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压轴题 04
圆的综合
目 录
题型一 切线的判定
题型二 圆中求线段长度
题型三 圆中的最值问题
题型四 圆中的阴影部分面积
题型五 圆中的比值（相似）问题
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题型解读： 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的
考查热度.
圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题
的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高．多
圆的综合
考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中
最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相 100%
似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相
80%
关知识点，以及数形结合、整体代入等数学思想.此类
题型常涉及以下问题：①切线的判定；②计算线段长
60%
及证明线段比例关系；③求三角函数值；④利用“辅
助圆”求最值.右图为圆的综合问题中各题型的考查热 40%
度.
20%
0%
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型一 切线的判定
解题模板：
技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行）
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没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）
【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图， 为 的直径，如果圆上的点 恰使 ，
求证：直线 与 相切．
【答案】见详解
【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出 ，则 ，再由切线的判定即
可得出结论．
【详解】证明：如图，连接 ，
，
，
为 的直径，
，
，
，
，
即 ，
，
是 的半径，
直线 与 相切．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握
圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
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【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径， 平分 交
于点E，过点E作 ，交 的延长线于点F．
求证： 与 相切；
【分析】连接 ，由 是 的直径可得 ，进而可得 ，再根据圆周
角定理可得 ，进而可证 ， ，即可证明 与 相切；
【详解】证明：如图，连接 ，
是 的直径，
，
平分 交 于点E，
，
，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
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【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定
理是解题的关键．
【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图， 是 的直径，点 在 上， ，点
在线段 的延长线上，且 ．
(1)求证：EF与 相切；
(2)若 ，求 的长．
【分析】利用圆周角定理得到 ，结合已知推出 ，再证明 ，推
出 ，即可证明结论成立；
【详解】证明：连接 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 半径，
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∴EF与 相切；
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，
熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图， 为 的直径，E为 上一点，点C为 的中点，
过点C作 ，交 的延长线于点D，延长 交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
【分析】连接 ，根据弦、弧、圆周角的关系可证 ，根据圆的性质得 ，
证明 ，得到 ，根据切线的判定定理证明；
【详解】证明：连接 ，
∵点C为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴ ，
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∴ ，
∵ 为半径，
∴ 为 切线；
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题
的关键．
题型二 圆中求线段长度
解题模板：
【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知 为 的直径，点C为圆上一点， 垂直于过点C的直
线，交 于点E，垂足为点D， 平分 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
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【分析】（1）连接 ，根据角平分线的定义有 ，根据圆周角定理有 ，
可得 ，进而有 ，进而可得 ，则有半径 ，问
题得证；
（2）连接 ， ， ，利用勾股定理可得 ，进而有 ，
，根据 ，即 ，进而可得
，根据四边形 内接于 ，可得 ，即
，再在 中，可得 ．
【详解】（1）连接 ，如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）连接 ， ， ，如图，
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∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，即 ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，即 ，
∵在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆内接四边形的性质以及圆周角定理等知识，灵活
运用解直角三角形，是解答本题的关键．
【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图， 是⊙ 的直径， 为⊙ 上的一点，点 是 的中点，
连接 ，过点 的直线垂直于 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．
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(1)求证： 为⊙ 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据点 是 的中点可得 ，进而证 ，从而得证
即可；
（2）解法一：连接 交 于 ，根据 及勾股定理求出 ，再证明 ，从而得
