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专题 09 电场 带电粒子在电场中的运动
目录
01 电场的性质·········································································································2
考向一 电场的性质··························································································································2
考向二 电场中的图像问题············································································································33
02 带电粒子在电场中的运动················································································37
考向一 带电粒子在电场中的加速和偏转····················································································37
考向二 带电粒子在电场中的综合问题························································································4201 电场的性质
考向一 电场的性质
1.（2023·重庆·高考真题）真空中固定有两个点电荷，负电荷Q 位于坐标原点处，正电荷Q 位于x轴上，
1 2
Q 的电荷量大小为Q 的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x=x 处产生的合电场强度为0，则Q、Q 相距
2 1 0 1 2
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】依题意，两点电荷电性相反，且Q2的电荷量较大，所以合场强为0的位置应该在x轴的负半轴，
设两点电荷相距L，根据点电荷场强公式可得 ，又 ，解得 。
故选B。
2．（2023·北京·高考真题）如图所示，两个带等量正电的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂
线上的两点，O为EF、MN的交点，EO=OF。一不计重力带负电的点电荷在E点由静止释放后（ ）
A．做匀加速直线运动
B．在O点所受静电力最大
C．由E到O的时间等于由O到F的时间
D．由E到F的过程中电势能先增大后减小
【答案】C
【详解】AB．带负电的点电荷在E点由静止释放，将以O点为平衡位置做往复运动，在O点所受电场力
为零，故AB错误；C．根据运动的对称性可知，点电荷由E到O的时间等于由O到F的时间，故C正确；D．点电荷由E到F的过程中电场力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。
故选C。
3．（2023·湖北·高考真题）在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为 、 ，电场强度
大小分别为 、 。下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则M点到电荷Q的距离比N点的远
B．若 ，则M点到电荷Q的距离比N点的近
C．若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则
D．若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则
【答案】C
【详解】A．沿着电场线的方向电势降低，根据正点电荷产生的电场特点可知若 则M点到电荷Q
的距离比N点的近，故A错误；B．电场线的疏密程度表示电场强度的大小，根据正点电荷产生的电场特
点可知若 ，则M点到电荷Q的距离比N点的远，故B错误；C．若把带负电的试探电荷从M点移
到N点，电场力做正功，则是逆着电场线运动，电势增加，故有 ，故C正确；D．若把带正电的
试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则是逆着电场线运动；根据正点电荷产生的电场特点可知
，故D错误。
故选C。
4．（2023·湖南·高考真题）如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q、Q 和Q，P
1 2 3
点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°、和30°。若P点处的电场强度为零，q>
0，则三个点电荷的电荷量可能为（ ）A．Q=q， ，Q=q B．Q= －q， ，Q= －4q
1 3 1 3
C．Q= －q， ，Q= －q D．Q=q， ，Q= 4q
1 3 1 3
【答案】D
【详解】AB．选项AB的电荷均为正和均为负，则根据电场强度的叠加法则可知，P点的场强不可能为零，
AB错误；C．设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P点产生的合场强大小有 ，
解得 ，而Q2产生的场强大小为 ，则P点的场强不可能为零，C错误；D．
设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P点产生的合场强大小有 ，解得
，而Q2产生的场强大小为 ，则P点的场强可能为零，D正确。
故选D。
5．（2023·天津·高考真题）（多选）如图，一位于P点左侧的固定正电荷产生的电场中，同一个正电荷q
两次以大小相同、方向不同的初速度从P点出发，分别抵达M点，N点，且q在M，N点时速度大小也一
样，则下列说法正确的有（ ）
A．P点电势大于M B．M点电势大于N
C．q从P到M一直做减速运动 D．M、N两点处电场强度大小相同【答案】AD
【详解】ABC．由题意知，同一个正电荷q两次以大小相同、方向不同的初速度从P点出发，分别抵达M
点与N点，且q在M，N点时速度大小也一样，由动能定理可知M、N两点的电势相同， M、N 两点位
于以场源电荷为圆心的同一圆周上，由于场源点荷在P点左侧，所以P点电势高于M点电势，q从P到M
做加速运动，故BC错误，A正确；D．根据以上分析可知，M、N两点在同一等势面上，且该电场是固定
正电荷产生的电场，则说明M、N到固定正电荷的距离相等，由点电荷的场强公式可知M、N两点处电场
强度大小相同，故D正确。
