文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 13 几何类比探究题型
题型解读｜模型构建｜通关试练
几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根
据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。由于探究型试题的
知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度
和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强
对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．
模型01 图形旋转模型
模型一、A字形（手拉手）及其旋转
D C D
C
E
C
A B D
A B E A B
E
模型二、K字型及其旋转
C D C D C
B B B
A
A E D A E E
手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边
对应相等，可证明两个三角形全等（边角边）组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。在类
比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等
三角形变为相似三角形。
模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转
解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相
等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。
模型02 图形平移模型探究
1.四边形平移变换
四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、
三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的
图形，注意分类讨论．
2.三角形平移变换
三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性
质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.
3.其它图形平移类比探究问题
综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，
解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.
模型03 动点引起的题型探究
动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、
弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。 而从其中延伸出的折叠、旋转问题，更能体现其解题核心
——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答。
实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的
压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力。要求
学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等。
模型04 铺垫、迁移、拓展类探究题型
铺垫、迁移、拓展类探究题型由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无
固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律； 2．反演推理法（反证法），即假设结论
成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致；3．分类讨论法．当命题的题设和结
论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求
解，将不同结论综合归纳得出正确结果； 4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另
一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证． 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，
因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用。
模型01 图形旋转模型
考｜向｜预｜测
图形旋转模型该题型近年主要以解答题形式出现，图形的旋转模型，在解答题目时经常出现的一
道题目，也是必考题型，手拉手模型是旋转模型中常见的一种题型，熟知手拉手模型的做法和思路，
不论是求证线段的关系，还是求证角度的关系都十分的简单了，本专题就手拉手模型进行梳理及对应
试题分析，方便掌握。
答｜题｜技｜巧
第一步： 连接拉手线：左手拉左手，右手拉右手
第二步： 证全等或相似：等腰三角形性质；SAS；证相似应用的方法为两边成比例，夹角相等；
第三步： 利用全等或相似的性质得到角度关系+拉手线相等；
例1. （2023·山东）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请
直接写出 的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ＝ ＝ ．连
接BD，CE．
①求 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)① ；②
【详解】（1）证明：∵△ABC和 ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠△BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：① ，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠BAC＝∠DAE， ，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC ．
模型02 图形平移模型探究
考｜向｜预｜测
图形平移模型探究该题型主要以探究题型出现，在考试中需要学生结合图形平移的性质综合运用所学
几何知识进行解题，该题型具有一定的难度和综合性，在各类考试中得分率普遍较低。掌握平移的性
质，根据平移前后图形位置的变化找出对应的全等或相似三角形，求出对应的边长或角度。
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察图形经过平移，找对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段
平行且相等；
第二步： 根据平移性质找出对应结论，平移不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是
全等形），图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；
第三步： 图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等；
第四步： 平移是由方向和距离决定的；
例1．（2024·河南周口·模拟预测）问题背景：如图1，在四边形 中，
，将 沿 翻折，点 的对应点 恰好落在 边上．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)操作探究
连接 ，判断 的形状，说明理由；
(2)探究迁移
将 沿射线 平移得到 （点 的对应点分别为 ），当点 的对应点 与
点 重合时，求四边形 的周长；
(3)拓展创新
将 继续沿射线 平移得到 （点 的对应点分别为 ）， 与 交于
点 ，且 ，将 绕点 在平面内自由旋转，当 时，直接写出 的长．
【答案】(1) 是等边三角形，理由见详解
(2)4
(3)3或
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
连接 ，如图，
∵ 沿 翻折，点 的对应点 ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
那么， 是等边三角形；
（2）
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ 沿射线 平移得到
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ 沿 翻折，点 的对应点 ，
∴ ，
则四边形 为菱形，
∵
∴
∵ ，
