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2020 年自贡中考数学
满分：150分 时间：120分钟
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
a 1
1. 如图， ∥ ， ，则 的度数为 （）
b
2
A.40° B.50° C.55° D.60°
【解析】两平行线同位角相等，再根据对顶角相等即可得到答案.故答案为B
2.5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进
入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受“天下第一灯”的璀璨，人数700000用
科学记数法表示为
（ ）
A. B. C. D.
【解析】根据科学记数法规定 ，要求 ，可得C为正确选项.
3.如图所示的几何体的左视图是
（ ）
A B C D
【解析】根据左视图为，从左往右观看直观图，左视图左边反应空间体后边，左视图右边
反应空间体前边，故答案为B4.关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为
（ ）
A. B. C. D.
【解析】一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于0可得，
，得 ，故答案为A
5.在平面直角坐标系中，将点 向下平移3个单位长度，所得点的坐标是
（ ）
B. C. D.
A.
【解析】点的平移规律为上加下减，左减右加，可得横坐标不变，纵坐标减3，故答案为D
6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
（ ）
A B C D
【解析】根据轴对称和中心对称的定义，故答案为A
7.对于一组数据 ，下列说法正确的是
（ ）
A. 中位数是5 B. 众数是7 C. 平均数是4 D. 方差是3
【解析】将数据按从小到大排列为 ，平均值 ，众数是3，中位数为3，方差为 ，故答
案为C
8.如果一个角的度数比它补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是
（ ）
A. 50° B. 70° C. 130° D. 160°
【解析】设这个角为 ，其补角为 ，根据题意可得
解之得 ，故答案为C
A
D
9.如图，在 △ 中， ,以点 为圆心，
长为半径画弧，交 于点 ,连接 ;则 的度数为 （ ） C B
A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
【解析】∵∠A=50°，可得∠B=40°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC，
∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=70°，∴∠ACD=90°-70°=20°，故答案为D
10.函数 与 的图象如图所示，则 的大致图象为
y
y y y y
（ ）
x
O x x x x
O O O O
A B C D【解析】∵反比函数过一三象限，∴ ，由二次函数图象可得 ，所
以一次函数应该经过第一、二、三象限，故答案为D.
11.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天
的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化
的面积为 万平方米，则下面所列方程中正确的是
（ ）
B.
A.
D.
C.
【解析】由题意可得原计划的工作效率为 ，所以原计划的工作时间为
，实际的工作时间为 ，所以原计划的时间减去实际的时间为
40天可得，答案为A
12.如图，在平行四边形 中， , 是锐角， 于点 ,
是 的中点，连接 ；若 ,则 的长为 A D
（ ）
F
B.
A.
B E C
C. D.
【解析】延长EF，DA交于G，连接DE，可得△AFG≌△BFE，设 ，则 ，可得DF是线段GE的垂直平分线，∴ ，在Rt△GAE中，
在Rt△AED中， ，所以 ，解得 ，∴
，故答案为B
第Ⅱ卷 非选择题 （共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图
题
可先用铅笔绘出，确认后用0.5毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
二.填空题(共6个小题，每题4分，共24分)
13. 分解因式： = .
【解析】提公因式得 ，然后再使用完全平方差公式可得
14.与 最接近的自然数是 .
，可得 ，∴ ，∵14接近16，∴ 更靠近
4，故 最接近的自然数是2
15.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢
迎菜品”的调查统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序 （只填番
号）
.
①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品的数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的统计图；
④.整理所收集的数据.
【解析】先收集，再整理，再分析，最后得到结论，故答案为②④①③16.如图，我市在键高铁的某段路基横断面为梯形 ， ∥ , 长为6米，坡
角 为45°， 的坡角 为30°，则 的长为 米 （结果保留根号）
A D
D C E O G
α β B F C
A B 17题图
16题图
【解析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，∴CE= ，∴DF=CE= ，∴
17.如图，在矩形 中， 是 上的一点，连接 ,将△ 进行翻折，恰好使
点 落在 的中点 处，在 上取一点 ，以点 为圆心， 的长为半径作半圆
与 相切于点 ;若 ,则图中阴影部分的面积为 .
【解析】连接OG、OM，设圆的半径为r，∵CD是圆的切线，∴OG⊥CD，∴△DOG∽△DFC，
∴ ，由翻折可得DF=DA=4，∵CF=BF=2，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴∠ODG=30°，∴∠DFC=∠FOM=60°，△OFM是等边三角形，
∴∠DOM=120°，∴y
18.如图， 直线 与 轴交于点 ，与双曲
D
1
D
2D
3
线 在第三象限交于 两点，且 ; x
O E E E
1 2 3
C
下列等边三角形△ ，△ ，△ ,……
B
的边 , , ,……在 轴上，顶点 A
……在该双曲线第一象限的分支上，则 = ， 前25
个等边三角形的周长之和为 .
