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第 37 讲 带电粒子在电场中的偏转
目录
01 模拟基础练
【题型一】带电粒子在匀强电场中的偏转
【题型二】带电粒子在交变电场中的偏转
【题型三】带电粒子在复合场中的偏转
02 重难创新练
【题型一】带电粒子在匀强电场中的偏转
1．如图所示，氕、氘、氚的原子核自初速度为零经同一电场加速后，又经同一匀强电场偏转，最后打在
荧光屏上，下列说法不正确的是（ ）
A．经过加速电场的过程中，电场力对氚核做的功最多
B．经过偏转电场的过程中，电场力对三种原子核做的功一样多
C．三种原子核打在屏上的动能一样大
D．三种原子核都打在屏的同一位置上
【答案】A
【详解】A．设加速电压为U，偏转电压为U，偏转极板的长度为L，板间距离为d。在加速电场中，电
1 2
场力做的功为
由于加速电压相同，电荷量相等，所以电场力做的功相等，故A错误；
D．在偏转电场中的偏转位移为
解得同理可得到偏转角度的正切为
可见y和tanθ与电荷的电量和质量无关。所以出射点的位置相同，出射速度的方向也相同。运动轨迹相同，
故三种粒子打屏上同一点，故D正确。
B．粒子的运动轨迹相同，电荷量相同，电场力相同，在偏转电场中电场力做功相同，故B正确；
C．整个过程运用动能定理得
在偏转电场中电场力做功W 一样大，故C正确；
2
故选A。
2．如图所示，一电荷量为q的带电粒子以一定的初速度由P点射入匀强电场，入射方向与电场线垂直。粒
子从Q点射出电场时，其速度方向与电场线成30°角。已知匀强电场的宽度为d，方向竖直向上，P、Q两
点间的电势差为U(U>0)，不计粒子重力，P点的电势为零。求：
（1）带电粒子在Q点的电势能。
（2）P、Q两点间的竖直距离。
（3）此匀强电场的电场强度大小。
【答案】（1）－qU；（2） ；（3）
【详解】（1）由题图可知，带电粒子的轨迹向上弯曲，则粒子受到的静电力方向竖直向上，与电场方向
相同，所以该粒子带正电，P、Q两点间的电势差为U，所以
其中
所以
根据电势能与电势的关系可知，带电粒子在Q点的电势能为（2）根据类平抛运动知识可知Q点速度的反向延长线过水平位移的中点，则
可得P、Q两点间的竖直距离为
（3）根据电场强度的定义式可知，此匀强电场的电场强度大小为
3．一个初速度不计的带电粒子，质量为m、电荷量为q，重力忽略不计。该粒子经电压为U的加速电场加
速后，垂直射入偏转电场，如图所示。若偏转电场两平行板间距为d，板长为l，两极板上电压为 。求：
（1）粒子射出加速电场时的速度 的大小；
（2）粒子射出偏转电场沿垂直于板面方向偏移的距离y；
（3）粒子射出偏转电场时速度偏转角度θ的正切值。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）粒子经过加速电场过程，根据动能定理可得
解得粒子射出加速电场时的速度大小为
（2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，则有
，
联立解得粒子射出偏转电场沿垂直于板面方向偏移的距离为
（3）粒子射出偏转电场时，沿电场方向的分速度大小为则速度偏转角度θ的正切值为
【题型二】带电粒子在交变电场中的偏转
4.如图甲所示，两平行金属板水平放置，间距为d，金属板长为2d，两金属板间加如图乙所示的电压（
时上金属板带正电），其中 。一粒子源连续均匀发射质量为m、电荷量为 的带电粒子
（初速度 ，重力忽略不计），该粒子源射出的带电粒子恰好从上板左端的下边缘水平进入两金属板
间，若粒子碰到两金属板即被吸收不再反弹且对极板的电量几乎无影响，则（ ）
A．能从板间飞出的粒子在板间运动的时间为T
B． 时刻进入两极板间的粒子能够从极板右侧飞出
C．能从极板右侧飞出的粒子电场力对其做功一定为0
D．能从极板右侧飞出的粒子数占入射粒子总数的25%
【答案】AC
【详解】A．能从板间飞出的粒子，水平方向做匀速直线运动，则有
故A正确；