故选AD。
6．（2023·山东·高考真题）（多选）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和 ，A、D两点分别固定
等量异号的点电荷，下列说法正确的是（ ）
A． 点与 点的电场强度大小相等
B． 点与 点的电场强度方向相同
C． 点与 点的电势差小于 点与 点的电势差
D．将试探电荷 由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小
【答案】ACD
【详解】D．将六棱柱的上表面拿出
由几何条件可知正电荷在OF中点K的场强方向垂直OF，则K点的合场强与OF的夹角为锐角，在F点的
场强和OF的夹角为钝角，因此将正电荷从F移到O点过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后
减小，D正确；C．由等量异种电荷的电势分布可知 ， ， ， 因此
C正确；AB．由等量异种电荷的对称性可知 和 电场强度大小相等，
和 电场强度方向不同，A正确B错误；
故选ACD。
7．（2023·广东·高考真题）（多选）电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色．透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素．如图
所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒．当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊
内迁移（每个微粒电量保持不变），像素由黑色变成白色．下列说法正确的有（ ）
A．像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势
B．像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C．像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D．像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
【答案】AC
【详解】A．像素呈黑色时，当胶囊下方的电极带负电，像素胶囊里电场线方向向下，所以黑色微粒所在
的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故A正确；B．像素呈白色时，当胶囊下方的电极带正电，
像素胶囊里电场线方向向上，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故B错误；
C．像素由黑变白的过程中，白色微粒受到的电场力向上，位移向上，电场力对白色微粒做正功，故C正
确；D．像素由白变黑的过程中，黑色微粒受到的电场力向下，位移向下，电场力对黑色微粒做正功，故
D错误。
故选AC。
8．（2023·河北·高考真题）（多选）如图，在 轴上放置四个点电荷 和 位于 点两侧，
位于 点两侧。 点在 轴上，且 。取无穷远处电势为零，电荷位置与电荷量满足一
定关系，使得以 点为球心、以 为半径的球面上各点的电势均为零。下列说法正确的是（ ）
A． 两点电场强度的方向一定沿 轴正方向
B．若在 点放一正点电荷，则 两点的电势一定升高C．试探电荷 沿 轴运动过程中，若静电力始终不做功，则它受到的静电力始终为零
D．试探电荷 沿 轴运动过程中，若静电力始终不做功，则 点的电场强度一定为零
【答案】BD
【详解】A．以 点为球心、以 为半径的球面为等势面，由电场强度和等势面的关系可知， 两点电
场强度的方向与半径垂直，与 轴重合。由于无法判断各个电荷的电性，故 两点电场强度的方向无法
判断，故A错误；B．取无穷远处为零电势点，由于正点电荷周围的电势为正值，若在0点放一正点电荷，
则 两点的电势一定升高，故B正确；C．试探电荷 沿 轴运动过程中，根据电荷分布，若静电力始终
不做功，则经过 轴且垂直于 轴的平面为等势面，但静电力不一定为零，故C错误；D．根据以 点为球
心、以 为半径的球面为等势面，可知 点的电场强度方向应与 轴重合，再根据经过 轴且垂直于 轴
的平面为等势面，可知 点的电场强度方向应与 轴垂直，同一点电场强度的方向是唯一的，故 点的电
场强度一定为零，故D正确。
故选BD。
9．（2023·辽宁·高考真题）（多选）图（a）为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图
（b）为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则（ ）
A．P点电势比M点的低
B．P点电场强度大小比M点的大
C．M点电场强度方向沿z轴正方向
D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
【答案】CD
【详解】A．因P点所在的等势面高于M点所在的等势面，可知P点电势比M点的高，选项A错误；
B．因M点所在的等差等势面密集，则M点场强较P点大，即P点电场强度大小比M点的小，选项B错
误；C．场强方向垂直等势面，且沿电场线方向电势逐渐降低，可知M点电场强度方向沿z轴正方向，选
项C正确；D．因x轴上个点电势相等，则沿x轴运动的带电粒子，则电势能不变，选项D正确。
故选CD。
10．（2023·海南·高考真题）（多选）如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中 带正电，
带负电， 为 边的四等分点，下列说法正确的是（ ）A． 、 两点电场强度相同 B． 、 两点电势相同
C．负电荷在 点电势能比在 点时要小 D．负电荷在 点电势能比在 点时要大
【答案】BC
【详解】A．根据场强叠加以及对称性可知，MN两点的场强大小相同，但是方向不同，选项A错误；B．
因在AB处的正电荷在MN两点的合电势相等，在C点的负电荷在MN两点的电势也相等，则MN两点电
势相等，选项B正确；CD．因负电荷从M到O，因AB两电荷的合力对负电荷的库仑力从O指向M，则
该力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，
则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点小；同理可知负电荷在N点的电势能比在
O点小。选项C正确，D错误。
故选BC。
11．（2022·天津·高考真题）如图所示，一正点电荷固定在圆心，M、N是圆上的两点，下列说法正确的是
（ ）
A．M点和N点电势相同
B．M点和N点电场强度相同
C．负电荷由M点到N点，电势能始终增大
D．负电荷由M点到N点，电场力始终做正功
【答案】A
