重难点03几何模型求最值（将军饮马模型，建桥选址模型，胡不归模型）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学答题方法模板

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 重难点 03 几何模型求最值（将军饮马模型、建桥选址 模型、胡不归模型） 题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练 该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考试中都以中 高档题为主。本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角 三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转 化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题。 模型01 将军饮马模型 考｜向｜预｜测 将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能 力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型。在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对 称点；②两点之间，线段最短； ③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到 “三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家 对这类问题有比较清晰的认识。 答｜题｜技｜巧 1. 观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移； 2. 同侧做对称点变异侧，异侧直接连线； 3. 结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点； 4. 利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型； 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1．（2024·黑龙江）如图，在矩形 中， ， ，点M是 边的中点，点N是 边上任意一点，将线段 绕点M顺时针旋转 ，点N旋转到点 ，则 周长的最小值为 （ ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点 的轨迹是解题的关键．由旋转的性质 结合 证明 ，推出 ，得到点 在平行于 ，且与 的距离为5的直 线上运动，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，此时 周长取得最小值， 由勾股定理可求解． 【详解】解：过点 作 ，交 于 ，过点 作 垂足为 ， ∵矩形 ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 和 都是矩形， ∴ ， 由旋转的性质得 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 在平行于 ，且与 的距离为5的直线上运动， 作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，此时 周长取得最小值，最小值为 ， 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ， ∴ ， 故选：B． 1．如图，已知 ，点 为 内部一点，点 为射线 、点 为射线 上的两个动点， 当 的周长最小时，则 ． 【答案】 / 度 【分析】本题考查了轴对称 最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是 与 ， 的交点时， 的周长最短， 根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作 关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是 与 ， 的交点 时， 的周长最短，连接 ， 关于 对称， ∴ ， 同理， ， ， ， ， 是等腰三角形． 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 故答案为： ． 2．如图，在 中， ， ， ，点 为直线 上一动点，则 的最小 值为 ． 【答案】 【分析】如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则 ， ， ，当 重合时， 最小，最小值为 ，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则 ， ， ， ∴当 重合时， 最小，最小值为 ， ∵ ， ，在 中， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ，过点 作 轴的垂线 ， 为直线 上一动点， 连接 ， ，则 的最小值为 ． 【答案】5 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线 的对称点 ， 连 交直线 于点C，连 ，得到 ， ，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短， 得到当 三点共线时， 的最小值为 ，再利用勾股定理求 即可． 【详解】解：取点A关于直线 的对称点 ，连 交直线 于点C，连 ， 则可知 ， ， ∴ ， 即当 三点共线时， 的最小值为 ， ∵直线 垂直于y轴， ∴ 轴， ∵ ， ， ∴ ， ∴在 中， ， 故答案为：5 4．如图，在菱形 中， ， 是 边上一个动点，连接 ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ．连接 ． (1)求证： ； (2)求 的最小值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质证明 ，再结合 是 的垂直平分线，即可证明 ； 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）过点N作 于点F，连接 ， ，则 ，故 ，此时 ，在 中，进行解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ； （2）解：过点N作 于点F，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图： 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即 ， ∴在 中， ， ∴ 的最小值为 ． 模型02 建桥选址模型 考｜向｜预｜测 建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查 轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段 最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代， 从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化． 答｜题｜技｜巧 （1）两个点都在直线外侧： 辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB. A A m m P' P n n Q' Q B B （2）一个点在内侧，一个点在外侧： 辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值 为AB’. 