B．假设 时刻进入两极板间的粒子能够从极板右侧飞出，则它在竖直方向上先加速向下，经过 时间
后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过 时间，竖直分速度减为零，则有
由牛顿第二定律，可得
联立，解得则假设不成立， 时刻进入两金属板间的粒子将打在金属板上。故B错误；
C．根据对称性，能从极板右侧飞出的粒子在电场中运动时间为T，则出电场时竖直速度一定为零，则电场
力对其做功为零，故C正确；
D．考虑 射入的粒子，当粒子射出位置最低时，可以假设释放的时间为 ，在释放后的 时
间内，竖直位移应恰好为d，
解得
随后的 内，由于 竖直上升高度为
假设成立，此为一临界位置；
当粒子射出位置最高时，根据对称性可知从 时刻射入粒子恰好从上边缘射出，此为一临界位置，则能从
极板右侧飞出的粒子数占入射粒子总数
故D错误。
故选AC。
5．如图甲，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，虚线AB上方有沿y轴负方向的匀强电场，AB与x轴负
方向夹角为 ，A点在y轴上，离O点距离为d，B点在x轴上，在第二象限内有平行于y轴的平行板
M、N，板间加的电压随时间变化的规律如图乙所示。在M板附近有一粒子源，不断地由静止释放质量为
m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子经加速电场加速后，以垂直于y轴的方向从y轴上的A点进入第一象
限。粒子在M、N间运动的时间远小于T，可以认为每个粒子在M、N间运动的时间内都是稳定的匀强电
场。从 时刻释放的粒子进入第一象限后经电场偏转后刚好从AB的中点离开电场，不计粒子的重力及
一切阻力，求：
（1） 时刻释放的粒子到达A点时速度的大小；
（2）第一象限内的匀强电场电场强度的大小；
（3）x轴上有粒子经过的区域长度。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设 时刻释放的粒子到达A点时速度的大小为v，由动能定理可得
0
解得
（2）依题意，从 时刻释放的粒子进入第一象限的电场偏转后刚好从AB的中点离开电场，粒子做类平
抛运动，则可得
又
根据几何关系有
联立解得
（3）从 时刻释放的粒子离开电场后运动轨迹如图，其中到达接收屏的位置设为C
由粒子做类平抛运动，则解得
此位置为粒子打到接收屏的左边界。由乙图可知，加速电场的电压最大值为 ，粒子进入第一象限的最
大速度为
设粒子进入第一象限的速度为v时，恰好运动到B点，则有
联立解得
所以速度为 的粒子到达接收屏的位置为接受粒子区域的右边界，有
综上所述，x轴上有粒子经过的区域长度为
6.两块水平平行放置的导体板如图甲所示，大量电子（质量为m、电荷量为e）由静止开始，经电压为U
0
的电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入两板之间。当两板均不带电时，这些电子通
过两板之间的时间为2t；当在两板间加如图乙所示的周期为2t、恒为U 的周期性电压时，能使所有电子
0 0 0
均从两板间通过（忽略电子间的相互作用力及所受重力），己知板间距离为d，求：
（1）平行导体板的板长；
（2）0时刻和t 时刻进入两板间的电子通过两板间过程中产生的侧向位移（沿垂直两板方向上的位移）的
0
大小；
（3）若改变板长，使这些电子通过两板之间的时间为3t，电子均能通过两板，在侧向位移（沿垂直两板
0
方向上的位移）分别为最大值和最小值的情况下，电子在偏转电场中的动能增量之比。【答案】（1） ；（2） ， ；（3）4:1
【详解】（1）电子在加速电场中有
进入平行板中水平做匀速直线运动
解得
（2）在偏转电场中，加速度为
对于0时刻进入的电子侧向位移的大小为
解得
对于 时刻进入的电子侧向位移的大小为
解得
（3）侧向位移最大，电子在有电场情况下的侧移为
侧向位移最小，电子在有电场情况下的侧移为
由动能定理得
