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第 12 讲 导数的综合应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1、不等式恒成立
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) ；
max
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x) ；
min
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x) ；
min
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x) .
max
分类讨论求参数：根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为
最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，
并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足
题意即可.
双变量恒成立
含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
(1) x ∈M，∃x ∈N，f(x )>g(x ) f(x) >g(x) .
1 2 1 2 min min
(2)
∀
x
1
∈M，∀x
2
∈N，f(x
1
)>g(x
2
)
⇔
f(x)
min
>g(x)
max
.
(3)
∀
x
1
∈M，∃x
2
∈N，f(x
1
)>g(x
2
)
⇔
f(x)
max
>g(x)
min
.
(4)
∃
x
1
∈M，∀x
2
∈N，f(x
1
)>g(x
2
)
⇔
f(x)
max
>g(x)
max
.
2、利用导数研究函数的零点
∃ ⇔
利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图像，判断函数零点
的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图像与性质确定函
数有多少个零点.
3、构造函数证明不等式
(1)五个常见变形：
xex＝ex＋ln x，＝ex－ln x，＝eln x－x，x＋ln x＝ln xex，x－ln x＝ln .
(2)三种基本模式
①积型：aea≤bln b――――――――→②商型：＜――――――――→
③和差型：ea±a＞b±ln b――――――――→
二、考点和典型例题
1、不等式恒成立
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，若存在
， ，使得 成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若对任意两个不等的正
实数 都有 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若
关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-4】（2022·全国·高三专题练习）设实数 ，若不等式 对
恒成立，则t的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【典例1-5】（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 对 恒成
立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2、利用导数研究函数的零点
【典例2-1】（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 与函数
的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【典例2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 与函数
的图象有两个不同的交点，则实数m取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-3】（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）已知曲线 与 在区间
上有两个公共点，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【典例2-4】（2022·江西·模拟预测（理））已知函数 ）有三个零
点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0， ） B．（0， ） C．（0，1） D．（0，e）
【典例2-5】（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知 ，函
，若函数 有三个不同的零点， 为自然对数的底数，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3、构造函数证明不等式
【典例3-1】（2021·重庆合川·高二阶段练习）已知函数
(1)当 ，证明： ；
(2)若函数 在 上恰有一个极值，求a的值．
【典例3-2】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数
(1)求证：函数 在 上有唯一零点 ；(2)若方程 有且仅有一个正数解 ，求证： ．
【典例3-3】（2022·湖北·模拟预测）已知 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，证明 .