到 ，即可求出 的值；解法二：过点 作 于点 ，按照解法一步骤求出 ，然后
证明四边形 是矩形，再证明 ，求得 ，进而求出 的值．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
，
，
，
，
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，
，
是半径，
是 的切线；
（2）解法一：连接 交 于 ，
， ，
，
，
，
在 中 ，
，
或 （不符合题意，舍去），
点 是 的中点， 是半径，
垂直平分 ，
，
是 的中位线，
，
是直径，
，
，
，
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，
；
解法二：过点 作 于点 ，
， ，
， ，
，
，
，
在 中， ，
，
或 （不符合题意，舍去），
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
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，
．
【点睛】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理，平行线间线段成比例，相似三角形的的判定与
性质，掌握并理解相关性质定理并能综合应用是关键．
【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在 中， 为 的直径，点 为 上一点，
为 的平分线交 于点 ，连接 交 于点E．
(1)求 的度数；
(2)如图2，过点A作 的切线交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ．若 ，
，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解： 为 的直径，
，
为 的平分线，
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，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 ，
设 ，
则 ， ， ，
为 的直径，
，
在 中， ，
由（1）得， ，
，
， ，
，
，
解得 或 （不合题意舍去），
，
，
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是 的切线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股
定理是解题的关键．
【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图， 是等腰直角三角形， ，点O为 的中
点，连接 交 于点E， 与 相切于点D．
(1)求证： 是 的切线；
(2)延长 交 于点G，连接 交 于点F，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，过点O作 于点P，根据等腰三角形的性质得到 ，
推出 ，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出 ， 的长，勾股定理求出 ，连接 ，过O作 于
点H，利用面积法求出 ，勾股定理求出 ，即可根据等腰三角形的性质求出 的长．
【详解】（1）证明：连接 ，过点O作 于点P，
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∵ 与 相切于点D．
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形， ，点O为 的中点，
∴ ，
∴ ，即 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵点O为 的中点，
∴ ，
∵
∴ ，
在 中，
连接 ，过O作 于点H，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ．
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【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌
握各知识点是解题的关键．
题型三 圆中的最值问题
解题模板：
技巧精讲：
1、辅助圆模型
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【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在 中， 为直径，C是 上一点， .过O分
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别作 于点H， 于点D，点E、F分别在线段 上运动（不含端点），且保持
．
(1) ______；四边形 是______（填矩形/菱形/正方形）； ______；
(2)当F和D不重合时，求证： ；
(3)①在图1中， 是 的外接圆，设 面积为S，求S的最小值，并说明理由；
②如图2：若Q是线段 上一动点，且 ， ， 是四边形 的外接圆，则
当n为何值时， 的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．
【答案】(1)2.5；矩形；3；
(2)见解析
(3)① ，理由见解析；② 时， 有最小值 ．
【分析】（1）根据圆周角定理及勾股定理得出 ，再由直角三角形斜边中线的性质得出 ；利
用矩形的判定得出四边形 的形状，再由相似三角形的判定和性质及矩形的面积求法即可得出结果；
（2）由圆周角定理及等量代换得出 ，再由相似三角形的判定即可证明；
（3）①由（2）得 ， ，确定圆 经过 、 、 、 ，即为 的外接圆，且
为直径，由（1）得出 取得最小值为 ，利用圆的面积求解即可；②根据题意得：当
， 时，圆 的直径 有最小值，再由三角函数得出 ， ，利用勾
股定理及二次函数的性质求解即可．
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【详解】（1）解：∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理得 ，
∴ ；
故答案为： ；矩形；3；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
又 为直径，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
（3）①如图，∵ ， ，
∴圆 经过 、 、 、 ，即为 的外接圆，且 为直径
∴当 最小时，圆 的面积S有最小值，
当 和 重合、 和 重合时，
由（1）得 ， 取得最小值，
也取得最小值为 ，
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此时 为最小值．
②根据题意得：当 ， 时，
圆 的直径 有最小值，
此时 ， ， ， ， ，
∴
∴
当 最小时， 最小，
令 ，则
为关于 的二次函数，当 ，即 时， 有最小值，代入得 最小值为 ．
．
【点睛】题目主要考查圆与四边形综合问题，包括圆周角定理，矩形的判定和性质，内接三角形和四边形，
解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
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【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径 ，弦 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当 的面积最大时，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得 ，从而可得 ，然后根据同圆或等圆中弧、