可得动能增量之比
【题型三】带电粒子在复合场中的偏转
7.绝缘的粗糙水平地面上方有一竖直方向的矩形区域 ，该区域由三个水平边长是L，竖直边长是的小矩形区域组成，从左到右依次为区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，且矩形区域的下边OC与桌面相接。为方便描述建
立如图所示的平面直角坐标系；区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中分别存在沿y轴负方向、y轴正方向、y轴正方向的匀强
电场，其场强大小比例为 。现有一带正电的滑块（可视为质点）以某一初速度 （未知）从O点沿
x轴正方向进入区域Ⅰ，滑块最终从P点 （图中未标出）离开区域Ⅲ。已知滑块在区域Ⅰ中所受
静电力与所受重力大小相等，地面与滑块间的动摩擦因数为0.125，重力加速度为g。求：
（1）滑块进入区域Ⅲ时的速度大小 ；
（2）滑块在矩形区域 运动的总时间；
（3）若滑块以相同大小的初速度 （未知）从P点沿x轴负方向进入区域Ⅲ，试确定滑块离开电场区域的
位置（Q点）坐标。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）在区域Ⅱ中由于所受静电力与所受重力大小相等，则滑块做匀速直线运动，区域Ⅲ做类平
抛运动，竖直方向加速度
根据类平抛运动规律
解得
，
（2）滑块进入区域Ⅲ时，根据动能定理
解得
在区域Ⅰ运动时间运动的总时间
（3）从P点沿x轴负方向进入区域Ⅲ，则在区域Ⅲ运动时间仍为 ，竖直方向偏转
竖直方向速度为
区域Ⅱ中做匀速直线运动，区域Ⅰ中做类斜抛运动、水平速度不变，从出区域Ⅲ到上升到最
高点竖直位移
由于
可知上升到最高点之前就从上边缘出电场区域。
则在区域Ⅰ中，竖直方向运动实际距离
故滑块离开电场区域的位置即为
1．喷墨打印机的结构原理如图所示，其中墨盒可以发出半径为 m的墨汁微粒。此微粒经过带电室时
被带上负电，带电的多少由计算机按字体笔画高低位置输入信号加以控制。带电后的微粒以一定的初速度
进入偏转电场，经过偏转电场发生偏转后，打到纸上，显示出字体。无信号输入时，墨汁微粒不带电，沿
直线通过偏转电场而注入回流槽流回墨盒。设偏转极板长 ，两板间的距离 ，偏转板
的右端到纸的距离 。若一个墨汁微粒的质量为 ，所带电荷量为 ，以
的初速度垂直于电场方向进入偏转电场，打到纸上的点距原射入方向的距离是 （不计空气阻
力和墨汁微粒的重力，可以认为偏转电场只局限在平行板电容器内部，忽略边缘电场的不均匀性）
（ ）A．墨汁从进入偏转电场到打在纸上，做类平抛运动
B．两偏转板间的电压是
C．两偏转板间的电压是
D．为了使纸上的字体放大10％，可以把偏转电压降低10％
【答案】C
【详解】A．墨汁在偏转电场中做类平抛运动，出偏转电场后做匀速直线运动，故A错误；
BC．墨汁出偏转电场后做匀速直线运动，且反向延长线平分水平位移，如图所示：
由图可知
且
在偏转电场中，根据速度-时间关系可得
联立解得两偏转板间的电压是
U=5.0×102V
故B错误，C正确；
D．由以上式子整理得
为了使纸上的字体放大10%，可以把偏转电压提高10%，故D错误。
故选C。
2．如图所示，加速电场的两极板P、Q竖直放置，间距为d，电压为U，偏转电场的两极板M、N水平放
1
置，两极板长度及间距均为L，电压为U，P、Q极板分别有小孔A、B，AB连线与偏转电场中心线BC共
2
线。质量为m、电荷量为q的正离子从小孔A（初速度视为0）进入加速电场，经过偏转电场，可到达探测
器（探测器可上下移动）。整个装置处于真空环境，两电场均为匀强电场，且不计离子重力。下列说法正
确的是（ ）A．离子在加速电场中运动时间为
B．到达探测器的离子在M、N板间运动时间为
C．离子到达探测器的最大动能为
D．为保证离子不打在M、N极板上，U 与U 应满足的关系为U>2U
1 2 2 1
【答案】C
【详解】A．粒子在加速电场做匀加速直线运动，加速度为
根据位移时间关系有