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A m A m P B B n Q n B' （3）如图3，两个点都在内侧： 辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m、n于点 P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’B’. A' m A m P A B Q B n n B' 1.（2023·南京）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________． 【答案】 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取 EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾 股定理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截 取EF=1，此时GE+CF的值最小， 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴ ，即 的最小值为 ．故答案为： 1. 已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两 村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄 的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 【答案】A 【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另 一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段 最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′． 【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作 MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN． 根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短． ∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中， ， 在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝ 千米；故选A． 2.如图，菱形ABCD的边长为2 ，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、 AF，则△AEF周长的最小值是（ ） 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．4 B．4+ C．2+2 D．6 【答案】D 【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的 最小值即可． 【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周 长最小． ∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH， ∵菱形ABCD的边长为2 ，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2 ， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°， 在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4， ∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键． 3.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=9，M、N分别是AD、BC边上的动点，且 ∠ABC=∠MNB=60°，则BM+MN+ND的最小值是 ． 【答案】√129+4. 【分析】由∠MNB=60°可知MN为定长，在AD、BC间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为 两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离． 【详解】解：作ME∥AB交BC于点E，在AD取DF=MN，连接EF，延长AB至点B'，使BB'=ME， 连接B'F，作B'H⊥AD于点H，如下图： 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AB∥ME， ∴∠MEN=∠ABC=∠MNB=60°， ∴△MEN为等边三角形， ∴ME=EN=MN， ∵▱ABCD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABEM为平行四边形， 同理得四边形BB'EM与四边形ENDF为平行四边形， ∴ME=EN=MN=AB=4，B'E=BM，EF=ND， ∴BM+MN+ND=B'E+EN+ND=B'E+EF+4≥B'F+4， 1 Rt△B'HA中，HA= B' A=4，B'H=√B' A2−AH2=√82−42=4√3， 2 Rt△B'HF中，B'F=√B'H2+H F2=√B'H2+(AH+AD−FD) 2=√B'H2+AD2=√(4√3) 2+92=√129， ∴BM+MN+ND≥√129+4， 即BM+MN+ND的最小值是√129+4． 故答案为：√129+4． 4.如图，在矩形 中， ， ， 为 的中点，若 为 边上的两个动点， 且 ，若想使得四边形 的周长最小，则 的长度应为__________. 【答案】 【分析】四边形APQE的周长中AE和PQ是定值，要是四边形APQE的周长最小，只要AP+QE最小即可； 在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ 的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，根据题意可得 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ,即可求出CQ= ，则BP=CB-PQ-CQ即可求解。 【详解】 解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点， 过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵E为CD的中点，∴CE=2 ∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°， ∵BC//GH ∴△QCE∽△GHE, ∴ , ∴ ， ∴CQ= ， ∴BP=CB-PQ-CQ=7-2- ． 故答案为 ． 5.如图，已知AB为O的直径，BC，CD是O的切线，切点分别为点B，D，点E为AB上的一 个动点，连结CE ，DE．若AB2 5，BC 2，则CEDE 的最小值是 ． 