文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 02 求最值中的几何模型
题型解读｜模型构建｜通关试练
模型01 将军饮马模型
将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能
力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型.在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；
②两点之间，线段最短； ③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之
和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清
晰的认识.
模型02 建桥选址模型
建桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含
有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用
勾股定理求解的方法.该题型主要考查了在最短路径问题中的应用，涉及到的主要知识点有矩形的性质、平
行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径.
模型03 胡不归模型
胡不归PA+k·PB”型的最值问题：当k等于1时，即为“PA+PB”之和最短问题，可用我们常见的“将
军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理.当k不等于1时，若再以常规的轴对称思想来
解决问题，则无法进行，因此必须转换思路.此类问题的处理通常以动点P所在图象的不同来分类，一般分
为两类研究.即点P在直线上运动和点P在圆上运动.其中点P在直线上运动的类型通常为“胡不归”问题.
模型01 将军饮马模型
考｜向｜预｜测
将军饮马模型问题该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在
各类考试中都以中高档题为主.本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和
性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数
学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移
第二步： 同侧做对称点变异侧，异侧直接连线
第三步： 结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点
第四步： 利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型
（1）点A、B在直线m两侧
A A
两点连线，线段最短
m m
P
B B
例1．（2023·四川）如图，等边三角形 的边 上的高为6， 是 边上的中线，M是线段 上
的-一个动点，E是 中点，则 的最小值为 ．
（2）点A、B在直线同侧
A
B
m
A P
B
m A'
例2.（2022·安徽）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，
Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（ ）
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．6 B．6 C．3 D．3
模型02 建桥选址模型
考｜向｜预｜测
建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对
称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”等，
但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点
之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；
第二步： 分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，
点的横、纵坐标的变化规律等）
第三步： 周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变
化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵
坐标相等；
第四步： 利用有理数的运算解题
（1）两个点都在直线外侧：
辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.
A
A
m
m
P' P
n n
Q' Q
B B
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例1．（2022·湖北）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边
△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．求PD+PQ+QE的最小值为
△
．
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值
为AB’.
A
m
A
m P
B
B n
Q
n B'
例2．（2023·山东）如图，在 中， ， ， ，直线 是 中 边的垂直平分
线， 是直线 上的一动点，则 的周长的最小值为_________．
（3）如图3，两个点都在内侧：
辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m、n于点P、Q，则
PA+PQ+QA的最小值为A’B’.
A'
m
A
m
P
A
B
Q
B n
n B'
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
模型03 胡不归模型
考｜向｜预｜测
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中
常以压轴题的形式考查，学生不易把握.本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便
掌握.在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短.
答｜题｜技｜巧
第一步： 构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型；
第二步： 借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；
第三步： 利用“垂线段最短”原理构造最短距离；
第四步： 数形结合解题
例1．（2023·江苏）如图， 中， ， ， ，P为边 上一动点，则
的最小值等于 ．
1．（2023·江苏扬州）如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用 表示）饮马，再去同侧的D地
开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你
认为符合要求的图形是（ ）
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
2．（2023.浙江）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边
上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF= .