所以离子在加速电场中运动时间为
故A错误；
B．设粒子进入偏转电场的速度为v，根据动能定理可得
0
所以
则离子在M、N板间运动时间为
故B错误；
C．根据动能定理可得
故C正确；D．为保证离子不打在M、N极板上，即粒子在竖直方向的偏转位移应小于 ，有
可得
故D错误。
故选C。
3．（多选）如图甲所示，某装置由直线加速器和偏转电场组成。直线加速器序号为奇数和偶数的圆筒分
别和交变电源的两极相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示；在t＝0时，奇数圆筒相对偶数
圆筒的电势差为正值，位于金属圆板（序号为0）中央的电子由静止开始加速，通过可视为匀强电场的圆
筒间隙的时间忽略不计，偏转匀强电场的A、B板水平放置，长度均为L，相距为d，极板间电压为U，电
子从直线加速器水平射出后，自M点射入电场，从N点射出电场。若电子的质量为m，电荷量为e，不计
电子的重力和相对论效应。下列说法正确的是（ ）
A．电子在第3个与第6个金属筒中的动能之比
B．第2个金属圆筒的长度为
C．电子射出偏转电场时，速度偏转角度的正切值
D．若电子通过圆筒间隙的时间不可忽略，且圆筒间隙的距离均为d，在保持圆筒长度、交变电压的变
化规律和图乙中相同的情况下，该装置能够让电子获得的最大速度为
【答案】AD
【详解】A．设电子的质量为m，电子所带电荷量的绝对值为e。电子进入第n个圆筒后的动能为E，根据
n
动能定理有
电子在第3个和第6个金属圆筒中的动能之比1:2，故A正确；
B．设电子进入第n个圆筒后的速度为 ，根据动能定理有
，
第2个金属圆筒的长度＝
故B错误；
C．电子在偏转电场中运动的加速度为
电子在偏转电场中的运动时间为
又因为
电子射出偏转电场时，垂直于板面的分速度
电子射出偏转电场时，偏转角度的正切值为
故C错误；
D．由题意，若电子通过圆筒间隙的时间不可忽略，则电子进入每级圆筒的时间都要比忽略电子通过圆筒
间隙中对应时间延后一些，当延后时间累计为 ，则电子再次进入电场时将开始做减速运动，此时的速度
就是装置能够加速的最大速度，则有
根据动能定理得
联立解得
故D正确。
故选AD。
4．（多选）静止的一价铜离子q 和二价的铜离子q，经过同一电压加速后，再垂直电场线射入同一匀强
1 2
电场，发生偏转后离开电场，下列说法正确的是（ ）A．q 与q 离开偏转电场时的速度之比为1：2
1 2
B．q 与q 离开偏转电场时的速度之比为1：
1 2
C．q 与q 在偏转电场中沿电场方向的位移之比为1：1
1 2
D．q 与q 在偏转电场中沿电场方向的位移之比为1：3
1 2
【答案】BC
【详解】AB．设加速电场电压为U。偏转电场场强E，板长L，则根据
在偏转电场中
离开偏转电场时的速度
联立解得
可知q 与q 离开偏转电场时的速度之比为1： 选项A错误，B正确；
1 2
CD．根据
可得
则q 与q 在偏转电场中沿电场方向的位移之比为1：1，选项C正确，D错误。
1 2
故选BC。
5．喷墨打印机的原理示意图如图，质量为m的墨滴从墨盒进入带电室后带上电量q，以速度 沿平行板中
线进入偏转电场，墨滴经过电场偏转后打到纸上。没有信号时墨滴不带电并沿直线运动打到回流槽中回收，
墨滴运动过程中忽略空气阻力和重力。已知偏转板上板带正电下板带负电，板长均为 ，板间距离为d，
极板右端与纸的距离为 。求
（1）墨滴带电的电性及打印机正常打印时两偏转板间的最大电压 ；
（2）两偏转板间电压为 时，墨滴打到纸上的点偏离原入射方向距离 ；
（3）当电压为U时纸上打出的是四号字，若使纸上字的大小为原来的一半（即在纸上的偏转量为原来的
一半），保持喷墨速度不变时两板间电压 。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）墨滴向上偏转，受力方向与电场方向相反，故判断带负电。墨滴在偏转板间的最大偏转量
为 时
解得
（2）根据几何关系
得
（3）当电压为U时，在纸上的偏转量
偏转电压为
