.4 + 20.5) ÷ 2 = 20.45下四分位数（ ）前一半数据的中位数 = 20.3
上四分位数（ ）后一半数据的中位数 = 20.6
四分位距=20.6-20.3=0.3
B工厂： 19.8, 19.9, 20.0, 20.1, 20.2, 20.3, 20.4, 20.5, 20.6, 20.7
最小值= 19.8 ，最大值= 20.7，
中位数( ) = (第5个数 + 第6个数) ÷2 = (20.2 + 20.3) ÷ 2 = 20.25
下四分位数（ ）前一半数据的中位数 = 20.0
上四分位数（ ）后一半数据的中位数 = 20.5
四分位距=20.5-20.0=0.5
(2) 绘制箱线图。
A厂箱线图。
20.1 20.3 20.45 20.6 22.0
B厂箱线图
19.8 20.0 20.25 20.5 20.7
(3) 比较与分析。
集中趋势： A工厂的中位数（20.45mm）略高于B工厂的中位数（20.25mm），说明A工厂生产的
零件直径整体上偏大。
离散程度：
A工厂的箱体长度（IQR=0.3）比B工厂的箱体长度（IQR=0.5）短，说明A工厂中间50%的数据更集
中，波动更小。
但是，A工厂存在一个明显的极端值（22.0mm），导致其数据范围（最大值-最小值）远大于B工
厂。这表明A工厂的生产过程偶尔会出现严重的偏离。
稳定性判断： B工厂的生产过程更稳定。
理由： 虽然A工厂中间大部分产品的直径更集中，但那个极端值（22.0mm）暴露了其生产过程存
在不稳定因素，质量控制可能存在漏洞。而B工厂的所有数据点分布都比较均匀，没有出现离群值，
整体表现更平稳、更可靠。稳定性不仅看中间部分的集中程度，更要看整个生产过程的可控性，B
工厂显然表现更好。
拓展迁移：
6.解：
(1) 求五数概括。数据排序：35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120, 150
最小值： 35 最大值： 150
中位数( )： n=15，位置是第(15+1)÷2=8个数，即 78。
位置是第(15+1)÷4=4个数，即 60。
位置是第3(15+1)÷4=12个数，即 90
2) 判断异常值。
计算四分位距；IQR： IQR = - = 90 - 60 = 30。
计算上下限：
下限= - 1.5 × IQR = 60 - 1.5 × 30 = 60 - 45 = 15。
上限= + 1.5 × IQR = 90 + 1.5 × 30 = 90 + 45 = 135。
判断： 数据中小于15或大于135的值为异常值。数据中150 > 135，所以 150是异常值。
（3）剔除异常值后，重新计算并绘图。
新数据： 35, 42, 55, 60, 68, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90, 95, 120 (共14个)
新五数概括：最小值= 35 最大值= 120
中位数( ) = (第7个数 + 第8个数) ÷ 2 = 76.5
= 第 (14+1)÷4 = 3.75 个数 ≈ 第4个数 = 60
= 第 3(14+1)÷4 = 11.25 个数 ≈ 第11个数 = 85
绘制新箱线图（草图）：
35 60 76.5 85 120
(4) 空气质量评价。
基于原始数据分析： 15天的PM2.5浓度中位数为78μg/m³，根据国家标准，这属于“轻度污染”
水平。但数据范围很大（35-150），且存在一个严重污染的异常值（150μg/m³，达到“重度污
染”），表明这期间空气质量波动剧烈，大部分时间处于不健康状态，并出现过非常糟糕的情况。
基于剔除异常值后分析： 剔除最糟糕的一天后，剩余 14 天的中位数降至 76.5μg/m³，也从90降到85，说明整体污染水平略有下降。IQR变为25，数据相对集中了一些。但最大值仍
有120，表明即使在没有极端值的日子里，也出现过“中度污染”的情况。
综合评价： 总体来看，这15天该市的空气质量不容乐观。虽然大部分时间的 PM2.5浓度集中在
60-85之间（轻度污染），但污染水平波动较大，且频繁出现中度甚至重度污染天气。这表明该市
在监测期间可能受到了不利气象条件或污染源排放增加的影响，空气质量不稳定，对市民健康构成
潜在威胁。相关部门需要关注并采取措施以改善空气质量。
