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第 12 讲 导数的综合应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1、不等式恒成立
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) ；
max
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x) ；
min
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x) ；
min
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x) .
max
分类讨论求参数：根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为
最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，
并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足
题意即可.
双变量恒成立
含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
(1) x ∈M，∃x ∈N，f(x )>g(x ) f(x) >g(x) .
1 2 1 2 min min
(2)
∀
x
1
∈M，∀x
2
∈N，f(x
1
)>g(x
2
)
⇔
f(x)
min
>g(x)
max
.
(3)
∀
x
1
∈M，∃x
2
∈N，f(x
1
)>g(x
2
)
⇔
f(x)
max
>g(x)
min
.
(4)
∃
x
1
∈M，∀x
2
∈N，f(x
1
)>g(x
2
)
⇔
f(x)
max
>g(x)
max
.
2、利用导数研究函数的零点
∃ ⇔
利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图像，判断函数零点
的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图像与性质确定函
数有多少个零点.
3、构造函数证明不等式
(1)五个常见变形：
xex＝ex＋ln x，＝ex－ln x，＝eln x－x，x＋ln x＝ln xex，x－ln x＝ln .
(2)三种基本模式
①积型：aea≤bln b――――――――→②商型：＜――――――――→
③和差型：ea±a＞b±ln b――――――――→
二、考点和典型例题
1、不等式恒成立
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，若存在
， ，使得 成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∃x ,x ∈R，使得 成立，等价于 ，
1 2
，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，
所以当x＝－1时， 取得最小值 ；
当x＝－1时 取得最大值为 ，
所以 ，即实数a的取值范围是
故选：B．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若对任意两个不等的正实数 都有 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
对任意两个不等的正实数 ，都有 恒成立，即为 时， 恒
成立.
所以 在 上恒成立，则
而 ，则 ．
故选：A．
【典例1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若
关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解： ，
，
令 ，显然 为增函数，
则原命题等价于，
又令 ，则 ，
所以 时 ，当 时 ，即 在 上单调递增，在 上
单调递减，
所以 ，即 恒成立，
所以 ，
所以 ，即得 ．
故选：B
【典例1-4】（2022·全国·高三专题练习）设实数 ，若不等式 对
恒成立，则t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
对 恒成立，即 ，即 ，令
， ，则 ，故 在 单调递增，故 ，故
，问题转化为 ，令 ，则 ，令 ，解得： ，令 ，解得： ，故 在 递增，在 递减，故
（e） ，故 .
故选：B．
【典例1-5】（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 对 恒成
立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ，
所以 ，
即 ，
构造函数 ，
所以
，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，
此时
因为当 时， 单调递减，
故 ，两边取对数得：
，
令 ，则 ，
令 得： ，令 得： ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以
故a的最小值是 ．
当 时， ，从四个选项均为负，考虑 ，此时有 ，
两边取对数得： ，
所以
令 ，则 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，无最大值，
此时无解，
综上：故a的最小值是 ．
故选：C
2、利用导数研究函数的零点
【典例2-1】（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 与函数
的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为函数 与函数 的图象恰有3个交点，所以
有3个根.
经验证：x=1为其中一个根.
当 时， 可化为 ，及
i. 或 时，方程有且仅有一个根x=-1；
ii. 且 时，方程 有两个根， 或x=-1.
当 时， 可化为 .
令 ，（x>0）.则 .
当 时，有 ，所以 在 上单减.
因为 ，所以 有且只有1个根x=1.所以需要 有两个根
或x=-1， 才有3个根，此时 且 .
当 时， 有且仅有一个根x=-1，所以只需 在 有2个根.
此时 .在 上， ， 单减；在 上， ， 单增.
且当 时， ；当 时， ；
所以只需 ，即 ，亦即 .
记 .
则 ，所以当 时， ，所以 在 上单调递减，所
以当 时， ， 在 上单调递增.所以 ，即
（当且仅当x=1时取等号）.
所以要使 成立，只需 ，解得： .所以 且 .
