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微专题 5 导数中函数的构造问题
高考定位 导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出
现，通过已知等式或不等式的结构特性构造新函数，解决比较大小、解不等式、
恒成立问题.
【真题体验】
1.(2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则( )
A.c>b>a B.b>a>c
2.(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则( )
A.a4f(2)的解集为( )
A.(0，4) B.(2，＋∞)
C.(4，＋∞) D.(0，2)
考向2 利用f(x)与ex构造
例2 (2024·贵阳模拟)已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)
－2f(x)<0，f(0)＝1，则下列不等式成立的是( )
A.e2f(－1)<1 B.f(1)>e2
C.fef
考向3 利用f(x)与sin x，cos x构造
例3 (2024·南昌质检)已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(其
中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )
A.f(0)>f B.f2f D.f0，若a＝
6f(2)，b＝4f(3)，c＝3f(4)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.b>c>a
(2)(2024·湖南师大附中、长沙一中联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′
(x)>0在R上恒成立，则不等式e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)的解集是________.
热点二 根据数值特征构造函数
根据数值特征构造函数的类型：
(1)构造相同的函数，利用其单调性解决问题；
(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值确定大小.
例4 (1)已知a＝2ln －，b＝2ln －，c＝2ln －，则( )A.a0，其中f′(x)为f(x)的导
数，设a＝f(0)，b＝2f(ln 2)，c＝ef(1)，则( )
A.c>b>a B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
2.已知实数a，b，c∈R，则a＝，b＝，c＝的大小关系为( )
A.a0，
若a＝f，b＝0，c＝－f，则a，b，c的大小关系是( )
A.ab>c B.c>a>b
C.c>b>a D.a>c>b
5.(2024·南充模拟)设定义在 R 上的函数 y＝f(x)满足任意 x∈R，都有 f(x＋4)＝
f(x)，且当x∈(0，4]时，xf′(x)>f(x)，则，f(2 025)，的大小关系是( )
A.f(2 025)<<
B.0，其中
f′(x)为f(x)的导数，设a＝f(0)，b＝3f(ln 3)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是(
)
A.c>b>a B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
8.已知a，b，c∈(1，＋∞)，且a－ln a－1＝e－1，b－ln b－2＝e－2，c－ln c－4
＝e－4，其中e是自然对数的底数，则( )
A.a0，＝，则下列关系式正确的是( )
A.f(1)e2f(0)
C.f(3)>e3f(0) D.f(4)πe B.－ln 0.9<
C.5sin <1 D.sin <
三、填空题
12.(2024·广州测试)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数为 f′(x)，若xf′
(x)－1<0，f(e)＝2，则关于x的不等式f(ex)cos x.若f(t)－sin tb>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
答案 A
解析 设f(x)＝cos x＋x2－1，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝－sin x＋x>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则f>f(0)＝0，
所以cos －>0，所以b>a，
因为＝4tan ，
因为当x∈，sin x，即>1，所以c>b.
2.(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则( )
A.a0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
∴f(0.1)0，∴g(x)在上为增函数，
∴g(0.1)>g(0)，∴0.1e0.1＋ln 0.9>0，∴a>c.
综上，b>a>c.
3.(2021·全国乙卷)设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝－1，则( )
A.a，
∴f′(x)＝－＝<0，
∴f(x)在(0，1)上单调递减，
∴f(x)0，
∴g(x)在(0，2)上单调递增，
∴g>g(0)＝0，
即2ln －＋1>0，
即a>c③；
结合①②③得a>c>b，故选B.
【热点突破】
热点一 根据导数运算构造函数抽象函数的构造技巧
已知函数 构造函数
f(x)＋f′(x) g(x)＝exf(x)
f(x)－f′(x) g(x)＝
f(x)＋xf′(x) g(x)＝xf(x)
f(x)－xf′(x) g(x)＝
nf(x)＋f′(x) g(x)＝enxf(x)
nf(x)－f′(x) g(x)＝
nf(x)＋xf′(x) g(x)＝xnf(x)
nf(x)－xf′(x) g(x)＝
＋f′(x)ln x g(x)＝f(x)ln x
－f′(x)ln x g(x)＝
(ln a)f(x)＋f′(x) g(x)＝axf(x)
(ln a)f(x)－f′(x) g(x)＝
f′(x)cos x－f(x)sin x g(x)＝f(x)cos x
f′(x)sin x＋f(x)cos x g(x)＝f(x)sin x
f(x)＋f′(x)tan x g(x)＝f(x)sin x
f′(x)－f(x)tan x g(x)＝f(x)cos x
考向1 利用f(x)与x构造
例 1 (2024·天津八校联考)已知定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)满足 2xf(x)＋x2f′
(x)<0，则关于x的不等式x2f(x)>4f(2)的解集为( )
A.(0，4) B.(2，＋∞)
C.(4，＋∞) D.(0，2)
答案 D
解析 由题意，令g(x)＝x2f(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴g(x)>g(2)，∴原不等式的解集为(0，2)，故选D.