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 14 【答案】 3 【分析】过点D作DF  AB于点F ，延长DF交O于点G，连接CG交AB于点E，利用将军饮马模 AD OA 5   型可得此时ECEDGC最小，连接OD，AD，DB，利用相似三角形的性质可得 BD BC 2 ， 20 k2  设AD 5k，则BD2k ，利用勾股定理求得 9 ，再利用ADF∽ABD，求出AF 的长，进而求 8 5 CH BF  出BF 的长；过点C作CH  AB于点H ，则四边形CHFB为矩形， 9 ，FH BC 2，则 20 38 GH FH FG 2 9 9 ，再利用勾股定理即可求得结论． 【详解】解：过点D作DF  AB于点F ，延长DF交O于点G，连接CG交AB于点E，如图， ∵ AB为O的直径，ABDG， DF FG． 点D与点G关于AB对称． DEEG，此时EDEC最小． EDEC EGEC GC． 连接OD，AD，DB， ∵ AB为O的直径，AB2 5， 1 OADOOB AB 5 2 ． ∵ BC ，CD是O的切线， BC CD2，ODCD，OBBC，CDBA． ∵OAOD， AADO． ∵ DC CB， CDBCBD． CDBAADOCBD． OAD∽CDB． 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AD OA 5    BD BC 2 ． 设AD 5k，则BD2k ， ∵ AB为O的直径， ADB90． AD2 BD2  AB2． ( 5k)2 (2k)2 (2 5)2  ． 20 k2  9 ． ∵ADB90，DF  AB， ADF∽ABD， AD AF   AB AD ． AD2  ABAF ． 10 AF  5 9 ． 5 OF  AF OA 9 ． 8 5 BF OBOF  9 ． ∵∵ADB90，DF  AB， ADF∽DBF ． DF BF   AF DF ． 10 5 8 5 DF2  AFBF   9 9 ． 20 DF  9 ． 20 GF DF  9 ． 过点C作CH  AB于点H ， 则四边形CHFB为矩形， 8 5 CH BF  9 ，FH BC 2． 20 38 GH FH FG 2 9 9 ． 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在RtCHG中， ∵CG2 CH2 HG2 ， 8 5 38 42 14 CG ( )2 ( )2   9 9 9 3 ． 14 故答案为： 3 ． 模型03 胡不归模型 考｜向｜预｜测 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中 常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方 便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 答｜题｜技｜巧 1. 构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型； 2. 借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1； 3. 利用“垂线段最短”原理构造最短距离； 4. 数形结合解题 1．（2023·安徽）如图， 为等边三角形， 平分 ， ，点E为 上动点， 连接 ，则 的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】过A作 于F，过点P作 于E，故 ，故 ，求 出 即可． 【详解】解：过A作 于F，过点P作 于E， 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ 为等边三角形， 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 的最小值为 的长， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 故选：C． 1．如图，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ， 为 上一动点，则 的最小值为 （ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由四边形 是菱形结合其性质，将 进行转化，再由“垂线段最短”的思想 进行求解即可得解． 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】连接AC交OB于点M，过M点作MH OC于点H，过点A作AG垂直OC于点G，交OB于点P ∵四边形 是菱形 ⊥ AM OB， ， ， ∴ ⊥ ∵ ∴ ， MH OC，AM OB ∵ ⊥ ⊥ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当A、P、G三点共线且AG OC时有 的最小值AG，如下图所示 ⊥ ∵菱形 的面积 ∴ ∴ 的最小值为4， 故选：A． 2．如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B作 于点E，点P为线段 上一 动点（点P不与B，E重合），则 的最小值为 ． 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】6 【分析】过点P作 ，连接 并延长交 于点F，连接 ，根据等边三角形的性质和圆内接三 角形的性质得到 ， ，然后利用含 角直角三角形的性质得到 ，进而求 出 ，然后利用 代入求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ，连接 并延长交 于点F，连接 ∵ 是等边三角形， ∴ ∵ 是等边三角形 的外接圆，其半径为4 ∴ ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 的最小值为 的长度 ∵ 是等边三角形， ， ∴ ∴ 的最小值为6． 故答案为：6． 3．如图，在 中， ， ， ，按下列步骤作图：①在 和 上分别 截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一个动点，连接 ，则 的最小 值是 ． 【答案】 【分析】过点P作 于点Q，过点C作 于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求 出 ，然后利用含 的直角三角的性质得出 ，则 ，当 C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，利用含 的直角三角 的性质和勾股定理求出 ， ，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过点P作 于点Q，过点C作 于点H， 由题意知： 平分 ， ∵ ， ， ∴ ， 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 最小值为 ． 故答案为： ． 4．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求 的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，求 的 最小值． 