3．（2022·安徽）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找
一点N，使 PMN周长最小，则此时 PMN的周长为 ．
△ △
4．（2023·广东）如图，在 中， ， ， ， ， 是 的平
分线，若点 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是______．
5．（2023·江苏）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线 的距离分别为
， ， ．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距
离之和最小，则这个最短距离为 ．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
6．（2023·浙江）已知点P是 ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫 ABC的
费马点（Fermat point）．已经△证明：在三个内角均小于120°的 ABC中，当∠APB=∠APC=∠B△PC=120°
△
时，P就是 ABC的费马点．若点P是腰长为 的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=（
△
）
A． B． C．6 D．
7．（2023·浙江）如图，平行四边形 中， ， ， ，P为边CD上的一动点，
则 的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川）如图，在 中， ，若D是 边上的动点，则
的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．（2023·湖南）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线 同旁有两个定点A、B，在直线 上存在点 ，使得 的值最小．解法：如图1，作A点关于直
线 的对称点 ，连接 ，则 与直线 的交点即为 ，且 的最小值为 ．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2， 中， ， ， 是 的中点， 是 边上的一动点，则
的最小值为 ；
(2)几何拓展：如图3， 中， ， ，若在 、 上各取一点 、 使 的
值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
10．（2023·陕西）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．
问题提出：
(1)如图1所示，已知A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，并连接 与 ，使
的值最小．
问题探究：
(2)如图2所示，正方形 的边长为2，E为 的中点，P是 上一动点．连接 和 ，则
的最小值是___________；
问题解决：
(3)某地有一如图3所示的三角形空地 ，已知 ，P是 内一点，连接 后测得
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
米，现当地政府欲在三角形空地 中修一个三角形花坛 ，点 分别是 边上的
任意一点（不与各边顶点重合），求 周长的最小值．
1．（2023·山东）如图，已知点 ， ， ， ， 为直线 上一动点，则
的对角线 的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
2．（2023·上虞市）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上
的动点，若 PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
△
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．15 B．30 C．45 D．60
3．（2023·山东）如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F为 边上的一
个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（
）
A． B． C．3 D．
4．（2023·四川）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝
120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
5．（2023·湖北）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在
线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
6．（2023·北京）如图， 是 内一定点，点 ， 分别在边 ， 上运动，若 ，
，则 的周长的最小值为 .
7．（2023·广东）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重
合），则 AP+PD的最小值为_____．
8．（2023·广东）如图，在 中， ， ， . ， 分别是边 ， 上的
动点，且 ，则 的最小值为 ．
9．（2023·内蒙古）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，
则MA+MB+MD的最小值是________．
10．（2023·浙江）如图，河的两岸有 ， 两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥 （河
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的两岸互相平行， 垂直于河岸），现测得 ， 两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且 ，
两点之间的水平距离为12米，则 的最小值是 米．
11．（2023·广东）如图所示，已知O为坐标原点，矩形 （点A与坐标原点重合）的顶点D、B分别
在x轴、y轴上，且点C的坐标为 ，连接 ，将 沿直线 翻折至 ，交 于点E．
(1)求点 坐标．
(2)试在x轴上找点P，使 的长度最短，请求出这个最短距离．
12．（2023·吉林）数学兴趣活动课上，小致将等腰ABC的底边BC与直线l重合．
ABC AB AC 4,BAC 120 P BC l
（1）如图(1)，在 中， ，点 在边 所在的直线 上移动，根据“直线外
一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP的最小值是____________．
（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当AP最短时，如图(2)，在ABP中，作AD平
分BAP,交BP于点D,点E、F分别是边AD、AP上的动点，连结PE、EF,小致尝试探索PEEF的最小
值，小致在AB上截取AN,使得AN AF,连结NE,易证VAEF≌VAEN ，从而将PEEF转化为PEEN,
转化到（1）的情况，则PEEF的最小值为 ；
ABC ACB90,B30o,AC 6 D CB AD,
（3）解决问题：如图(3)，在 中， ，点 是边 上的动点，连结
将线段AD绕点A顺时针旋转60，得到线段AP,连结CP，求线段CP的最小值．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
13．（2023·河南）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”
诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请
问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如图1，从 出发向河岸引垂线，垂足为 ，在 的延长线上，取 关于河岸的对称点 ，
连接 ，与河岸线相交于 ，则 点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到 ，饮马之后，
再由 沿直线走到 ，所走的路程就是最短的．
(1)观察发现
如图2，在等腰梯形 中， ，点 、 是底边 与 的中点，连接
，在线段 上找一点 ，使 最短．
作点 关于 的对称点，恰好与点 重合，连接 交 于一点，则这点就是所求的点 ，故
的最小值为_______．
(2)实践运用
如图3，已知 的直径 ，点A在圆上，且 的度数为 ，点 是弧 的中点，点 在直径
上运动，求 的最小值．
(3)拓展迁移
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图，已知抛物线 的对称轴为 ，且抛物线经过 两点，与 轴
交于另一点 ．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线 上找到一点 ，使 周长最小，请求出此时点 的坐标与 周
长最小值．
14