【详解】AB．M、N是以O为圆心的圆上的两点，则电势相同，场强大小相等方向不同，A正确，B错误；
CD．由于两点电势相等，负电荷由M点到N点，电场力做功为零，电势能变化量为零，CD错误。
故选A。
12．（2022·福建·高考真题）平时我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为 的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点，其中a点位于
金属杆正上方，b、c等高。则下列说法正确的是（ ）
A．b、c两点的电势差 B．a点场强大小大于
C．a点场强方向水平向右 D．a点的电势低于c点
【答案】B
【详解】A．由图可知，b、c两点的电势差为 ，故A错误；B．由图可知，a点
与相邻两等势面的距离小于 ，电势差等于 ，根据 ，可知a点场强大小大于 ，故B
正确；C．根据场强方向垂直于等势面，可知a点的场强方向沿竖直方向，不是水平方向，故C错误；D．
由图可知，a点与c点在同一等势面上，电势均为 ，故D错误。
故选B。
13．（2022·湖南·高考真题）如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、
b、c、d上。移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于长方体几何中心O点处电场强
度方向和电势的变化，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度方向垂直指向a，电势减小
B．电场强度方向垂直指向c，电势减小
C．电场强度方向垂直指向a，电势增大
D．电场强度方向垂直指向c，电势增大
【答案】A
【详解】根据对称性可知，移去a处的绝缘棒后，电场强度方向垂直指向a，再根据电势的叠加原理，单
个点电荷在距其r处的电势为 （取无穷远处电势为零）现在撤去a处的绝缘棒后，q减小，则O点的电势减小。
故选A。
14．（2022·山东·高考真题）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电
量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为 的小圆弧上的电荷。将一点
电荷q置于 延长线上距O点为 的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为
（ ）
A．正电荷， B．正电荷，
C．负电荷， D．负电荷，
【答案】C
【详解】取走A、B处两段弧长均为 的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度
为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长
非常小，故可看成点电荷，则有 ，由图可知，两场强的夹角为 ，则两者的合场强
为 ，根据O点的合场强为0，则放在D点的点电荷带负电，大小为 ，根据
，联立解得 ，
故选C。15．（2022·重庆·高考真题）（多选）如图为两点电荷Q、 的电场等势面分布示意图，Q、 位于x轴
上，相邻等势面的电势差为 。若x轴上的M点和N点位于 等势面上，P为某等势面上一点，则（
）
A．N点的电场强度大小比M点的大
B．Q为正电荷
C．M点的电场方向沿x轴负方向
D．P点与M点的电势差为
【答案】AD
【详解】A．等差等势线的密度体现场强的大小，由图可知N点的等差等势线比M点更密，则N点的电场
强度大小比M点的大，故A正确；B．沿着电场线电势逐渐降低，由图可知电场线由N指向Q，则Q为负
电荷，故B错误；C．沿着电场线电势逐渐降低，结合各等势线的电势高低关系可知M点的电场方向沿x
轴正方向，故C错误；D．M点与N点等势均为0V，P点与N点的等势线间隔四个，而相邻等势面的电势
差为 ，则P点与M点的电势差为 ，故D正确。
故选AD。
16．（2022·海南·高考真题）（多选）某带电体周围的电场线和等势面如图所示，设A点的电场强度为 ，
电势为 ，B点的电场强度为 ，电势为 ，则有（ ）A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】AB．根据电场线的疏密程度表示电场的强弱，电场线越密，电场强度越大，则B点的电场强度
较大，即 ，故A错误，B正确；CD．根据电场线与等势面垂直，且电势较高的等势面指向电势较
低的等势面，所以B点的电势较大，即 故C错误，D正确。
故选BD。
17．（2021·江苏·高考真题）一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，O为球心，
A、B为直径上的两点， ，现垂直于 将球面均分为左右两部分，C为截面上的一点，移去左半
球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则（ ）
A．O、C两点电势相等
B．A点的电场强度大于B点
C．沿直线从A到B电势先升高后降低
D．沿直线从A到B电场强度逐渐增大
【答案】A
【详解】A．由于球壳内部的场强为零，补全以后可知在左右侧球壳在C点的合场强为零，因左右球壳的
场强具有对称性，要想合场强为零只能是两部分球壳在C点的场强都是水平方向，则可以知道右侧球壳在
C点的合场强水平向左，同理OC上其他点的场强都是水平向左，因此OC是等势线，故A正确；BD．将
题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和
E2；由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知E1=E2，根据对称性，左右半球在B点产生的电
场强度大小分别为E2和E1，且E1=E2，在图示电场中，A的电场强度大小为E2，方向向左，B的电场强度大小为E1，方向向左，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，沿直线从A到B电场强度不可能
逐渐增大，故BD错误；C．根据电场的叠加原理可知，在AB连线上电场线方向向左，沿着电场线方向电
势逐渐降低，则沿直线从A到B电势升高，故C错误；
故选A。
18．（2021·辽宁·高考真题）等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表
示电场线，虚线表示等势线。将同一负电荷先后置于a、b两点，电势能分别为E 和E ，电荷所受电场力
pa pb
大小分别为F 和F，则（ ）
a b
A． ，F>F B． ，FF D． ，F0)，O为球心，A为球壳外一点，AO=x。已知球壳I在A点形成的
电场强度为E，规定距О点无限远处的电势为零，下列说法正确的是（ ）
1
A．O点电场强度为零，电势为零