【答案】(1) (2) (3) 的最小值为： 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）求解 的对称轴为直线 ，而 ，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解 ， ，可得 ，求解直线 为 ，及 ，证明 在直线 上，如图，过 作 于 ，连接 ，过 作 于 ，可得 ， ，证明 ，可得 ，可得 ，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为： ； （2）解：∵ 的对称轴为直线 ，而 ， ∴函数最小值为： ， 当 时， ， 当 时， ， ∴函数值的范围为： ； （3）解：∵ ， 当 时， ， ∴ ， 当 时， 解得： ， ， ∴ ， ∴ ， 设直线 为 ， ∴ ， ∴ ， ∴直线 为 ， ∵拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，而顶点为 ， 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ 在直线 上， 如图，过 作 于 ，连接 ，过 作 于 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵对称轴与 轴平行， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由抛物线的对称性可得： ， ， ∴ ， 当 三点共线时取等号， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 的最小值为： ． 1.（2023·四川）如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且 MN=2，则OM+ON的最小值是____________． 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【分析】根据题意，过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH， 则OM+ON= NH+ON= NH+ NK≥HK，当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．根 据矩形性质及图形的对称性，易知 ，在 中，运用勾股定理求得HK的长即可． 【详解】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH， ∵OH∥BC，OH=MN=2， ∴四边形OMNH是平行四边形， ∴OM=NH， ∴OM+ON= NH+ON． ∵O点关于BC的对称点是点K， ∴ON=NK， ∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK， ∵ ， ∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长． ∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K， ∴ ． ∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K， ∴OK=AB=8． ∵OH= 2， ， ∴ ， ∴OM+ON的最小值是 ． 2. （2024·安徽）如图，正方形 内接于⊙O，线段 在对角线 上运动，若⊙O的周长为 ， 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，则 周长的最小值是 ． 【答案】 / 【分析】过点 作 ，令 ；可推出四边形 为平行四边形，有 ；根 据 可知当 时， 周长有最小值. 【详解】解：过点 作 ，令 ∵⊙O的周长为 ，∴⊙O的半径为 ∴ ∵ 且 ∴四边形 为平行四边形 ∴ 由正方形的对称性可得： ∴ ∴ 故：当 时， 周长有最小值 此时： ∴ 周长的最小值是 故答案为： 3．（2023·浙江）如图，平行四边形 中， ， ， ，P为边CD上的一动点， 则 的最小值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长 ，过点B作 交 于点P， ∵四边形 为平行四边形，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，则 ，则 ， 同理可得： ，∴ ， 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴当点E、P、B在同一条直线上时， 的值最小， ∵ ，∴ ． 故选：A． 4．（2023·四川）如图，在 中， ，若 D 是 边上的动点，则 的最小值是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，如图 所示： 在 中， ，∴ ，∵ ＝ ， ∴当A，D，F在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长， 此时， ，∴ 是等边三角形，∴ ， 在 中， ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 的最小值为12， 故选：D． 5．（2023·湖南）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线 同旁有两个定点A、B，在直线 上存在点 ，使得 的值最小．解法：如图1，作A点关于直 线 的对称点 ，连接 ，则 与直线 的交点即为 ，且 的最小值为 ． 请利用上述模型解决下列问题： 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)几何应用：如图2， 中， ， ， 是 的中点， 是 边上的一动点，则 的最小值为 ； (2)几何拓展：如图3， 中， ， ，若在 、 上各取一点 、 使 的 值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由． 【答案】(1) (2) ，图和理由见解析 【详解】（1）解：如图2所示，作点A关于 的对称点 ，连接 交 于P，此时 的值最小． 连接 ， 由勾股定理得， ， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值 ． 故答案为： ； （2）解：如图3，作点C关于直线 的对称点 ，作 于N，交 于M，连接 ， 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则 ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 6．（2023·陕西）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离． 问题提出： (1)如图 1所示，已知 A，B是直线 l同旁的两个定点．在直线 l上确定一点 P，并连接 与 ，使 的值最小． 问题探究： (2)如图 2 所示，正方形 的边长为 2，E 为 的中点，P 是 上一动点．连接 和 ，则 的最小值是___________； 问题解决： (3)某地有一如图 3 所示的三角形空地 ，已知 ，P 是 内一点，连接 后测得 米，现当地政府欲在三角形空地 中修一个三角形花坛 ，点 分别是 边上的 任意一点（不与各边顶点重合），求 周长的最小值． 【答案】(1)见解析 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2) (3) 【详解】（1）解：如图所示，当P点在如图所示的位置时， 的值最小； （2）解：如下图所示， ∵四边形 是正方形， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， 由题意易得： ， 当D、P、E共线时，在 中，根据勾股定理得， ． （3）解：如下图所示，分别作点P关于 ， 的对称点 ，连接 ， 交 ， 于点 ，连接 ，此时 周长的最小值等于 ． 由轴对称性质可得， ， ∴ ， 在 中， 即 周长的最小值等于 ． 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，F分别是CD和BC上的动 点，则BE+EF的最小值是（ ） A．6 B．3√2 C．3√3 D．3 【解析】作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的 1 最小值，根据直角三角形的性质得到BD= CD，根据已知条件得到BB′＝BC，推出△CDB≌△BB′F， 2 √3 于是得到B′F＝CD= BC＝3√3． 