∴ ， ，
则 ；
（3）过点 作 交 于点F，连接 ，如图，
∵ 继续沿射线 平移得到 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴点F为 中点，
∴ ，得 ，
那么，D、F、 和M在同一条直线上，
由（1）知 ， ，
当 逆时针旋转 时得到 ，则 位于直线 上，
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵点F为 中点， ，
∴ ，
∵
∴ ；
当 顺时针旋转 时得到 ，则 位于直线 上，
由旋转得 ， ， ，
∴ ，
综上所述， 的长为3或 ．
模型03 动点引起的题型探究
考｜向｜预｜测
动点引起的题型探究是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变
化规律，从而确定某一图形的存在性问题．随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随
着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题。解决这类问题，要善于探索图形的运动
特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。解决运动型试题需要用运动与变化的眼
光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注－些
不变量和不变关系或特殊关系。
答｜题｜技｜巧
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第一步： 分析题目；
第二步： 依据落点定折痕；
第三步： 建立对应几何模型；
第四步： 设出未知数列方程求解；
第五步： 得到结论。
例1．（2024·辽宁丹东·模拟预测）【问题背景】
某数学实验小组对坐标平面内线段上的动点问题进行研究．如图1，平面直角坐标系中， 点坐标为 ，
为线段 上的一个动点，分别以 、 为边在 轴同侧做正方形 与正方形 ，设 点坐标
为 ．
【问题思考】
（1）在点 运动中，设正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，当 时，求点 坐
标．
（2）分别连接 、 、 ， 交 于点 ，当点 运动时，设 的面积为 ，求 与 的函数
表达式．
【问题拓展】
（3）当点 坐标为（1）问结果时，求此时点 的坐标．
（4）如图2，若点 坐标为 ，点 ， 分别为边 ， 的中点， 的中点为 ，连接 ，
，当点 从 到 的运动过程中，请求出 的最小值．
【答案】（1） 或 ；（2） ；（3）点 的坐标为 或 或 或 ；
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（4）
【详解】解：（1） 点坐标为 ， 点坐标为 ，
， ，
当 时，得 ，
解得 ， ，
点 的坐标为 或 ；
（2）连接 ，
四边形 ， 均为正方形，
，
，
；
（3）①当 时， ，
，
， ，
当正方形 与正方形 在 轴上方时 ，
当正方形 与正方形 在 轴下方时 ；
②当 时， ，
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ，
当正方形 与正方形 在 轴上方时 ，
当正方形 与正方形 在 轴下方时 ，
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ；
（4）如答图2，过 作 轴于 ，延长 交 于 ，过 作 轴于 ，交 于 ，
则 ， ， ，
，
为 的中点,
， ，
即 点在平行于 轴且到 轴距离为 的线段 上．
如答图3，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 有最小值，即为 ，
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则 ，
，
，
在 中， ．
模型04 铺垫、迁移、拓展类探究题型
考｜向｜预｜测
铺垫、迁移、拓展类探究题型解决该类问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了
什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、
比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述
自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目
中提出的问题。该题型在考试中主要以解答题的形式出现，题目一般较长，需要学生具有一定的阅读和理
解的能力，同时该题型具有一定的难度，得分率较低，需要我们认真对待。
答｜题｜技｜巧
第一步： 首先利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到
一般，从而得出规律；
第二步： 反演推理：假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致；
第三步： 分类讨论：当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做
到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果；
第四步： 类比猜想：即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，
并加以严密的论证。
例1．（2023·湖北武汉）【感知图形】
点 是矩形 的边 上一动点，连接 、 ，将 、 分别沿 、 翻折，得到 、
．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【问题探究】
（1）如图1， 交 于点 ， 交 于 ， 在 的右侧，求证： ；
【问题拓展】
（2）将图1特殊化，当 、 、 共线时，称点 为 边上的“叠合点”．如图2，在矩形 中，
， ，点P为 边上的“叠合点”，且 ，求 的长；
【答案】（1）见详解；（2）
【详解】（1）证明：如图1中，
四边形 是矩形，
，
，
由翻折的性质可知 ，
，
，
同法可证 ，
；
（2） 四边形 是矩形，
， ， ，
设 ，则 ，
由 得 ，则 ，
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在 中， ，
在 中， ，
由折叠的性质可知， ， ，
，
在 中， ，
，
解得 （舍）或 ，
当 时， ；
∴ 的长为 ．
1．（2023·福建）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形
AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③ ；
④DG⊥AC．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：设AB与EF相交于点O，如图所示，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故结论①正确；
∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．
∴△ACF∽△ADG．
故结论②正确；
由△ACF∽△ADG可知 ，
∴DG平分 ．
∵ 是等腰直角三角形，
∴DG⊥AC．
故结论④正确；
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ， ，
∴△ACF∽△AFH，
∴ ，
∴ ．
∵在等腰直角 中， ，
∴ ，
故结论③错误，
∴正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
2．（2023·湖北黄冈）某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P是底边 上一点，连接 ，以 为腰
作等腰 ，且 ，连接 、则 和 的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P是腰 上一点，连接 ，以 为底边
作等腰 ，连接 ，判断 和 的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形 中，点 是边 上一点，以 为边作正方形 ，点 是正方
形 两条对角线的交点，连接 ．若正方形 的边长为 ， ，请直接写出正方形
的边长．
【答案】(1)
(2)
(3)6
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）解：∵ 是等腰直角三角形， ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：结论： ，
理由如下：∵ 是等腰直角三角形， 中， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：连接 ，如图所示，