弦、圆周角的关系可得 ，从而用边边边定理证明三角形全等；
（2）连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，通过分析当且仅当 时取等号时 有
最大值为2，分析求解．
【详解】（1）证明： ，
，
，即 ，
．
又 ．
（2）解：连接 ，过点 作 ，垂足为点 ．
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．
，
∴ ．
，当且仅当 时取等号，
此时 最大值 ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，同圆或等圆中弧、弦、圆周角的关系，解题的关键是根据图
形题意，准确添加辅助线．
【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段 ， ，线段 绕点 在直线 上方旋转，
连接 ，以 为边在 上方作 ，且 ．
(1)若 ，以 为边在 上方作 ，且 ， ，连接 ，用等式表
示线段 与 的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若 ， ， ，求 的长；
(3)如图3，若 ， ， ，当 的值最大时，求此时 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在 中， ， ，且 ， ，可得
，根据相似三角形的性质得出 ， ，进而证明 ，根
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据相似三角形的性质即可求解；
（2）延长 交 于点 ，如图所示，在 中，求得 ，进而求得 的长，根据（1）的结
论，得出 ，在 中，勾股定理求得 ，进而根据 ，即可求解．
（3）如图所示，以 为边在 上方作 ，且 ， ，连接 ， ，
，同（1）可得 ，进而得出 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，当点 三
点共线时， 的值最大，进而求得 ， ，根据 得出
，过点 作 ，于点 ，分别求得 ,然后求得 ，最后根据正切的定义即可
求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴
∴ ，
故答案为： ．
（2）∵ ，且 ， ，
∴ ， ，
延长 交 于点 ，如图所示，
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∵ ，
∴ ，
∴在 中， ， ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，以 为边在 上方作 ，且 ， ，连接 ， ，
，
同（1）可得
则 ，
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∵ ，则 ，
在 中， ， ，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴当点 三点共线时， 的值最大，此时如图所示，则 ，
在 中，
∴ , ，
∵ ，
∴ ，
过点 作 ，于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
中， ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆
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的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】
如图 ，在 中， ， ， ，则 的外接圆的半径值为______；
【问题解决】
如图 ，点 为正方形 内一点，且 ，若 ，求 的最小值；
【问题解决】
如图 ，正方形 是一个边长为 的书展区域设计图， 为大门，点 在边 上， ，
点 是正方形 内设立的一个活动治安点，到 、 的张角为 ，即 ，点 、 为另
两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点 ，使得 到 、 、 三个治安点的距离和
最小，试求 的最小值．（结果精确到 ，参考数据 ， ）
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ） ．
【分析】（ ）作出三角形的外接圆 ，证明 是等边三角形，利用三线合一性质计算即可；
（ ）点 在以 为直径的圆上，根据圆心， ， ， 三点一线时 最小，计算即可；
（ ）如图 ，设 所在圆的圆心为点 ，根据（ ）可得 所在圆的半径，以点 为旋转中心，将
顺时针旋转 ，得到 ，当 ， ， ， ， 共线时， 最小，构造直角三角形求
解即可．
【详解】（ ）如图 ，作 的外接圆 ，作直径 ，连接 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
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∴ ，
设 与 交于点 ， ，
在直角三角形 中，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（ ）如图2，∵ ，
∴点 在以 为直径的圆上，设圆心为点 ，
则 ，
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∴ ， ， 三点一线时 最小，
在直角三角形 中，
，
∵ ，
AP的最小值为： ；
（ ）如图 ，设 所在圆的圆心为点 ，根据（ ）可得 所在圆的半径为 ，以点 为
旋转中心，将 顺时针旋转 ，得到 ，当 ， ， ， ， 共线时， 最小，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，则 是等边三角形，过点 作 ，垂
足为 ，交 于点 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，且 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 最小为 ．
【点睛】此题考查了外接圆的直径，圆中的最值计算，计算三线段和的最小值，旋转的思想，正方形的性
质，三角函数，正确构造辅助圆，准确构造费马点，灵活运用三角函数是解题的关键．
题型四 圆中的阴影部分面积
技巧精讲：
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【例4】（2024-西藏拉萨-一模）如图，等腰 的顶点A，C 在 上， 边经过圆心0且与
交于D 点， .
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求阴影部分的面积
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）连接 ，由 ， ，可得 ，由 ，可得 ，
即可求证；
（2）在 中，利用勾股定理可求得 ，再根据 ，即可求解.
【详解】（1）证明：连接 ，
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∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是圆O的切线．
（2）解：∵ ， ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴ ．
【点睛】此题主要考查切线的判定定理、直角三角形的性质、勾股定理、扇形的面积公式，熟练掌握切线
的判定定理是解题的关键.