B．球壳I在O点形成的电场强度水平向右C．球壳II在A点形成的电场强度大小
D．球壳I和球壳II在A点形成的电势相等
【答案】C
【详解】A．球壳靠的很近，间距可忽略，根据对称性，O点电场强度为零，两球壳均匀带有负电荷，距
О点无限远处的电势为零，O点电势为负，故A错误；B．根据对称性可以判断，球壳带负电，球壳Ⅰ在
O点形成的电场强度水平向左，故B错误；C．把两球壳当成整体，在A点形成的电场强度为 ，
沿OA自A指向O，两球壳在A点分别形成的电场强度方向均沿OA自A指向O，则 ，解得
，故C正确；D．电势是标量，球壳Ⅰ和球壳Ⅱ电荷量相等，球壳Ⅱ距离A点近，形成的电
势低，故D错误。
故选C。
34．（2023·广西·统考三模）如图所示为一正点电荷M和一金属板N形成的电场线，a，b、c为电场中的
三点，则下列说法正确的是（ ）
A．正电荷在a，b两点的电势能大小关系为
B．同一电荷在a，c点处的加速度大小关系为
C．a，c两点的电势关系为
D．一正点电荷仅在电场力作用下可以由a点沿电场线运动到b点
【答案】B
【详解】A．沿着电场线的方向电势逐渐降低，知 ；又根据 可知，正电荷在a，b两点的电
势能大小关系为 ，故A错误；B．电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，则
a，c两点的电场强度大小关系为 ，由牛顿第二定律有 ，可知，同一电荷在a，c点处的加速度大小关系为 ，故B正确；C．沿电场线方向电势降低，所以a点电势比c点的电势高，即 ，
故C错误；D．电荷所受电场力的方向沿电场线的切线方向，所以运动轨迹不会与电场线重合，故D错误。
故选B。
35．（2023·山东青岛·统考模拟预测）如图所示，正立方体 ，上下底面的中心为O和 ，
、C两点分别固定等量的正点电荷和负点电荷，下列说法正确的是（ ）
A．B点与 点的电场强度大小相等、方向相同
B．O点与 点的电场强度大小相等、方向相同
C．平面 是一个等势面
D．将正试探电荷 由O点沿直线移动到 点，其电势能一直减小
【答案】B
【详解】A．电场强度是矢量，其叠加遵循平行四边形定则，因为 位置为正电荷，C点的位置为负电荷，
由电场的叠加可知，在B点与 点的电场强度的方向不同，故A项错误；B．电场强度是矢量，其叠加遵
循平行四边形定则，因为 位置为正电荷，C点的位置为负电荷，由电场的叠加可知，在O点与 点的电
场强度的方向相同。设正方体的边长为l，结合几何关系，则正电荷在O点的电场强度大小为 ，负电
荷在O点的电场强度大小为 ，正、负电荷的带电量为Q，有 ， ，所以O点的场强为 ，正电荷在 点的电场强度大小为 ，负电荷在 点的电场强度大小为
，有 ， ，所以 点的场强为 ，所以O点与
点的电场强度大小相等、方向相同，故B项正确；C．因为正负电荷是等量异种电荷，而 点更靠近正
电荷，D点更靠近负电荷，所以 点的电势大于D点的电势，即平面 不是等势面，故C项错误；
D．因为O点更靠近负电荷， 更靠近正电荷，所以 点的电势要大于O点的电势，由与是正好试探电
荷，根据电势能的定义，即 所以电势高的地方，其电势能大，即该试探电荷在 点的电势能大于
O点的电势能。所以有将正试探电荷 由O点沿直线移动到 点，其电势能增加，故D项错误。
故选B。
36．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强
电场，可以使发散的电子束聚集。如图所示，图中实线表示电场线，虚线表示电子可能的一条运动轨迹。
设电场中M、N两点的电势分别为 、 ，电子在M、N两点的加速度大小分别为 、 ，电势能分
别为 、 ，动能分别为 、 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】AB．根据电子的运动轨迹，电子受电场力方向指向轨迹的凹向，可知在M点时电子受电场力指
向右下方向，可知电场线大致向左，沿电场线电势逐渐降低，可知 ，因N点电场线较M点密集，可知N点场强较大，电子在N点的加速度较大，即 ，选项AB错误；CD．若电子从M点到N点，
则电场力做正功，动能增加，电势能减小，则 ， ，选项C正确，D错误。
故选C。
37．（2023·云南·校联考模拟预测）如图所示，a、b、c、d、e是两个等量异种点电荷形成的电场中的等差
等势面，一电荷量为q的带正电的粒子，只受该电场的作用，在该电场中运动的轨迹如图中实线 所
示，已知电场中b、c两等势面的电势分别为 。则下列说法正确的是（ ）
A．
B．带电粒子经过P点和N点时速度相同
C．带电粒子从M点运动到N点电场力做的功为
D．带电粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
【答案】D
【详解】A．根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，且带电粒子带正电，则正电荷在上方，负电荷在下
方，等势面电势由a到e逐渐降低，则 ，故A错误；B．P、N两点在等势面上，电场力不做功，带
电粒子经过P和N位置时速度大小相等，曲线运动的速度方向沿轨迹切线方向，则带电粒子经过P和N位
置时速度方向不同，故B错误；C．带电粒子从M点运动到N点电场力做的功为 ，故
C错误；D．M位置等势面较稀疏，电场强度较小，电场力较小，加速度较小，故D正确。
故选D。
38．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校联考模拟预测）（多选）如图，以正方形abcd的中心为原点
建立直角坐标系 ，坐标轴与正方形的四条边分别平行。在a、c两点分别放置正点电荷，在b、d两点
分别放置负点电荷，四个点电荷的电荷量大小相等。以O点为圆心作圆，圆的半径与正方形的边长相等，
圆与坐标轴分别交于M、N、P、Q四点。规定无穷远处电势为零，下列说法正确的是（ ）A．N点电场强度方向沿x轴正向
B．M点和N点电势相同
C．另一正点电荷从M点沿x轴移动到P点电场力先做正功后做负功
D．另一正点电荷沿圆周移动一周，电场力始终不做功
【答案】AB
【详解】A．a、b处点电荷在N点形成的电场强度方向沿x轴正方向，c、d处点电荷在N点形成的电场强
度方向沿x轴负方向，由等量异种点电荷在空间形成的电场的特点可知a、b处点电荷在N点形成的电场强
度大于c、d处点电荷在N点形成的电场强度，所以N点场强方向沿x轴正方向，故A正确；B．a、b处点
电荷在N点形成的电势为零，c、d处点电荷在N点形成的电势也为零；同理，a、d处点电荷在M点形成
电势也为零，b、c处点电荷在M点形成电势也为零，所以M点和N点电势均为零，故B正确；C．x轴为
等势面，电荷移动过程电场力做功为零，故C错误；D．根据电势叠加原理，圆周上各点电势变化，所以
另一正点电荷沿圆周移动一周，电场力会对其做功，故D错误。
故选AB。
39．（2023·河北·校联考模拟预测）（多选）如图，A、B、C是某电场中电势分别为2V、4V、6V的三条