要求偏转量变为 ，且速度 不变，电压应变为
6．如图所示，在平面直角坐标系 第一象限和第二象限 区域内有电场强度均为 、方向分别沿 负方向和 负方向的匀强电场，将一电荷量为 、质量为 的粒子由第一象限的 点静
止释放，不计粒子重力，求：
（1）粒子到达 轴的时间；
（2）粒子从第二象限电场的左侧边界飞出时的位置坐标。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）粒子在第一象限内做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有
根据位移公式有
解出
（2）粒子从第一象限内，根据速度公式有
粒子从第二象限内做类平抛运动，加速度大小与第一象限内相等，若粒子在达到 轴之前已经飞出电场，
则有
解得
表明粒子在达到 轴之前已经飞出电场，之后做匀速直线运动，则飞出点的横坐标为 ，纵坐标为
则粒子从第二象限电场的左侧边界飞出时的位置坐标为
7．如图所示，金属丝和竖直金属板间电压U=500V，发射出的电子（初速度为0）被加速后，从金属板上
1的小孔S射出，射出的电子恰能沿平行于极板的方向由左端中间位置射入偏转电场。已知极板长l=6cm，
间距d=2cm，极板间电压U=40V，电子的电荷量e=1.6×10-19C，电子的质量m=0.9×10-30kg。
2
（1）求电子射入偏转电场时的速度大小v；
（2）电子从A点（图中未标出）射出偏转电场，求电子在偏转电场中发生的侧位移y；
（3）若下极板电势为零，求A点的电势 。
【答案】（1） ；（2）0.36cm；（3）27.2V
【详解】（1）电子经过加速电场过程，根据动能定理可得
解得
（2）电子在偏转电场中做类平抛运动，则有
，
联立解得电子在偏转电场中发生的侧位移
（3）A点离下板的距离为
若下极板电势为零，则A点的电势为
8．如图所示，在空间中取直角坐标系Oxy，虚线MN与x轴垂直，垂足为P点，MN与y轴之间的距离为
d。从y轴到MN之间的区域Ⅰ中充满一个沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E；MN右侧区域Ⅱ
中充满一个沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为2E。初速度为零的电子经过一个电压为U的电场
（图中未画出）加速后，从y轴上的A点以平行于x轴正方向的速度射入区域Ⅰ，电子经区域Ⅰ恰好由P
点进入区域Ⅱ。已知电子的电量为e，质量为m，重力忽略不计，求：
（1）电子从A点进入区域Ⅰ时速度的大小 ；（2）A点的坐标；
（3）电子从A点进入电场开始到第二次经过x轴时所用的时间t。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据
解得
（2）电子进入区域Ⅰ后，做类平抛运动，可得
，
又
联立，解得
，
（3）电子运动到P点将进入区域Ⅱ做类斜抛运动，轨迹如图设电子在P点的沿y轴方向速度为 ，可得
，
又
联立，解得
由轨迹的对称性，可得电子第二次到达x轴，在区域Ⅱ中运动的时间为2 。则电子从A点进入电场开始
到第二次经过x轴时所用的时间
9．如图所示，水平放置的平行板电容器，上极板带正电，下极板接地。极板长 ，两极板间距离
。大量带负电粒子以相同的水平初速度 从靠近下极板左侧边缘处连续射入极板间，粒子刚进入
时极板间电压 ，第一个粒子刚好落到上极板中点 处。已知粒子质量 ，电量
，电容器电容 ，忽略粒子的重力、相互之间的作用力和空气阻力。求：
（1）带电粒子入射初速度的大小 ；
（2）随着带负电粒子落到上极板上，上极板带电荷量不断减小，从而导致两极板间的电势差逐渐减小，
两极板间电场强度也减小，最终不再有带电粒子落到上极板，求落到上极板上的带电粒子总个数。【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）由题意可知，粒子在极板间做类平抛运动，第一个粒子落在上极板中点时，有