【变式4-1】（2023-陕西西安-一模）如图，正六边形 内接于 ．
(1)若P是 上的动点，连接 ， ，求 的度数；
(2)已知 的面积为 ，求 的面积．
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【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的
关系．
（ ）在 取一点 ，连接 ，利用弦和圆周角的关系即可求出 的值；
（ ）证明 是等边三角形，利用三角函数求出 ， ，再根据 的面积为
求出圆的半径，即可求出面积．
【详解】（1）如图所示，在 取一点 ，连接 ，
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，
即 的半径为 ．
面积为：
【变式4-2】（2023-浙江衢州-中考真题）如图，在 中， 为 边上一点，连结
．以 为半径的半圆与 边相切于点 ，交 边于点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ．
①求半圆 的半径．
②求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①2；②
【分析】（1）根据切线长定理可直接得出结论；
（2）①证明 ，可得 ，根据含 直角三角形的性质求
出 ，可得 ，然后可得答案；
②利用勾股定理求出 ，然后根据 列式计算即可．
【详解】（1）证明： ，点 在圆 上，
是圆 的切线，
是圆 的切线，
；
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（2）解：①如图，连结 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
．
．
．
，
．
∴在 中， ．
，
，
，
∴半圆 的半径为2；
② 在 中， ．
，
．
，
，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，含 直角三角形的性质，勾
股定理，扇形面积计算等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
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【变式4-3】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图， 是 的直径，点C，D是 上 异侧的两点，
，交 的延长线于点E，且 平分 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据 ，得出 ．根据 平分 ，得出
，则 ．根据 得出 ，进而得出
，即可求证；
（3）连接 ，过点O作 于点F，通过证明 为等边三角形，得出 ，
．求出 ．最后根据 即可求解．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是 的切线．
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（2）解：连接 ，过点O作 于点F，
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ．
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关
键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式 ．
【变式4-3】（2023-山东枣庄-中考真题）如图， 为 的直径，点C是 的中点，过点C做射线
的垂线，垂足为E．
(1)求证： 是 切线；
(2)若 ，求 的长；
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(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有 的式子表示）．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3)
【分析】（1）连接OC，证明 ，即可得到结论；
（2）连接AC，证明 ，从而可得 ，再代入求值即可；
（2）连接 ，证明 ，从而可得 ，，求出扇形 的面积即可得到阴影部分
的面积．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵点C是 的中点，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴半径 ，
∴ 是 切线；
（2）连接 ，
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∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定、切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判
定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
题型五 圆中的比值（相似）问题
技巧精讲：
【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图， 为 的直径， 点 D为 上一点， 过点 B作 切线
交 延长线于点 C， 平分 ， 交于F．
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(1)求证： ；
(2)若 半径为2， ，求 的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到 ，则 ，由切线的
性质得到 ，则 ，由角平分线的定义得到 ，据此可证明
，则 ；
（2）过点E作 于H，由角平分线的性质得到 ，解 得到 ，设
，由勾股定理得 ，解得 （负值舍去），则 ，根据
，求出 ，解 得到 ，则 ．
【详解】（1）证明：∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
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∴ ，
∴ ；
（2）解；如图所示，过点E作 于H，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ 半径为2，
∴ ，
在 中， ，
设 ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，角平分线的
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性质，等角对等边等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如图， 是 的直径，点 ， 在 上， 平分 ，交
于点 ，连接 ．
(1)求证： ．
(2)当 ，且 时，求线段 的长．
(3)点 为线段 上一点，且 平分 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义，与圆周角定理得 ，进而结合公共角便可证明
；
（2）由 ，得出 与 的数量关系，再由勾股定理求得 、 ，过 作 于 ，
在 中由勾股定理求得 、 、 ，进而求得 ，再证 ，由相似比求得结果；
（3）由 平分 ， 平分 ，得 ，进而求得 、 的长度，由
求得 ，再由 便可求得结果．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，
，
，
，
；
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（2）解： 为直径，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，解得 ，
， ，
过 点作 于点 ，如图所示：
平分 ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，解得 ，
， ，
，
， ，
，
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，即 ，
；
（3）解： 平分 ， 平分 ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，则 ，
，
，
，
，即 ，
．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理的应用，
解直角三角形的应用，关键在于运用相似三角形解决问题．
【变式5-2】（2024-陕西西安-一模）如图， 是 的直径 与 相切于点C，与 的延长线交于
点D，连接 ，点E在线段 上，过点E作 的垂线交 的延长线于点F，交 于点G．
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(1)求证： ；
(2)若 ，点E为 的中点，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，则 ，由切线知 ，而
，所以 ，再证 ，所以 ；