等势线，实线为一带电粒子在电场中运动的轨迹，P、Q为轨迹与等势线A、C的交点。若带电粒子只受电
场力作用，则下列说法正确的是（ ）
A．该粒子带正电
B．该粒子在P点的动能大于其在Q点的动能
C．该粒子在P点的电势能大于其在Q点的电势能
D．该粒子在P点受到的电场力大于其在Q点受到的电场力
【答案】AB
【详解】A．电场方向总是由高电势指向低电势，根据带电粒子做曲线运动的轨迹可知，粒子受电场力方向一定指向运动轨迹的凹侧，故粒子一定带正电，A项正确；BC．带正电粒子在高电势处的电势能大，故
粒子在P点的电势能小于其在Q点的电势能，由带电粒子在电场中的动能与电势能的和不变，可知P点的
动能大于其在Q点的动能，B项正确，C项错误；D．等势线的疏密与电场线的疏密是一致的，故Q点的
电场强度较大，粒子在Q点受到的电场力较大，D项错误。
故选AB。
40．（2024·山东德州·校联考模拟预测）（多选）如图所示，真空中的正三棱柱 ，在A点固
定一个电荷量为 的点电荷，C点固定一个电荷量为 的点电荷，已知 ，静电力常量为
k，选取无穷远处电势为0。则下列说法正确的是（ ）
A．将一负试探电荷从 点移到 点，其电势能一直增大
B．将一正试探电荷沿直线从B点移到 点，电场力做正功
C． 、 两点的电势差大于 、 两点的电势差
D． 点的电场强度大小为
【答案】AD
【详解】A．根据电荷的分布可知，负试探电荷从 点移到 点，电场力始终做负功，则其电势能增加，
故A正确；B．因为B点和 点在等量异种电荷的中垂面上，而其中垂面为零等势面，因此电荷沿直线从
B点移到 点，电场力不做功，故B错误；C． 点和 点关于等量异种电荷的中垂面对称，因此 、
两点的电势差等于 、 两点的电势差，故C错误；D．根据场强叠加原理，如图所示
可得 场强大小为 ，而 ，解得 ，故D正确。
故选AD。
41．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）（多选）如图所示，MN是负点电荷电场中的一条电场线，一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（ ）
A．带电粒子从a到b运动的过程中动能逐渐增大
B．带电粒子在a点时的电势能大于在b点时的电势能
C．带电粒子在a点时的加速度大于在b点时的加速度
D．负点电荷一定位于M点左侧
【答案】CD
【详解】A．由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，电场力指向轨迹内侧，电场力方向大致向左，对
带电粒子做负功，其动能减小，故A错误；B．电场力对带电粒子做负功，电势能增大，则带电粒子在a
点的电势能小于在b点的电势能，故B错误；C．由上得知，带正电粒子的电场力向左，电场线由N指向
M，说明负电荷在直线MN左侧，a点离点电荷较近，a点的电场强度大于b点的电场强度，根据牛顿第二
定律知，带电粒子在a点的加速度大于在b点的加速度，C正确；
D．由C可知，D正确；
故选CD。
42．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）（多选）一种静电透镜的简化模型如图所示，以 为球心的球形
边界外部各处的电势均为 ，内部各处的电势均为 ， 。一束离轴很近的电子束沿平行于轴的方向
运动，在越过球形边界“壳层”的过程中，电子运动速度将发生变化。已知电子质量为 、电荷量为 ，
不计电子之间的相互作用力，则电子（ ）
A．进入“壳层”过程动能增加了
B．进入“壳层”过程动量增加了
C．进入“壳层”后可能沿着轨迹a运动
D．进入“壳层”后可能沿着轨迹b运动
【答案】AC【详解】A．因 ，即球形边界外电势低于球形内部电势，根据电场线指向电势低的方向则有电场线
从球心处指向外，则进入“壳层”过程由能量关系 ，动能增加了
，选项A正确；B．根据 ，但是 ，
况且电子进入“壳层”过程前后速度不共线，可知动量增加量不等于 ，选项B错误；CD．
由于是电子所带电荷为负电荷，所以受力方向与电场线方向相反，电场力方向偏向圆心，可知进入“壳
层”后可能沿着轨迹a运动，故C正确，D错误。
故选AC。
43．（2023·河北·校联考模拟预测）（多选）如图所示，某空间存在一匀强电场，电场中固定一个光滑的
半圆形轨道，电场强度的方向平行于轨道所在平面， 为轨道圆心，半径为R， 为半圆形轨道的
四等分点。 处放置一个粒子源，能向纸面内各个方向发射速率均为 的带电粒子，粒子的质量均为 、
电荷量均为 。已知在能打到轨道上的粒子中，运动到 点的粒子动能最大；且初速度水平向右的
粒子恰能运动到 点，不考虑粒子重力、粒子之间的相互作用和粒子在轨道上的反弹，下列说法正确的是
（ ）
A．匀强电场的场强大小为 ，方向由 指向
B．轨道上有粒子打到的弧长为
C．带电粒子运动到 点时，速度大小仍为 ，方向由 指向
D．带电粒子运动到 点时的动能
【答案】AC
【详解】A．如图所示，在能打到轨道上的粒子中，运动到D点的粒子动能最大，即A、D间电势差最大，
D为轨道上电势最低的位置，过d点做圆的切线，场强方向垂直切线，由O指向D，当粒子v0水平向右，从A到C的运动过程中，沿AC、垂直AC方向建立坐标系，运动满足 ，
，联立得 ，A正确；B．OD垂直AC，粒子在电场中做类斜抛运动，设v0与AC
夹角为θ时，粒子沿AC方向运动的距离x满足 ， ，联立得
，当θ=45°时，即初速度水平向右时，x最大，落点为C，故有粒子打到轨
道的弧长 ，B错误；C．AC垂直OD，A、C在同一等势面上，故v =v 再由类平抛运动的对称性
C 0
可知，vC方向与AC夹角也为45°，即由O指向C，C正确；D．从A运动到D，根据动能定理
，解得 ，
D错误。
故选AC。
44．（2024·广西贵港·统考模拟预测）（多选）如图所示，球心为 ，半径为 的球面下方有一处于水平
面的圆周，该圆周与球面直径 垂直，圆心为 。在该圆周上等分的三点位置 以及球面的最
高点处 点均固定一个电荷量为 的相同点电荷。已知 两点连线与球直径 的夹角 ，静电
力常量为 ，则下列说法正确的是（ ）A．在 点位置的点电荷受到的库仑力大小为
B． 点的电场强度为零
C．一带正电的点电荷，沿着球面直径 由 到 ，其电势能增加
D． 点的场强方向竖直向上
【答案】AD
【详解】A．由几何关系可以得到 、 间的距离为 ，由库仑力的合成可以得到点电荷 所受的库
仑力大小为 ，解得 ，故A正确；B．三个点电荷 、 、 在 点的场强为
零，点电荷 在 点的场强不为零，故 的场强不为零，B错误；C．在沿着球面直径 由 方向的
电场强度的方向向下，电场力对正的点电荷做正功，故电势能减小，故C错误；D．由几何关系知，
边线与 的夹角 ，则 、 、 三个点电荷在 处产生的场强大小为 ，方
向向上；点电荷 在 处产生的场强大小为 ，方向向下；所以 点处的合场强为 ，
方向向上，故D正确。