综上所述：实数k的取值范围是 .
故选：B
【典例2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 与函数
的图象有两个不同的交点，则实数m取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题意得： ，则 ，问题转化为y＝m和 有2个交点，而 ，
在 和 上 ， 递增，在 上 ， 递减，
当x趋于正无穷大时， 无限接近于0，且 ， ， ，作
出函数 的图象，如图所示：
观察图象得：函数 和 的图象有2个不同的交点时，
实数 .
故选：D．
【典例2-3】（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）已知曲线 与 在区间
上有两个公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】
曲线 与 在区间 上有两个公共点，即 在区间 上有
两根，
设 ，则 ，
故当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调
递减.
又 ， ， ，
故 在区间 上有两根则
故选：A
【典例2-4】（2022·江西·模拟预测（理））已知函数 ）有三个零
点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0， ） B．（0， ） C．（0，1） D．（0，e）
【答案】A
【详解】
令 ，
所以 或 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，h(x)在（－∞，0）上单调递增；
当 时， ，h(x)在（0，＋∞）上单调递减，所以 ，即 ，
所以g(x)在R上单调递减，又 ，g（0）＝ ，
所以存在 使得 ，
所以方程 有两个异于 的实数根，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，k(x)在（－∞，1）上单调递增；
当 时， ，k(x)在（1，＋∞）上单调递减，且 ．
所以 ，
所以 与 的部分图象大致如图所示，
由图知 ，
故选：A．
【典例2-5】（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知 ，函
，若函数 有三个不同的零点， 为自然对数的底数，则 的取
值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】
当 时， ，即 ，故 ，
令 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
作出函数 的图象如图所示：
由图象知：当 时，方程 有两不等实根，
当 时，方程 有一个实根；
令 ，显然 ,所以 ，
令 ，则 在 上恒成立，
则 在 上递增，且 ，
作出函数 的图象如图所示：由图象知：当 时，方程 在 恰有一个实根，
即此时 有三个不同的零点，
综上， 的取值范围是 .
故选：B
3、构造函数证明不等式
【典例3-1】（2021·重庆合川·高二阶段练习）已知函数
(1)当 ，证明： ；
(2)若函数 在 上恰有一个极值，求a的值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】(1)
由题设 且 ，则 ，
所以 在 上递增，则 ，得证.
(2)
由题设 在 有且仅有一个变号零点，
所以 在 上有且仅有一个解，令 ，则 ，而 ，
故 时 ， 时 ， 时 ，
所以 在 、 上递增，在 上递减，
故极大值 ，极小值 ， ，
要使 在 上与 有一个交点，则 或 或 .
经验证， 或 时 对应零点不变号，而 时 对应零点为变号
零点，
所以 .
【典例3-2】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数
(1)求证：函数 在 上有唯一零点 ；
(2)若方程 有且仅有一个正数解 ，求证： ．
【解析】(1)
解：由题意，函数 ，
可得
当 时，可得 且 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，
又因为 ，由零点存在定理可知，函数 在 上有唯一零点 .
(2)
解：当 时， ，
当 时， ， 单调递减；
当 ， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减，
又由当 时， ； 时， ，
所以当 时，方程 有且仅有一个正数解 ，
现证不等式左侧： ，要证 ，
只需证 在 上恒成立，
只需证 ，
令 ，
可得 ，则 ，
可得 ，
令 ，解得 或 （舍去），
可得 在 减， 增，
函数 在 轴交点为 ，在 增， 减， 增， 与 轴交点为 ，
在 增， 减， ，所以 在 上恒成立，
证不等式右侧：
因为 ，所以 ．
【典例3-3】（2022·湖北·模拟预测）已知 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，证明 .
【解析】(1)
因为 ，则 ， ，
则 ，
所以所求切线方程为 ，即 .
(2)
由题意，可知 ，要证明 ，
即证 ，
令 ，则 ，
当 ，当 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 .
令 ，则 ，
因为 ，所以当 ，当 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 ，
所以 恒成立，即 恒成立，
所以当 时， .