（2）如图，连接 ，由已知得 ， ，由 是直径得 ，进一步结
合切线的性质，证得 ，从而 ，所以 ，可求 ，
进一步求得 ，再证 ，所以 ，进一步求得 ．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示，
∵ ，
∴ ，
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∵ 与 相切于点C，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及推论、切线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质；
能够灵活运用相关定理求证等角，证明相似三角形是解题的关键．
【变式5-3】（2024-陕西西安-一模）如图， 是 的直径，点 在直径 上（ 与 不重合），
且 ，连接 ，与 交于点 ，在 上取一点 ，使 与 相切．
(1)求证： ；
(2)若 是 的中点， ，求 的长．
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【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）本题连接 ，根据切线的性质得到 ，由直角三角形性质得到
，根据等腰三角形性质得到 ，推出 ，再根据等腰三角形性质
即可证明 ；
（2）连接 ，利用圆周角定理，证明 ，推出 ，再根据线段中点的性质，以及勾
股定理求出 、 ，将 、 的值代入 中求解，即可解题．
【详解】（1）解：连接 ，
与 相切，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 ，
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是 的直径，
，
，
，
，
是 的中点， ，
， ，
，
，解得 ．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形性质和判定、相似三角形性质和判定、圆周角定理、线段中
点的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．
一、解答题
1．（2024-云南-模拟预测）如图，四边形 内接于 ，对角线 是 的直径，过点 作 的垂
线交 的延长线于点 ， 为 的中点，连接 ， ， 与 交于点 ．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，
（1）由圆周角定理得出 ，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出
，进而得出答案；
（2）过点O作 于点G，由垂径定理可得 ，利用 ，可求半径为2，即可求
解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
是 的直径，
．
．
是 的中点，
．
．
，
．
，
．
，即 ．
是 的切线；
（2）解：如图，过点O作 于点G．
由垂径定理，得 ．
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设 ，则 ， ．
，
，
整理，得 ，即 ．
，
．
，即 的半径为2．
．
2．（2024-湖北黄冈-模拟预测）如图， 平分 ， 与⊙O相切于点 ，延长 交 于点 ，
过点 作 ，垂足为 ．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】由切线的性质得 ，而 平分 ， ，所以 ，则点 在⊙O上，即
可证明 是⊙O的切线．
由 ， ，得 ， ，由
，得 即可．
【详解】（1）证明： 与⊙O相切于点 ，且 是⊙O的半径，
，
平分 ， 于点 ， 于点 ，
，
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点 在⊙O上，
是⊙O的半径，且 ，
是⊙O的切线．
（2）解： ， ，
，
，
，
，
，
的长是12．
【点睛】本题重点考查切线的性质定理、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知
识，根据角平分线的性质证明 是解题的关键．
3．（2024-江苏淮安-模拟预测）如图，已知直线l与 相离， 于点A，交 于点 P，点 B 是
上一点，连接 并延长，交直线l于点 C，使得 ．
(1)判断直线 与 的位置关系并说明理由；
(2) 求线段 的长．
【答案】(1)直线 是 的切线；
(2)
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【分析】此题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关
键，
（1）连接 ，根据 得到 ，由 得到 ，由此推出
，得到 ，即 ，即可推出直线 是 的切线；
（2）过点O作 于点H，如图，则 ，设 的半径为r，则 ，根据
勾股定理得到 ，求出r，再根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）直线 是 的切线，理由如下：
连接 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线；
（2）过点O作 于点H，如图，则 ，
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设 的半径为r，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴
4．（2024-四川凉山-模拟预测）如图， 是 的直径，点P是 延长线上一点，且 与 相切于
点A，弦 于点F，过D点作 于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径和 的长．
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【答案】(1)见解析
(2) 的半径为3， 的长为
【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，
（1）连接 ，根据 是 半径， 是 的切线得 ， ，
即 ，根据 于F得 ，则 ，根据 得
，即可得；
（2）在 中，设 ，则 ， ，由勾股定理可得 ，即
，解得 ，则 ， ，根据 于F，得 ，
，可得 ，在 中， ， ，由勾股定理得 ，即可得
，根据 平分 ， ， 得 ；
掌握切线的性质，等边对等角，勾股定理，角平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ 是 半径， 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
即∴ ，
∵ 于F，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：在 中，设 ，
∴ ， ，
由勾股定理可得： ，
即 ，
得 ，
∴ ， ，
∵ 于F，
∴ ，
，
∴ ，
在 中， ， ，由勾股定理得：
，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ 的半径为3， 的长为 ．
5．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，
E为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ， ，结合圆周角定理和直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得 ，从
而可得 ，然后根据切线的判定定理分析证明；
（2）结合含 的直角三角形性质及勾股定理分析计算求解．
【详解】（1）证明：连接 ， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
在 中，E为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
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∵ 为半径， ，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
同理在 中，设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，即 ，
解得 ，即 ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质及解直角三角形等知识． 正确
的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．（2024-山东泰安-一模）如图， 是 的两条直径，过点C的 的切线交 的延长线于点
E，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若B是 的中点， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