由牛顿第二定律
联立解得
（2）当粒子恰好从上极板右边缘飞出时，有
联立解得
此时不再有带电粒子落到上极板，在这一过程中，电容器上极板上减少的电荷量为
则落到上极板的带电粒子总个数为
（个）
10．如图所示，水平放置的带电平行板长度为8L，间距为3L，板间的匀强电场的场强为E，倾斜向上的有
界匀强电场的场强大小也为E，竖直放置的带电平行板的间距为4L，一带电粒子（重力忽略不计）的质量
为m，带电量为q，从水平板的左下边缘A点以水平向右的速度进入电场，从右上边缘B点离开后立即进
入倾斜的匀强电场，然后沿电场方向直线运动到竖直板的左下边缘C点，最后运动到竖直板的右上边缘D
点时，速度方向竖直向上，已知B、C两点间的间距为 ， ， ，求：
（1）粒子在A、C两点的速度的大小；
（2）粒子从A到D运动的总时间；
（3）A、D两点间的电势差。【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【详解】（1）粒子从 过程做类平抛运动，则有
， ，
令B点速度与水平方向夹角为 ，则有
解得
， ， ，
粒子从 过程做匀加速直线运动，则有
解得
（2）粒子从 过程做匀加速直线运动，则有
粒子从 过程做类斜抛运动，根据对称性有
则粒子从A到D运动的总时间解得
（3）由于粒子最后运动到竖直板的右上边缘D点时，速度方向竖直向上，水平分速度减为0，则有
结合上述解得
11．如图所示为研究电子枪中电子在恒定电场中运动的简化模型示意图。在xOy平面的第一象限，存在以
x轴、y轴及双曲线 的一段为边界 的匀强电场区域①，电场强度为E；在第二象
限存在以 为边界的匀强电场区域②。一电子（电荷量为e，质量为m，不计重力）从
电场①的边界B点 处由静止释放，恰好从N点离开电场区域②。
（1）求电子通过C点时的速度大小；
（2）求电场区域②中的电场强度大小及电子到达N点时的速度大小；
（3）试证明：从AB曲线上的任意位置由静止释放的电子都能从N点离开电场。
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）证明见解析
【详解】（1）电子从B运动到C，由动能定理得
解得电子通过C点时的速度大小
（2）设电场区域②的场强为 ，电子从C点进入电场区域中做类平抛运动，在y轴方向有
由牛顿第二定律有在x轴方向有
联立解得电场区域Ⅱ中的电场强度大小
电子从C点进入电场区域②中做类平抛运动，设电子到达N点时速度大小为 ，从C到N由动能定理有
联立解得
（3）取曲线上任一点P，设该点的坐标为（x，y），则在电场区域①有
假设电子在电场区域②中一直做类平抛运动，且能打到x轴上某处，运动时间为t，则有
联立解得
则可以证明：从AB曲线上的任一位置由静止释放的电子都从N点离开电场。
12．如图所示，相距2L的竖直直线AB、CD间有两个有界匀强电场，水平直线MN分别与直线AB、CD相
交于M、N两点，直线MN下方的电场方向竖直向上，大小 ，直线MN上方的电场方向竖直向下，
大小为 未知。Q点在直线AB上，且与M点的距离为L。一粒子从Q点以初速度 沿水平方向射入下方
电场，经MN上的P点进入上方电场，然后从CD边上的F点水平射出。已知F点到N点的距离为 ，粒
子质量为m、电荷量为＋q，不计粒子重力。求：
（1）粒子从Q点到P点运动的时间 ；
（2）MN上方的电场强度 的大小；
（3）若MQ间连续分布着上述粒子，粒子均以速度 沿水平方向射入下方电场，不计粒子间相互作用。
求沿水平方向射出CD的粒子，在MQ上的入射点到M点的距离y。【答案】（1） ；（2） ；（3） （n=1，2，3 ）
【详解】（1）粒子从Q点到P点竖直方向上做匀加速直线运动，根据
得运动的时间
（2）粒子从CD边上的F点水平射出，则竖直方向速度为0，竖直方向上在下方电场做匀加速直线运动，
在上方电场做匀减速直线运动，设粒子从Q到P的竖直速度大小为 ，在下方电场有
在上方电场加速度大小为 ，有
联立得MN上方的电场强度