【解析】设 ，设直线与 轴的交点为H，∴H（ ），又A（0，
b），∴tan∠HAO= ，∴∠HAO=30°，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM= ， ，
∴AB=- ，AC= ，∴ ，联立 得到
。
∴ ，由已知可得 ，∴ ，∴反比例函数的解析式为 ，
过 分别向 轴作垂线，可得△ 的边长为4，△ 的边长为
，△ 的周长为 ，△ 的边长为
∴前25个等边三角形的周长之和为
=60三.解答题(共8个题，共78分)
19.（本题满分8分） 计算： .
1
2−1+ =1−6=−5
1
1
(− )
6
【解析】
20.（本题满分8分）先化简，再求值： ，其中 为不等式组
的整数解.
x+1 x+2 1
⋅ =
【解析】化简得
(x+2)(x−2) x+1 x−2 ；解不等式组可得−1≤x<1
1 1
=−
∵ x+1≠0 ，即 x≠−1 ，且x为整数，∴ x=0 ，代入 x−2 2
21.（本题满分8分）如图，在正方形 中，点 在 边的延长线上，点 在
F
A D
边的延长线上，且 ,连接 和 相交于点 .
M
求证： .
B C E
【解析】证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°
又∵CE=DF，∴CE+BC=DF+CD即BE=CF
在△BCF和△ABE中
BE CF ABE=∠BCF AB BC
{
= ¿
{∠
¿
{
= ¿¿¿¿
∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF22.（本题满分8分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“ :
文明礼仪； ：环境保护； ；卫生保洁； :垃圾分类 ”四个主题，每个学生选一个主
题参与；为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制
了如下条形统计图和扇形统计图.
D A
m%
C
B
20%
⑴.本次调查的学生人数是 人， = ；
⑵.请补全条形统计图；
⑶.学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动，如果小张同学随机选择连续两
天，其中有一天是星期一的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其
余四天中随机选择两天，其中一天是星期三的概率是 .
18
=30%
【解析】（1）
12÷20%=60
，∴本次调查的学生人数为60人，
60
，故m=30
（2）
（3）星期一到星期五连续的两天为（星期一、星期二），（星期二、星期三），（星期三、
星期四），（星期四、星期五）共4种情况，符合题意的只有（星期一、星期二）这一种
1
4
情况，故概率为 ；在星期一到星期四任选两天的所有情况如下：（星期一、星期二），
（星期一、星期三），（星期一、星期四），（星期二、星期三）、（星期二、星期四），
（星期三、星期四）共6种情况，其中有一天是星期三的情况有：（星期一、星期三），
3 1
=
6 2
（星期二、星期三），（星期三、星期四）共3种情况，所以概率是23.（本题满分10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，
为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购
物中超过100元后的价格部分打8折.
⑴.以 （单位：元）表示商品原价， （单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场
的让利方式写出 关于 的函数关系式；
⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？；
【解析】（1）
y
甲
=0.9x，(x≥0)
；当在乙商场购买商品未超过100元
x≤100
时，乙商场
y =x
按照原价售卖，即 乙 ；当在乙商场购买物品超过100元时，超过部分按8折，
y =100+(x−100)×0.8 y=0.8x+20
∴ 乙 ，化简得 ；
y =¿{x,0≤x≤ 100 ¿¿¿¿
y =0.9x 乙
∴ 甲 ；
（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以
甲商场购物更加划算；
当购买商品原价超过100元时，
若
0.8x+20>0.9x
，即
x<200
此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；
若
0.8x+20=0.9x
，即
x=200
，此时甲乙商场购物花费一样；
若
0.8x+20<0.9x
，即
x>200
时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；
综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等
于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙
商场更划算.
24.（本题满分10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；
数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式 的几何意义是数轴上 所对
应的点与2所对应的点之间的距离；因为 ，所以 的几何意义就是
数轴上 所对应的点与 所对应的点之间的距离.
⑴. 发现问题：代数式 的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点 分别表示的是 ， .
A P B
–4 –3 –2 –1 0 x 1 2 3 4∵ 的几何意义是线段 与 的长度之和
∴当点 在线段 上时， ;当点点 在点 的左侧或点 的右侧时
∴ 的最小值是3.
⑶.解决问题：
①. 的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
③.当 为何值时，代数式 的最小值是2.