故选AD。
45．（2024·西藏拉萨·校联考一模）（多选）如图，虚线a，b、c为静电场中的等势线，实线为一带电粒
子在静电场中的运动轨迹，B点是曲线运动的拐点，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子从A点运动到B点的过程，加速度减小、速度增大
B．粒子从A点运动到B点的过程，电势能增大，动能减小
C．粒子从A点运动到B点电场力做功的绝对值大于从A点到C点电场力做功的绝对值
D．粒子运动到A点时的动能大于D点时的动能
【答案】BC
【详解】AB．因A点等势面密集，则电场线密集，则粒子从A点运动到B点的过程，电场强度减小，加
速度减小，电场力做负功，动能减小，速度减小，电势能增大，A项错误，B项正确；C．A、B点间的电势差比A、C点间的电势差大，因此粒子从A点运动到B点电场力做功的绝对值大于从A点到C点电场力
做功的绝对值，C项正确；D．A点和D点在同一等势面上，粒子运动到A点的动能等于D点时运动，D
项错误。
故选BC。
考向二 电场中的图像问题
46．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图甲所示，两个带有异种电荷的小球穿在绝缘圆环上，a、b、c、
d为圆环与坐标轴的四个交点。球2固定在某位置（图中没有画出），球1从a处开始沿圆环逆时针移到c
处，设球1与坐标原点O的连线跟x轴正方向的夹角为θ，图乙和图丙分别为两个小球在坐标原点O产生
的电场强度在x方向和y方向的大小与夹角θ的关系图线，则（ ）
A．球2固定在d处
B．球1带负电荷、球2带正电荷
C．球1与球2的电荷量之比为4：5
D．球1受到的电场力先增大后减小
【答案】A
【详解】AB．根据图乙可知，当球1位于b点时，坐标原点O处在 方向的场强为零，则可知球2一定在
轴上，否则其产生的场强总会在 轴方向上有分量，且随着球1从a到c，坐标原点O处在 方向的场强
先沿着 轴负方向，再沿着 轴正方向，由此可知球1带正电，则球2带负电，而若球2在d处，在其在坐
标原点O处产生的场强与球1在坐标原点O处产生的场强在 轴正方向的场强不为零，但由图丙可知，坐
标原点O处 轴方向上的场强总是沿着 轴负方向的，因此可知球2一定在b处，故A正确，B错误；
C．设圆的半径为 ，由图乙可得，当球1在a点时 ， ，可得
，故C错误；D．根据库伦定律可得，小球1受到的电场力 ，在球1沿着圆环从a到
c的过程中，两球之间的距离 先增大，后减小，则可知球1受到的电场力先减小后增大，故D错误。
故选A。
47．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）（多选）竖直平面内有一匀强电场，以水平向右为正方向建立x轴，
x轴上各点电势的变化规律如图所示。将一带正电的小球从原点O无初速释放，小球沿x轴运动，经0.4s到达x=6dm处。已知小球的质量为 ， ，则（ ）
A．匀强电场的场强大小为24V/m
B．小球所带电荷量为
C．电场强度方向沿x轴正方向
D．小球运动到x=6dm处的电势能为
【答案】BD
【详解】C．将一带正电的小球从原点O无初速释放，小球沿x轴运动，则竖直方向小球受平衡力，竖直
方向上的电场强度方向竖直向上；水平方向带正电的小球受力方向沿x轴正方向，所以水平方向电场强度
方向向右，所以电场强度的方向向右上方，故C错误；B．带正电的小球从原点O无初速释放，小球沿x
轴做匀速直线运动，由 ，解得 ，由牛顿第二定律可得 ，解得小球所
带电荷量为 ，故B正确；A．水平方向匀强电场的场强大小为
，竖直方向小球受平衡力 ，解得
，匀强电场的场强大小为 ，故A错误；D．小
球从原点O无初速释放，运动到x=6dm处电场力做功 ，所以小球从原点O无初速释
放，运动到x=6dm处电势能降低 ，电势能为 ，故D正确。
故选BD。
48．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考一模）（多选）如图甲所示，粗糙、绝缘的水平地面上，一质量m=1kg的带负电小滑块(可视为质点)在x=1m处以v=2m/s的初速度沿x轴正方向运动，滑块与地面
0
间的动摩擦因数μ=0.05。在x=0 及x=5m处有两个电性未知，电荷量分别为 的点电荷场源，滑块
在不同位置所具有的电势能E 如图乙所示，P点是图线最低点，虚线AB是图像在x=1m处的切线，
p
下列说法正确的选项是（ ）
A．滑块在x=3m处所受合外力小于 0.5N
B．两场源电荷均带负电，且|Q|>|Q|
1 2
C．滑块向右运动过程中，速度始终减小
D．滑块向右一定可以经过x=4m处的位置
【答案】BD
【详解】A．Ep-x图像斜率的绝对值表示滑块所受电场力的大小，滑块在 x=3m处所受电场力为0，所受
合外力 ，故A错误；B．在x=3m处电场力为0，电场强度为0，则 ，由于 ，
所以 ，滑块在x=3m处电势能最低，因为滑块带负电，所以x=3m处的电势最高，两场源电荷均
带负电，故B正确；C．滑块在x=1m处所受电场力大小为 ，所以在 处，滑块
所受电场力与滑动摩擦力方向相反，电场力大于摩擦力，则滑块加速运动，故C错误；D．滑块在x=1m
处的电势能与在x=4m处的电势能相等，根据能量守恒定律，若滑块能够经过x=4m处，则应满足
，由 ， ，根据题中数据可知实际情况并满足上
式，所以滑块一定可以经过x=4m处的位置，故D正确。
故选BD。
49．（2023·黑龙江·校联考一模）（多选）沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E
随x的变化规律如图所示，x轴正方向为电场强度E的正方向，坐标轴上的点O、x、x 和x 分别与x轴上
1 2 3
O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能
为E，仅考虑电场力作用，则下列说法正确的是（ ）
kA．从O点到C点，电势先升高后降低
B．从O点到C点，粒子做变加速运动
C．粒子运动到C点时动能大于3E
k
D．粒子在AB段电势能减少量小于BC段电势能减少量
【答案】BC
【详解】A．由O点到C点，是沿电场方向，电势一直降低，故A错误；B．电场强度大小一直在变化，
电场力也就在不断变化，带正电的粒子的加速度在不断变化，是变加速运动，故B正确；C．根据E随x
的变化规律可知，由A到C电场强度平均值大于OA段电场强度平均值，粒子运动到A点的动能为E，则
k
从O到A电场力做功为Ek，从A到C电场力做功大于2Ek，则粒子运动到C点时动能大于3E，故C正确；
k
D．AB段平均电场强度大于BC段平均电场强度，则粒子在AB段平均电场力大于BC段平均电场力，则
AB段电场力做的功大于BC段电场力做的功，所以在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，故D
错误。