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(2)
【分析】（1）由 ，可得 ，由 ，可得 ，进而结论得证；
（2）如图，连接 ，则 ，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得 ，设 的
半径为 ，则 ，由勾股定理得， ，即 ，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
∴ ，
∵过点C的 的切线交 的延长线于点E，
∴ ，
∵O是 的中点，B是 的中点，
∴ ，
设 的半径为 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得， ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角，切线的性质，直径所对的圆周角为直角，直角
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三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，等边对等角，切
线的性质，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理是解题的关键．
7．（2024-福建南平-一模）如图1，点 是 的边 上一点． ， ， 是
的外接圆，点 在 上（不与点 ，点 重合），且 ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)如图2，若 是⊙ 的直径，且 ，折线 是由折线 绕点 顺时针旋转 得到．
①当 时，求 的面积；
②求证：点 ， ， 三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的特征，三
点共线判定方法等；
（1）由圆的基本性质得 ，从而可得 ，即可求证；
（2）①由圆的性质得 ，从而可求 ，有直角三角形的特征得 ，由
勾股定理得 可求出 的长，由 即可求解；②由旋转的性质得 ，
，从而可求 ，由三角形内角和定理得 ，
等量代换得 即可求证；
掌握相关的性质及三点共线判定方法，能证出 是解题的关键．
【详解】（1）证明： ，
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，
，
，
是直角三角形；
（2）解：① 是 直径，
，
，
，
，
在 中，
，
，
；
② 折线 由折线 旋转得到，
，
，
，
由①得 ，
，
，
，
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，
，
点C，D，F三点共线．
8．（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点
D，过点C作 的切线，交 的延长线于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到 ．再根据切线的性质得到 ．然后利用等角的
余角相等得到 ；
（2）先证明 得到 ，则可证明 ，利用正切的定义，在 中有
，在 中有 ，所以 ，然后求出 的长，从而得到 的半径．
【详解】（1）证明：∵ 为 的直径，
∴ ．
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
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∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
9．（2023-湖北黄石-中考真题）如图， 为 的直径， 和 相交于点F， 平分 ，点C
在 上，且 ， 交 于点P．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
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(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，由等腰三角形的性质得 ，再证 ，则 ，然
后证 ，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得 ，再证 ，然后证 ，得
，即可得出结论；
（3）过P作 于点E，证 ，再证 ，得 ，则
，进而得 ，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
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（2）证明：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图2，过P作 于点E，
由（2）可知， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判
定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角
定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键．
10．（2023-辽宁鞍山-中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，过点D作
，交 的延长线于点F，交 的延长线于点E，连接 ．若 ．
(1)求证： 为 的切线．
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为
【分析】（1）连接 ，根据同角的补角相等，得到 ，等角的余角相等，得到
，等边对等角，得到 ，推出 ，得到 ，
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即可得证；
（2）连接 ，推出 ，利用锐角三角函数求出 的长，设 的半径为 ，证明
，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 的直径， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
又 为 的半径，
∴ 为 的切线；
（2）连接 ，则： ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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在 中， ， ，
∴ ，
设 的半径为 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ；
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和
性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
11．（2023-湖南湘西-中考真题）如图，点D，E在以 为直径的 上， 的平分线交 于点
B，连接 ， ， ，过点E作 ，垂足为H，交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明 ，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明 ，利用
相似三角形的性质即可求证；
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（2）先利用勾股定理求出 ，再利用 和正弦值即可求出 ．
【详解】（1）连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接 ，
∵ 的平分线交 于点B，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
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∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等知识，学生应
理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推
论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形
是解题的关键．
12．（2023-辽宁沈阳-中考真题）如图， 是 的直径，点 是 上的一点（点 不与点 ， 重
合），连接 、 ，点 是 上的一点， ， 交 的延长线于点 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为 ， ，则 的长为______ ．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判
定定理解答即可得出结论；
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(2)利用直角三角形的边角关系定理得到 设 , 则 , 利用x的代数式表示出线段
，再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论.