（3）设粒子到M点的距离为y，在下方电场中运动时间为 ，在上方电场中运动时间为 ，若水平射入，
水平射出，有
得粒子可能经过n次循环到达边界CD，故
（n=1，2，3 ）
解得
（n=1，2，3 ）
竖直方向有
联立解得
（n=1，2，3 ）
13．某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引
向轰击肿瘤并杀死靶细胞。“质子疗法”可简化为如图所示的模型，真空中的平行金属板A、B间的电压
为U，平行金属板C、D之间的距离为d、金属板长也为d。质子源发射质量为m、电荷量为q的质子，质
子从A板上的小孔进入（不计初速度）平行板A、B间，经加速后从B板上的小孔穿出，匀速运动一段距
离后以平行于金属板C、D方向的初速度v（大小未知）进入板间，质子射出平行金属板C、D时末速度
0
方向与初速度方向的夹角θ=37°之后质子恰好击中靶细胞。已知平行金属板A、B之间，平行金属板C、D
之间均可视为匀强电场，质子的重力和质子间的相互作用力均可忽略，取 ，求：
（1）质子从B板上的小孔穿出时的速度大小v；
0
（2）质子射出金属板C、D间时沿垂直于板面方向偏移的距离y；
（3）平行金属板C、D间的电压大小U′。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）质子在平行金属板A、B间做加速运动，有
解得
（2）质子在平行金属板C、D间做类平抛运动，平行于金属板方向上有射出金属板C、D间时有
沿垂直于板面方向偏移的距离
解得
， ，
（3）质子在平行金属板C、D间运动时有
根据牛顿第二定律有
解得
14．如图所示，虚线MN左侧有一方向水平向左、电场强度大小为E的匀强电场。
在两条平行的虚线MN和PQ之间存在着长为L，间距为d的平行金属板，两板之间电压为U，AO过两板
的中线，在虚线PQ右侧距离为 处有一水平放置，长度为 的屏，屏到AO的距离为d。现将一带电量为
，质量为m的带电粒子无初速度地放入电场中的A点，A点到MN的距离为kL，粒子最后可打在
右侧屏上。不计带电粒子的重力，求：
（1）求带电粒子到达MN时的速度大小；
（2）求带电粒子离开平行金属板时距中心线AO的偏移量；
（3）使粒子打在屏的最右侧，求k的取值。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）电子从A运动到MN的过程中，根据动能定理得
解得
（2）粒子在平行板的运动时间
竖直方向的加速度为
带电粒子离开平行金属板时距中心线AO的偏移量
（3）当粒子达到屏的最右侧，由几何关系有
则
解得
15．如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在匀强电场，AB为圆的一条直径。质量为m，带
正电的粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知从A点释放的初速度为零的粒子，自圆周上的C点以速度 穿出电场，AC与AB的夹角 ，运动中粒子仅受电场
力作用。求：
（1）进入电场时速度为零的粒子在电场中运动的时间和加速度；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子从电场射出时的动能。
【答案】（1） ， ；（2）
【详解】（1）由题意知在A点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q>0，故电场线由A指向C，
根据几何关系可知，因为 ，所以AC等于R。则粒子做初速度为0的匀加速直线运动，则
解得
（2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点
为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有
而电场力提供加速度有
联立各式解得粒子进入电场时的速度根据动能定理
解得