故选BC。02 带电粒子在电场中的运动
考向一 带电粒子在电场中的加速和偏转
1．（2023·浙江·高考真题）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，
沿着由半径分别为R 和R 的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电
1 2
场强度大小分别为E 和E，则R、R 和E、E 应满足（ ）
1 2 1 2 1 2
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】带电粒子在电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，则有 , ，联立可得
。
故选A。
2．（2023·湖北·高考真题）（多选）一带正电微粒从静止开始经电压 加速后，射入水平放置的平行板电
容器，极板间电压为 。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为 ，微粒运动轨迹的最高
点到极板左右两端的水平距离分别为 和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。
下列说法正确的是（ ）A．
B．
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
【答案】BD
【详解】B．粒子在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线直线运动，根据电场强度
和电势差的关系及场强和电场力的关系可得 ， ，粒子射入电容器后的速度为 ，水平
方向和竖直方向的分速度 ， ，从射入到运动到最高点由运动学关
系 ，粒子射入电场时由动能定理可得 ，联立解得 ，B正确；A．粒子从射入
到运动到最高点由运动学可得 ， ，联立可得 ，A错误；C．粒子穿过电容器
时从最高点到穿出时由运动学可得 ， ，射入电容器到最高点有 ，解得 ，设粒
子穿过电容器与水平的夹角为 ，则 ，粒子射入电场和水平的夹角为 ,
，C错误；D．粒子射入到最高点的过程水平方向的位移为 ，竖直方向的位
移为 ，联立 ， ， ，解得 ，且 ， ，即解
得 ，即粒子在运动到最高点的过程中水平和竖直位移均与电荷量和质量无关，最高点到射
出电容器过程同理 ， ， ，即轨迹不会变化，D正确。
故选BD。3．（2022·福建·高考真题）（多选）我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示。放电通
道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被
电离的比例。工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力。某
次测试中，氙气被电离的比例为95%，氙离子喷射速度为 ，推进器产生的推力为 。已知
氙离子的比荷为 ；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的
相互作用，则（ ）
A．氙离子的加速电压约为
B．氙离子的加速电压约为
C．氙离子向外喷射形成的电流约为
D．每秒进入放电通道的氙气质量约为
【答案】AD
【详解】AB．氙离子经电场加速，根据动能定理有 ，可得加速电压为 ，故
A正确，B错误；D．在 时间内，有质量为 的氙离子以速度 喷射而出，形成电流为 ，由动量定理
可得 ，进入放电通道的氙气质量为 ，被电离的比例为 ，则有 ，联立解得
，故D正确；C．在 时间内，有电荷量为 的氙离子喷射出，则有
， ，联立解得 ,故C错误。
故选AD。
4．（2022·浙江·高考真题）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长
为L（不考虑边界效应）。t=0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v 的相同粒子，垂直M板
0
向右的粒子，到达N板时速度大小为 ；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒
子间的相互作用，则（ ）A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度
D．粒子从N板下端射出的时间
【答案】C
【详解】A．由于不知道两粒子的电性，故不能确定M板和N板的电势高低，故A错误；B．根据题意垂
直M板向右的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电势能减小；则平行M板向下
的粒子到达N板时电场力也做正功，电势能同样减小，故B错误；CD．设两板间距离为d，对于平行M
板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有 ， ，对于垂直M板向右
的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，在电场中加速度相同，有 ，联立解
得 ， ，故C正确，D错误；
故选C。
5．（2023·北京·高考真题）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小
球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度
保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考
虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压 ；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为 ，其中r为颗粒的
半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压 ；b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为 和 的
两种颗粒，若 的颗粒恰好100%被收集，求 的颗粒被收集的百分比。
【答案】（1） ；（2）a、 ；b、25%
【详解】（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，水平方向有
竖直方向
根据牛顿第二定律
又
解得
（2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向
且
解得b. 带电荷量q的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等
于电场力，有
在竖直方向颗粒匀速下落