【解析】（3）①设A表示4，B表示-2，P表示x∴线段AB的长度为6，则
|x−4|+|x+2|
的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值6
②设A表示-3，B表示1，P表示x，∴线段AB的长度为4，则
|x+3|+|x−1|
的几何意义表示为PA+PB，∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，∴P不能
在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，即不等式的解集为
x<−3
或
x>1
|−a−3| |x+a|+|x−3|
③设A表示-a，B表示3，P表示x，则线段AB的长度为 ， 的几
|−a−3|=2
何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，∴
∴
a+3=2
或
a+3=−2
，即
a=−1
或
a=−5
；
25.（本题满分12分）如图，⊙ 是△ 的外接圆， 为直径，点 是⊙ 外一点，
且 ,连接 交 于点 ,延长 交⊙ 于点 .
⑴.证明： = ;
⑵.若 ,证明: 是⊙ 的切线；
⑶.在⑵的条件下，连接 交⊙ 于点 ,连接 ;若 ，求 的长.
C B
【解析】证明：（1）如图，连接CO
E
在△PCO和△PAO中
P F
D O
ACO AO PO PO
{ {
= ¿ = ¿¿¿¿
∴△PCO≌△PAO（SSS）
∴∠CPO=∠APO，即PO为∠APC的角平分线，
∵PA=PC，∴CD=AD，PF⊥AC
∵AC为⊙O的弦，PF过圆心O
∴F为优弧 中点
∴ =
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，且弦AB所对圆周角为∠ACB
2√2 1
2√2 3 3
∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC= ，∴sin∠ABC= ，cos∠ABC=
2r 4√2r
3 3
设⊙O的半径为r，则AB=2r，∴BC=ABcos∠ABC= ，AC=ABsin∠ABC=
1
OD= √CO2 −CD2 = r
3 √2 2√2r
∴ ，∵PA=PC= AB，∴PA=PC=
8
PD= √PA2 −AD2 = r
3
∴ ，∴PO=PD+OD=3r
∴
PA2 +AO2 =PO2
，即PA⊥OA，又∵OA是⊙O半径
∴PA是⊙O的切线；
2
BC= r=2
（3）由（2）可得
3
，∴
r=3
PB= √PA2 +AB2 = √8r2 +4r2 =2√3r
在Rt△PBA中， ，连接AE，可得∠AEB=90°
PE PA
=
PA PB
∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，∴△PEA∽△PAB，∴
4√3
PE= r
3
∴ ，过E作EN⊥PD于N，过B作BH⊥PF于H，如图所示2√2
r
3
∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，∴四边形BCDH是矩形，∴BH=CD=
2√2
r
BH 3 √6
= =
PB 2√3r 9
在Rt△BPH中，sin∠BPH= ，
EN 4√2 20
EN= r PN= √PE2 −EN2 = r
PE 9 9
在Rt△PEN中，sin∠BPH= ，∴ ，∴
8 20 4
r− r= r
3 9 9
∴ND=PD-PN= ，
4√3
√ND2 +EN2 = r
9
在Rt△NED中，DE=
4√3
∵
r=3
，∴DE=
3
26.（本题满分14分）
在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于 、 ，交
轴于点 ，点 抛物线的顶点，对称轴与 轴交于点 .
⑴.求抛物线的解析式；
⑵.如图1，连接 ,点 是线段 上方抛物线上的一动点， 于点 ；过
点 作 轴于点 ,交 于点 .点 是 轴上一动点，当 取最大值时.
①.求 的最小值；
②.如图2， 点是 轴上一动点,请直接写出 的最小值.
y y
M M
E E
F N F N
D D
P Q
A H C O B x A H C O B x
图1 图2y=ax2 +bx+3
【解析】（1）将A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数 得
{9a−3b+3=0¿¿¿¿ {a=−1¿¿¿¿
y=−x2 −2x+3
解之得 ，∴二次函数的解析式为
y=−x2 −2x+3 y=−(x+1) 2 +4
（2）①将二次函数 配方得 ，∴M（-1,4）
设直线AM的解析式为
y=px+q
，将
A(−3,0),M(−1,4)
代入直线可得
{−3p+q=0¿¿¿¿ {p=2¿¿¿¿
y=2x+6
解得 ，∴直线AM的解析式为
l y=2x+m
过E作直线 ，平行于直线AM，且解析式为 ，∵E在直线AM上方的抛物线上，
−3BD
当P、B、D三点共线时，
PB+PD=BD
∴当P、B、D三点共线时PC+PD取得最小值，
√DH2 +BH2 =√13
在Rt△BHD中。DH=2，BH=3，∴BD=
∴
PC+PD
的最小值为
√13
；
②过Q作直线平行于x轴，并在y轴右侧该直线上取一点G，使得
1 1
OQ DQ+ OQ=DQ+QG
4 4 D,Q,G
QG= ，∴ ，当 三点共线时
1
G( y,y)
4
DQ+QG取得最小值，设Q（0，y），则
∵QG∥x轴，∴
y
D
=y
G
=y
Q
=2
，∴
y=2
1 5 5
DQ+ OQ y=
4 4 2
∴ 的最小值为