2 【详解】解：作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E， 则B′F的长度即为BE+EF的最小值， ∵∠ABC＝60°，CD⊥AB， ∴∠BCD＝30°， 1 ∴BD= CD， 2 1 ∵BD= BB′， 2 ∴BB′＝BC， 在△CDB与△B′FB中， {∠CDB=∠B'FB ∠B'BF=∠CBD， CD=BB' ∴△CDB≌△BB′F， √3 ∴B′F＝CD= BC＝3√3． 2 故选：C． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD＝3，Q为AB上一动点， 29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则DQ的最小值为（ ） A．1 B．2 C．2.5 D．√5 【解析】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：作DH⊥AB于H，如图， ∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC， ∴DH＝DC＝2， ∵Q为AB上一动点， ∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2． 故选：B． 3.如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动 点，则△PMN周长的最小值是（ ） 2 4 A．3 B． C． D．6 3 3 【解析】作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与 N，则P'P''的长即为△PMN周长的最小值；连接OP'，OP''，利用已知条件可以证明∠P′OP″＝60°即 可求出P'P''； 【详解】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点 M与N， 则P'P''的长即为△PMN周长的最小值， 连接OP'，OP''， 30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵OP＝3，∠AOB＝30°， 由对称性可知OP＝OP'＝OP''，∠P′OP″＝60°， ∴∠OP'P″＝∠OP''P′＝60°， ∴OP′＝OP''＝P'P''， ∴P'P''＝3； 故选：A． 4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC ＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（ ） A．7 B．6 C．9 D．10 【解析】连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM＝BM，进而得到当B，M，C在同一直线上 时，AM+CM的最小值为BC的长，依据AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周长的最小值． 【详解】解：如图所示，连接BM， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∴AM+CM＝BM+CM， 当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长， 又∵AC＝4，BC＝6， ∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10， 故选：D． 5．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN 的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ） A．80° B．90° C．100° D．130° 【解析】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连 31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 接AM、AN，此时△AMN的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠MAN＝80°，即 可求∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°． 【详解】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于 M，连接AM、AN， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴AN＝NF，AM＝EM， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值， ∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM， ∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD， ∵∠BAD＝130°， ∴∠E+∠F＝50°， ∴∠BAM+∠FAN＝50°， ∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°， ∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°， 故选：C． 6．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥 与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】根据轴对称确定最短路线问题，过村庄B作河岸的垂线并且等于河的宽度，然后与村庄A连接 与河岸a相交于一点M，过点M作MN⊥a与b相交于点N，连接AM、BN，则AM+MN+BN即为最短距 离． 32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，D选项图形符合． 故选：D． 7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝ 2，当BP＝（ ）时，四边形APQE的周长最小． A．3 B．4 C．5 D．2√2 【解析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此， 先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接 EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最 小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可 求出BP的长度． 【详解】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一 点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于 H点． ∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°， ∴∠GEH＝45°， ∴∠CEQ＝45°， 设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x， 在△CQE中，∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°， ∴CQ＝EC， ∴6﹣x＝2， 解得x＝4． 故选：B． 33