的颗粒带电荷量为
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有
设只有距下极板为 的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落
解得
的颗粒被收集的百分比
6．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一
质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动 距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）两极板间的场强带电粒子所受的静电力
（2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有
解得
（3）设带电粒子运动 距离时的速度大小为v′，根据功能关系有
带电粒子在前 距离做匀加速直线运动，后 距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有 ，
则该粒子从M板运动到N板经历的时间
考向二 带电粒子在电场中的综合问题
7．（2022·浙江·高考真题）（多选）如图为某一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为 ， a
为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
【答案】BC
【详解】A．根据电场力提供向心力可得 ，解得 ，可知轨道半径r小的粒子角速度大，故A错误；BC．根据电场力提供向心力可得 ，解得 ，又 ，联立可得
，可知电荷量大的粒子的动能一定大，粒子的速度大小与轨道半径r一定无关，故BC正确；D．
磁场的方向可能垂直纸面向内也可能垂直纸面向外，所以粒子所受洛伦兹力方向不能确定，粒子可能做离
心运动，也可能做近心运动，故D错误。
故选BC。
8．（2022·湖北·高考真题）（多选）如图所示，一带电粒子以初速度v 沿x轴正方向从坐标原点О射入，
0
并经过点P（a>0，b>0）。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从О到Р运动的时间为
t，到达Р点的动能为E 。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到Р运动的时间为
1 k1
t，到达Р点的动能为E 。下列关系式正确的是·（ ）
2 k2
A．t t
1 2 1 2
C．E E
k1 k2 k1 k2
【答案】AD
【详解】AB．该过程中由方向平行于y轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，沿x轴正方向做匀速
直线运动；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，此时粒子做匀速圆周运动，沿x轴正方向分
速度在减小，根据 ，可知t1Ek2，故C错误，D正
确。
故选AD。
9．（2021·福建·高考真题）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N四点距O点的距离均为 ，O为
水平连线 的中点，M、N在 连线的中垂线上。A、B两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q（
）。以O为原点，竖直向下为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则 上的电势 随位置
x的变化关系如图（b）所示。一电荷量为Q（ ）的小球 以一定初动能从M点竖直下落，一段时间后经过N点，其在 段运动的加速度大小a随位置x的变化关系如图（c）所示。图中g为重力加速度大
小，k为静电力常量。
（1）求小球 在M点所受电场力大小。
（2）当小球 运动到N点时，恰与一沿x轴负方向运动的不带电绝缘小球 发生弹性碰撞。已知 与
的质量相等，碰撞前、后 的动能均为 ，碰撞时间极短。求碰撞前 的动量大小。
（3）现将 固定在N点，为保证 能运动到N点与之相碰， 从M点下落时的初动能须满足什么条件？
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设A到M点的距离为 ，A点的电荷对小球 的库仑力大小为 ，由库仑定律有
①
设小球 在 点所受电场力大小为 ，由力的合成有 ②
联立①②式，由几何关系并代入数据得 ③
（2）设O点下方 处为 点， 与 的距离为 ，小球 在 处所受的库仑力大小为 ，由库仑定律和
力的合成有 ④
式中设小球 的质量为 ，小球 在 点的加速度大小为 ，由牛顿第二定律有 ⑤
由图（c）可知，式中
联立④⑤式并代入数据得 ⑥
设 的质量为 ，碰撞前、后 的速度分别为 ， ， 碰撞前、后的速度分别为 ， ，取竖直向
下为正方向。由动量守恒定律和能量守恒定律有
⑦
⑧
设小球S2碰撞前的动量为 ，由动量的定义有 ⑨
依题意有
联立⑥⑦⑧⑨式并代入数据，得 ⑩
即碰撞前 的动量大小为 。
（3）设O点上方 处为D点。根据图（c）和对称性可知， 在D点所受的电场力大小等于小球的重力
大小，方向竖直向上， 在此处加速度为0； 在D点上方做减速运动，在D点下方做加速运动，为保证
能运动到N点与 相碰， 运动到D点时的速度必须大于零。
设M点与D点电势差为 ，由电势差定义有 ⑪
设小球 初动能为 ，运动到D点的动能为 ，由动能定理有
⑫⑬
由对称性，D点与C点电势相等，M点与N点电势相等，依据图（b）所给数据，并联立⑥⑪⑫⑬式可
得 ⑭
65．（2021·北京·高考真题）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相
互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、
质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过
N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线
的距离为d，求该粒子离开N时的动能 。
【答案】（1） ；（2） ，方向垂直导体板向下；（3）
【详解】（1）粒子直线加速，根据功能关系有
解得
（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡
得
方向垂直导体板向下。
（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有
解得10．（2023·四川成都·统考一模）如图，在第一象限0≤x≤2L区域内存在沿y轴正方向的匀强电场 （未
知），2L