【详解】（1）证明： 是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ．
为 的直径，
是 的切线；
（2）解： ， ，
，
设 ，则 ，
， ，
，
，
是 的直径，
，
，
，
解得： 不合题意，舍去 或 ．
．
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故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切
线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
13．（2023-黑龙江大庆-中考真题）如图， 是 的直径，点 是圆上的一点， 于点 ，
交 于点 ，连接 ，若 平分 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，延长 ，
交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)证明，见解析
(2)证明，见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，根据 平分 ，则 ，根据 ，得 ，
根据平行线的判定和性质，即可；
（2）由（1）得， ，根据 ， ，相似三角形的判定和
性质，即可；
（3）根据 ，则 ，设 的半径为 ，则 ，根据勾股定理求出 ；根据
， ，根据勾股定理求出 ，再根据 ，在根据勾股定理求出 ，
根据 ，即可．
【详解】（1）连接
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∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线．
（2）证明，如下：
由（1）得， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）∵ ，
∴ ，
设 的半径为 ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆，相似三角形，锐角三角形函数的知识，解题的关键圆的切线定理的运用，相似三角
形的判定和性质，锐角三角形函数的运用．
14．（2023-四川雅安-中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 与 交于点
D，点 是 的中点，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，点P是 上一动点，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
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(2)
(3)
【分析】（1）连接 ，由圆周角定理得到 ，由直角三角形斜边中线的性质结合等
腰三角形的性质证得 ，由等腰三角形的性质得到 ，根据 ，得
到 ，由切线的判定即可证得 与 相切；
（2）由直角三角形斜边中线的性质求出 ，根据三角函数的定义即可求出 ；，
（3）设 的 边高为 ，由 可得 ，即可得出当
取最大值时， 取最大值，根据 进而求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ 是 的半径，
∴ 与 相切；
（2）解：由（1）知， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵在 中， ，即： ，
∴ （负值以舍去），
∴ ；
（3）设 的 边高为 ，
由（2）可知 ，
又∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 取最大值时， 也取最大值，
又∵ ，
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∴当 取最大值时， 取最大值，
此时 边高为 取最大值为 半径 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
综上所述： 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）熟练掌
握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得 ．（3）将 的最大值
转化为 的面积最大值．
15．（2023-辽宁营口-中考真题）如图，在 中， ，以 为直径作 与 交于点D，过
点D作 ，交 延长线于点F，垂足为点E．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接 ， ，根据圆周角定理证明 ，再根据“三线合一”证明 平分 ，
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即有 ，进而可得 ，根据 ，可得 ，问
题得证；
（2）先证明 ， ，即有 ，在 中结合勾
股定理，可求出 ，即同理在 中，可得 ，进而有 ， ，
即 ，证明 ，即有 ，即 ，问题即可得解．
【详解】（1）连接 ， ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴半径 ，
∴ 为 的切线；
（2）∵在 中， ，
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∴ ，
在（1）中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，解得： （负值舍去），
即同理在 中，可得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： （经检验，符合题意），
即 ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理
等知识，掌握切线的判定以及三角函数，是解答本题的关键．
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