考向2 利用f(x)与ex构造
例2 (2024·贵阳模拟)已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)
－2f(x)<0，f(0)＝1，则下列不等式成立的是( )
A.e2f(－1)<1 B.f(1)>e2
C.fef答案 C
解析 设g(x)＝，
则g′(x)＝＝，
因为f′(x)－2f(x)<0在R上恒成立，
所以g′(x)<0在R上恒成立，
故g(x)在R上单调递减，
所以g(－1)>g(0)，
即＝e2f(－1)>＝1，故A不正确；
所以g(1)g(1)，即>，即f(1)0(其
中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )
A.f(0)>f B.f2f D.f0，
故函数F(x)在上单调递增.
由F(0)F得>，
即f>f，排除B.
由F(0)0，若a＝
6f(2)，b＝4f(3)，c＝3f(4)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.b>c>a
(2)(2024·湖南师大附中、长沙一中联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′
(x)>0在R上恒成立，则不等式e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)的解集是________.
答案 (1)C (2)
解析 (1)令g(x)＝⇒g′(x)＝，
由已知可得x∈(0，4]时，
g′(x)>0 g(x)＝单调递增，
所以<<
⇒
6f(2)<4f(3)<3f(4)，
即C正⇒确.
(2)法一 令g(x)＝exf(x)，
则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
所以g(x)在R上单调递增，
不等式e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)，即g(2x＋1)>g(3－x)，
所以2x＋1>3－x，得x>.
所以不等式的解集是.
法二 设f(x)＝ex，则不等式e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)可化为e4x＋2>e6－2x，
即4x＋2>6－2x，得x>.故填.
热点二 根据数值特征构造函数
根据数值特征构造函数的类型：
(1)构造相同的函数，利用其单调性解决问题；
(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值确定大小.
例4 (1)已知a＝2ln －，b＝2ln －，c＝2ln －，则( )
A.a0，f(x)在(0，1)上单调递增，
所以f0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，
当且仅当x＝0时，等号成立，
所以ex>x＋1(x≠0).
则＝e>＋1＝＝>0，所以b0得x>0；
由h′(x)<0得－10时，有h(x)≥h(0)＝0，
所以h>0，即c－a>0，则c>a，
所以b0)，sin x，∴fg(1)＝0，∴a>c.
综上，c2.72＝7.29>2π，所以a－b>0，所以a>b.
记f(x)＝x－sin x(x∈)，
则a－c＝f(0.1)，f′(x)＝－cos x，
当x∈时，因为函数y＝cos x单调递减，
所以cos x>cos ＝，
又<≈0.67<，所以f′(x)<0，
即函数f(x)单调递减，
所以f(x)<×0－sin 0＝0，
故f(0.1)<0，即a0，其中f′(x)为f(x)的导
数，设a＝f(0)，b＝2f(ln 2)，c＝ef(1)，则( )
A.c>b>a B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
答案 A
解析 令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0.
∴g(x)在R上单调递增，
又01，
则f′(x)＝<0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
而2<3<4，故>>，
又因为4>ln 4>0，则>，则a>b>c.
3.设函数f′(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f′(x)cos x－f(x)sin x>0，
若a＝f，b＝0，c＝－f，则a，b，c的大小关系是( )
A.a0，所以g′(x)>0，
所以g(x)在(0，π)上是增函数，
a＝f＝fcos ＝g，
b＝0＝fcos ＝g，
c＝－f＝fcos ＝g，
因为<<，所以ab>c B.c>a>b
C.c>b>a D.a>c>b
答案 D
解析 a＝sin >sin ＝＝c，
设f(x)＝ln x＋1－x，x>1，
则f′(x)＝<0，
故f(x)在(1，＋∞)上为减函数，
故f(x)1)，
所以b＝ln <－1＝c，故a>c>b，故选D.
5.(2024·南充模拟)设定义在 R 上的函数 y＝f(x)满足任意 x∈R，都有 f(x＋4)＝
f(x)，且当x∈(0，4]时，xf′(x)>f(x)，则，f(2 025)，的大小关系是( )
A.f(2 025)<<
B.0，
所以F(x)在区间(0，4]上单调递增，
所以F(1)tan x，
所以当x＝时，>tan ，故c>a；
令f(x)＝tan x－x，x∈，
f′(x)＝′－1＝－1＝－1，
当x∈时，因为cos2x<1，即f′(x)>0，
所以f(x)＝tan x－x在x∈单调递增，
所以f(x)>f(0)＝0，即tan x>x，
因为＝>1，所以>，即tan >，
故tan >>tan ，即b>c>a.
