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特训 05 利用导数证明不等式（三大题型）
利用导数证明数列不等式的常用方法：
(1)利用函数中经典不等式放缩，根据放缩的方向，将函数中经典不等式转化为数列不等式，将不可求
和的数列放缩成可求和的数列
(2)结论再造，利用上一问中得到的函数结论，构造出函数不等式，进而转化为数列不等式，再进行放
缩求和.
(3)数列思想求通项，通过求出不等式两侧对应数列的通项公式，进而作差构造函数.
以上办法的实质都是构建了函数不等式与数列不等式之间的关系，进而利用数列求和来解决问题.
目录：
01 ：移项构造函数证明不等式
02 ：分拆函数法证明不等式
03 ：放缩后构造函数证明不等式
01 ：移项构造函数证明不等式
例1 已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a＞ln ，且x＞0时，＞x＋－3a.
感悟提升 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，
利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.
训练1已知函数 .
(1)当 时，
（ⅰ）求 在点 处的切线方程；
（ⅱ）求 的最小值；
(2)当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；(3)当 时，证明 .
02 ：分拆函数法证明不等式
例2 证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞－成立.
证明 问题等价于证明xln x＞－(x∈(0，＋∞)).
感悟提升 1.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找
到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x) ≥f(x) 恒成立，从而
min max
f(x)≤g(x)恒成立.
2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与ln x要分离，常构造xn与ln x，xn与ex的积、
商形式.便于求导后找到极值点.
训练2 已知函数f(x)＝eln x－ax(x∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
03 ：放缩后构造函数证明不等式
例3 已知x∈(0，1)，求证：x2－＜.
感悟提升 某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式 ex≥x＋1，1－
≤ln x≤x－1等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界
性进行放缩，然后再构造函数进行证明.
训练3 证明：exln x＋＞1.
方法技巧：指对同构
在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性
构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速
度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.
(1)五个常见变形：
xex＝ex＋ln x，＝ex－ln x，＝eln x－x，x＋ln x＝ln xex，x－ln x＝ln .
(2)三种基本模式
①积型：aea≤bln b――――――――→
②商型：＜――――――――→
③和差型：ea±a＞b±ln b――――――――→
例 (1)已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a.
若f(x)≥1，求a的取值范围.
(2)已知函数f(x)＝aex－ln x－1，证明：当a≥时，f(x)≥0.一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知a， ，若 ， ，则b的可能值为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 恒成立，则正实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 .对于
任意的实数 ，均有 成立，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列命题正确
的是（ ）
A． B．
C． D．6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上恰有两个极值点，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 的定义域为 为 的导函数.若 ，且
在 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 ，若对任意的 ，当 时，都
有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·江西·二模）若 恒成立，则实数 的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
10．（2024·浙江·二模）设定义在R上的函数 的导函数为 ，若 ，均有 ，
则（ ）
A． B． （ 为 的二阶导数）
C． D． 是函数 的极大值点11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数，则（ ）
A．若 为减函数，则 B．若 存在极值，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知实数 满足 ，则
13．（2024·四川凉山·三模）已知函数 的零点为 ，则 ．
14．（2024·吉林·二模）若实数 满足 ，则称 为函数 与 的“关联数”.
若 与 在实数集 上有且只有3个“关联数”，则实数 的取值范围为
.
