文档内容
第 07 讲 端点效应
（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用
（2 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
证明函数的对称性
利用导数证明不等式
2024年新I卷，第18题,17分 端点效应
利用导数研究不等式恒成立问题
利用不等式求取值范围
求已知函数的极值
2023年全国甲卷理数，第21题,12分 端点效应
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数求函数的单调区间（不含参）
2023年全国甲卷理数，第21题,12分 端点效应
利用导数研究不等式恒成立问题
用导数判断或证明已知函数的单调性
2021年全国甲卷文数，第20题,12分 端点效应
利用导数研究不等式恒成立问题
用导数判断或证明已知函数的单调性
2021年全国Ⅰ卷理数，第21题,12分 端点效应
利用导数研究不等式恒成立问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能求解含参不等式的基本问题
3能利用端点效应解决含参不等式恒成立问题
【命题预测】求解含参不等式恒成立问题中参数的取值范围是高考中的常考题型，解决这类问题的基本方
法有三种: 1.分离参数、构造函数求参数取值范围；2.构造含参函数，通过讨论参数取值范围将问题转化为
求函数最值问题；3.通过所构造函数在定义域端点处满足的条件，缩小参数的取值范围，求出使不等式恒
成立的必要条件，再证明充分条件，得出参数的取值范围，即所谓的“端点效应”，其中端点效应需要学
生重点复习掌握，也是高考热点问题知识讲解
1. 端点效应的定义
恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的
端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的
命题,观察 和 的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应
2. 端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.
3. 端点效应的解题思路
端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必
要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解
决。
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步
(1) 利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要
条件
(2) 利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
(3) 若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直
至得到使不等式恒成立的充要条件
4. 端点效应的类型
1.如果函数 在区间 上, 恒成立,则 或 .
2.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 ),则 或 .
3.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 , 则
或 .
考点 一 、 端点效应（先猜后证 - 必要性探索）的初步应用1．若 对 恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】 【方法一-常规方法-详见教师版】
【方法二-端点效应】
因为 对 恒成立，即 对 恒成立，
记 ， ，
因为 ， 欲在 恒成立，则 要在 单调递增
即 在 恒成立，则 ，解得 ，
再证明充分性，当 ，能否有 对 恒成立（证明略）
综上可得 ，即
1．已知函数 ．若 在 上恒成立，则a的取值范围为 ．
【答案】 【方法一-常规方法-详见教师版】
【方法二-端点效应】
因为 ，所以 ，解得 ，结合已知条件，
考点 二 、 端点效应（先猜后证 - 必要性探索）在导数中的应用
1．（2024·全国新Ⅰ卷第18题·高考真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
1．（2020·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
3．（全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若对任意的 恒成立，求 的范围.
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2) ， ，求 的取值范围.3．（2024·广西·三模）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若对任意 ，求 的取值范围.
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在区间 上零点的个数；
(2)若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
5．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
6．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围．
7．（2024·山西·三模）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围
8．（2024·四川遂宁·二模）已知函数 ．
(1)若 在区间 存在极值，求 的取值范围；
(2)若 ， ，求 的取值范围．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若 ， 恒成立，求 的取值范围．
10．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 极值；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.1．（全国·高考真题）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.
2．（山东·高考真题）设函数 ，其中 .
（Ⅰ）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 成立，求 的取值范围.
3．（全国·高考真题）设函数
（1）求证： 的导数 ；
（2）若对任意 都有 求a的取值范围．
4．（全国·高考真题）设函数
（Ⅰ）若a= ，求 的单调区间；
（Ⅱ）若当 ≥0时 ≥0，求a的取值范围
