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思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法
类型一 相交线与平行线中利用方程思想求角度
1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，若
∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为( )
A．180° B．160° C．140° D．120°
2．如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作两条射线OM，ON，且∠AOM＝∠CON＝
90°.
(1)若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
(2)若∠1＝∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．【方法14②】
类型二 相交线与平行线中的分类讨论思想
3．在同一平面内，三条直线的交点个数是__________．
4．已知∠α和∠β两边分别平行，且∠α＝x，∠β＝4x－30°，则∠α＝________．
5．★如图，点D为射线CB上一点，且不与点B，C重合，DE∥AB交直线AC于点E，
1DF∥AC交直线AB于点F.画出符合题意的图形，猜想∠EDF与∠BAC的数量关系，并说明
理由．
类型三 平移中利用转化思想求周长或面积
6．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照
图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是【方法16】B
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
7．如图，在长为50m，宽为30m的长方形土地上，有纵横交错的几条小路，宽均为1m，
其他部分均种植花草．则种植花草的面积是________．
8．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿AB方
向向右平移得到三角形DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm.
(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；
(2)求四边形AEFC的周长．
9．(湘潭县期末)如图，已知三角形ABC的面积为16，BC的长为8，现将三角形ABC沿
BC向右平移m个单位到三角形A′B′C′的位置．若四边形ABB′A′的面积为32，求m的值．
2类型四 建立平行线的模型解决实际问题
10．如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝110°，∠3＝40°，那么∠2的度数
为( )
A．80° B．90° C．100° D．70°
第10题图 第11题图
11．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过．如果第一次拐的角∠A是120°，第二
次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
则∠C的度数是________度．
12．小芳给自己家的小狗乐乐做了一个小木屋，其侧面如图所示．若她已测出∠A＝
135°，∠C＝125°，由于受条件影响，屋顶的∠B的度数无法测出．哥哥看到后说，不用测量，
他也能算出∠B的度数，你知道小芳的哥哥是怎样做的吗？试着说出他的方法，并计算出
∠B的度数．
类型五 平行线中利用从特殊到一般的思想进行探究
13．★如图①：MA ∥NA ，如图②：MA ∥NA ，如图③：MA ∥NA ，如图④：
1 2 1 3 1 4
MA ∥NA ，…，则第n个图中的∠A＋∠A＋∠A＋…＋∠A ＝________°(用含n的代数式
1 5 1 2 3 n＋1
3表示)．
14．★如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED.
(1)探究猜想：
①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明你的理由；
(2)拓展应用：如图②，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，
①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界)其中区域③，④位于直线AB上方，P
是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系(不要求写出过程)．
解：AB∥EF.
理由：在∠BCD 和∠CDE 内分别作∠BCM＝∠B＝25°，∠EDN＝∠E＝10°，则
CM∥AB，DN∥EF，又∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∴∠MCD＝20°，∠CDN＝20°，∴∠MCD
＝∠CDN，∴CM∥DN，∴AB∥EF.
参考答案与解析
1．B
42．解：(1)∵∠AOM＝∠CON＝90°，OC平分∠AOM，∴∠1＝∠AOC＝45°，∴∠AOD＝
180°－∠AOC＝180°－45°＝135°.
(2)设∠1＝x，则∠BOC＝4x，∴∠BOM＝3x.∵∠AOM＝90°，∴∠BOM＝180°－90°＝
90°，∴x＝30°，∴∠1＝30°，∴∠AOC＝90°－∠1＝60°，∠MOD＝180°－∠1＝150°.
3．0或1或2或3 解析：有四种情况：①三条直线互相平行；②只有两条直线平行；③
三条直线互不平行(交于一点)；④三条直线互不平行(两两相交，不交于一点)，如图所示．
4．10°或42° 解析：∵∠α和∠β两边分别平行，∴∠α＝∠β或∠α＋∠β＝180°.∵∠α＝
x，∠β＝4x－30°，∴x＝4x－30°或x＋4x－30°＝180°，解得x＝10°或x＝42°，∴∠α＝10°或
42°.
5．解：有两种情况：(1)如图①，当点D在BC上时，∠EDF＝∠BAC.理由如下：连接AD，
∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD.∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠FAD.∴∠EDF＝∠EDA＋∠FDA＝
∠FAD＋∠EAD＝∠BAC；(2)如图②，当点D在CB的延长线上时，∠EDF＋∠BAC＝180°.理
由如下：连接AD，同(1)可得∠EDF＝∠EAF，∵∠EAF＋∠BAC＝180°，∴∠EDF＋∠BAC＝
180°.
6．D
7．1421m2
8．解：(1)∵三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，∴AD＝BE＝CF，BC＝EF
＝3cm.∵AE＝8cm，DB＝2cm，∴AD＝BE＝CF＝＝3(cm)．
(2)四边形AEFC的周长为AE＋EF＋CF＋AC＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．
9．解：过点A向BC作垂线，垂足为H，如图所示．∵S ＝16，BC＝8，∴·BC·AH＝
三角形ABC
16，∴×8·AH＝16，解得AH＝4.又∵S ＝32，∴BB′×4＝32，∴BB′＝8，∴m＝BB′＝
四边形ABB′A′
8，即m的值是8.
10．D
11．150 解析：如图，过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，∴AE∥BD∥CF，∴∠ABD＝∠A＝
120°.∵∠ABC＝150°，∴∠CBD＝∠CBA－∠ABD＝150°－120°＝30°.∵CF∥BD，∴∠CBD
＋∠C＝180°，∴∠C＝180°－∠CBD＝180°－30°＝150°.
512．解：过点B作BD∥AE交EF于点D，则AE∥BD∥CF.∵∠A＝135°，∠C＝125°，
∴∠ABD＝180°－∠A＝45°，∠CBD＝180°－∠C＝55°，∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝45°＋
55°＝100°.即∠B的度数为100°.
13．n·180 解析：∵MA 与NA 平行，∴在图①可得∠A＋∠A＝180°；在②中可过A 作
1 n 1 2 2
AB∥MA ，如图所示，∵MA ∥NA ，∴AB∥NA ，∴∠MA A＋∠BAA＝∠BAA＋∠NA A
2 1 1 3 2 3 1 2 2 1 2 3 3 2
＝180°，∴∠A ＋∠AAA ＋∠A ＝360°.同理可得∠A ＋∠A ＋∠A ＋∠A ＝540°，∠A ＋
1 1 2 3 3 1 2 3 4 1
∠A＋∠A＋∠A＋∠A＝720°，∴∠A＋∠A＋∠A＋…＋∠A ＝n·180°.
2 3 4 5 1 2 3 n＋1
14．解：(1)①∠AED＝70°；
②∠AED＝80°；
③∠AED＝∠EAB＋∠EDC.理由如下：过点 E 向左作射线 EF∥AB，∴∠EAB＝
∠AEF.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠EDC＝∠DEF.∴∠AED＝∠AEF＋∠DEF＝∠EAB＋
∠EDC.
(2)当点P在区域①时，∠PEB＋∠PFC＋∠EPF＝360°；当点P在区域②时，∠EPF＝
∠PEB＋∠PFC；当点P在区域③时，∠PEB＝∠PFC＋∠EPF；当点P在区域④时，∠PFC＝
∠EPF＋∠PEB.
6