7.(2024·汉中模拟)已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f′(x)＋f(x)>0，其中
f′(x)为f(x)的导数，设a＝f(0)，b＝3f(ln 3)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是(
)
A.c>b>a B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
答案 D
解析 令g(x)＝exf(x)，
则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，
因为f′(x)＋f(x)>0，而ex>0恒成立，
所以g′(x)>0，
所以g(x)在定义域上是增函数，又0<1＝ln ec>a.
8.已知a，b，c∈(1，＋∞)，且a－ln a－1＝e－1，b－ln b－2＝e－2，c－ln c－4
＝e－4，其中e是自然对数的底数，则( )
A.a0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(1)1时，g′(x)>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又因为a，b，c∈(1，＋∞)且g(a)0，＝，则下列关系式正确的是( )
A.f(1)e2f(0)
C.f(3)>e3f(0) D.f(4)0，所以当x>1时，F′(x)>0，F(x)在(1，＋∞)
上单调递增；当x<1时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，1)上单调递减.
＝⇔F(2－x)＝F(x)，
所以F(x)的图象关于直线x＝1对称，
从而F(1)F(0)，即>，所以f(3)>e3f(0)，故C正确；
对于D，F(4)>F(0)，即>，所以f(4)>e4f(0)，故D错误.
10.已知a＞0，b＞0，abea＋ln b－1＝0，则( )
A.ln b＞ B.ea＞
C.a＋ln b＜1 D.ab＜1
答案 BCD
解析 对于A，取b＝1，则aea＝1，构造函数f(x)＝xex，
则f′(x)＝(x＋1)ex＞0(x＞0)，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(0)＝0，所以存在x＞0，使得f(x)＝1，
所以aea＝1有解，
因为ln b＝0，＞0，故A错误；
对于B，abea＋ln b－1＝0变形得aea＝ln ＋＞ln ＝(ln )eln ，
由A知f(x)＝xex在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(a)＞f(ln )，
故a＞ln ，ea＞，故B正确；
对于C，由B知bea＞1，所以1－bea＜0，
对abea＋ln b－1＝0变形得bea＋＝0，bea>1，所以1＋＜0，
所以a＋ln b＜1，因此C正确；
对于D，对abea＋ln b－1＝0变形得ab＝＞0，
所以ab－1＝－1，由B知b＞，
所以－1＜b(1－ln b)－1＝b(1－－ln b)，
易知ln x≥，所以1－－ln b≤0，因此ab－1＜0，ab＜1，故D正确.
11.(2024·曲靖模拟)下列不等式正确的是( )
A.eπ>πe B.－ln 0.9<
C.5sin <1 D.sin <
答案 ABC
解析 对于A，令f(x)＝，
则f′(x)＝，
当x>e时，f′(x)<0，则函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，
因为π>e，则f(π)0时，g′(x)＝>0，
即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以g＝－ln >g(0)＝0，
即>ln ＝－ln 0.9，B正确；
对于C，令h(x)＝x－sin x，00对任意的x∈(0，1)恒成立，
所以函数h(x)在(0，1)上为增函数，
因为∈(0，1)，
则h＝－sin >h(0)＝0，
所以5sin <1，C正确；
对于D，令p(x)＝sin x－x＋，0h(0)＝0对任意的x∈(0，1)恒成立，
所以函数q(x)在(0，1)上单调递增，则p′(x)＝q(x)>q(0)＝0，则函数p(x)在(0，1)
上单调递增，因为∈(0，1)，则p＝sin －＋＝sin －>0，即sin >，
又因为－＝>＝>0，即sin >>，D错误.
三、填空题
12.(2024·广州测试)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数为 f′(x)，若xf′
(x)－1<0，f(e)＝2，则关于x的不等式f(ex)e，得x>1，
∴关于x的不等式f(ex)a>c
解析 令函数f(x)＝x－sin x，x>0，
则f′(x)＝1－cos x≥0恒成立，故函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数，
所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
则f(0.9)＝0.9－sin 0.9>0，
于是0.9>sin 0.9，即b>a；
当x∈时，x－∈，
则y＝sin x－cos x＝sin>0，
所以sin x>cos x，
而<0.9<，
于是sin 0.9>cos 0.9，即a>c.
综上，b>a>c.
14.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x)，对任意的 x∈R，有 f(x)－sin x＝f(－x)－
sin(－x)，且在[0，＋∞)上，f′(x)>cos x.若f(t)－sin tcos x，
所以g′(x)＝f′(x)－cos x>0，
故g(x)在[0，＋∞)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(－∞，0)上单
调递减，
又f(t)－sin t0，解得t<.