∵四边形 与四边形 是正方形， 与 交于点 ，
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，设 ，则 ，
又∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）， ．
∴正方形 的边长为6．
3．（2023·河南）（1）如图1，在矩形 中， ， ，点E为边 上一点，沿直线 将
矩形折叠，使点C落在 边上的点 处．求 的长；
（2）如图2，展开后，将 沿线段 向右平移，使点 的对应点与点B重合，得到 ，
与 交于点F，求线段 的长；
（3）在图1中，将 绕点 旋转至A， ，E三点共线时，请直接写出 的长．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）3；（2）1；（3） 或
【详解】（1）解： 为矩形， ， ，
， ，
；
（2）解： 为 平移后的图形， ， ，
， ，
，
设 长为 ，
， ，
解得： ，
，
， ，
，
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
；
（3）解：将 绕点 旋转至A， ，E三点共线，
分以下两种情况：
①当 旋转到 左侧时，如图所示：
作 ，交 的延长线于点 ，
由（2）可知 ，
由旋转性质可知， ，
，
，
，
四边形 为矩形，
， ，
，
②当 旋转到 右侧时，如图所示：
作 ，交 的延长线于点 ，
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由（2）可知 ，
由旋转性质可知， ，
，
，
四边形 为矩形，
， ，
，
．
4．（2023·辽宁沈阳）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在x轴上， ， 的
长是一元二次方程 的根，过点C作x轴的垂线，交对角线 于点D，直线 分别交x轴
和y轴于点E和点F，动点N从点E以每秒2个单位长度的速度沿 向终点F运动．设运动时间为t秒．
(1)求直线 的函数表达式：
(2)求点N到直线 的距离h与运动时间t的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点M．使得以 为项点的四边形是矩形．若
存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点M的坐标是 或
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）解：方程 ，
解得∶ ，
四边形 是是形， ，
，
，
，
过点 作 于 ，如图1，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，代入 得∶
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得∶ ，
直线 的解析式为 ；
（2）当 时， ，当 时，
为 的中点，
在 中，
是等边三角形．
当 时，即点 在线段 上运动时，过点 作 于 ，如图2，
则
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当 时，即点 在线段 上运动时，过点 作 于 ，如图3，
则 ，
，
综上所述，点 到直线 的距离 与运动时间 的函数关系式为
（3）存在，分情况讨论∶
①如图4，当 是矩形 的边时，则 ，过点 作 于 ，
，即点 为 与 的交点，
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
将点 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点 ，
将点 向左平移向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点 ，
，
；
②如图5，当 是矩形 的对角线时，则 ，过点 作 于 ，
，
是等边三角形，
将点 向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点 ，
将点 向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点 ，
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
存在一点 ，使得以 为顶点的四边形是矩形，点 的坐标是( )或 ．
5．（2023·陕西）【问题出示】
（1）如图①，等腰 中， ， ，点 是直线 上的动点，线段 的最小
值是______．
【问题探究】
（2）如图②，线段 最短时，在（1）的条件下，线段 是 的角平分线，点 、 分别在边
、 上运动，连接 、 ， 的最小值是
【问题拓展】
（3）如图③，线段 最短时，在（1）的条件下，点 在边 上运动，连接 ，将线段 绕点 顺
时针旋转60°，得到线段 ，连接 ，求线段 的最小值．
【问题解决】
按照住建部制定的楼间距国家标准，南北朝向的小区，各栋楼之间的距离不小于前排楼高的0.7倍，例如：
前排房屋的楼高是20米，那么后排房屋与前排房屋的距㐫至少要14米才符合要求．
（4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形 各边长都为90米，且两组对边分别平行，
， 长30米， 边上任意一点 ，计划在线段 、 、 上修建三条小路，点 处修建
业主活动楼，其中 ，且 ．小区最南边一排（即线段 处）楼高70米，当线段
取小时，点 处的业主活动楼到线段 处楼房的距离是否符合楼间距标准？请说明理由．
【答案】（1） （2） （3） （4）符合楼间距标准，理由
【详解】解：（1）当点 运动到 时，线段 值最小，
∵ ， ，
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：在 边上截取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即当P、D、M三点共线，过点M作 于点D时， 最小，最小值为 长，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
故最小值为 ；
（3）在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转可得 ，
∴ ，
∴ ，
即当 时， 长最小，即 长最小，
这时 ，
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ；
（4）解：符合楼间距标准，理由为：
在 上截取 ，在 上截取 ，连接 ，连接 并延长交 于点N，
则 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
∴当 时， 长最小，
这时 ，
米，
∴ ，
∴符合楼间距标准．
6．（2023·四川）在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究：
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
问题背景：在 中， ．点D为 边上一动点，连接 ，点E为
边上一动点，连接 ，以 为边，在 右侧作等边 ，连接 ．
(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，当点D运动到 的四等分点（靠近点B）时，点D停止运动，此时点E从点C运动到点D，
试判断点E从点C运动到点D的过程中线段 和 的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点D从 的四等分点（靠近点B）出发，向终点A运动，同时，点E从点D出发，向终点C
运动，运动过程中，始终保持 ，直接写出 的最小值和点F所经过的路径长．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3) 的最小值为 ，点F所经过的路径长
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
过点F作 ，垂足为点G，取点H为 中点，连接 ，
∵ ，
∴ ，
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴
∵点H是 的中点，
∴
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵点H是 中点，点D是 四等分点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ；
（3）解：以 为边作等边三角形 ，连接 ，
∵ 是等边三角形．
∴ ，
∴ ，
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴ ，
即当点D和点E运动过程中，始终保持 ，
则点F在以 为直径的圆弧上运动，起点为 的中点N，终点为点M，
由三角形三边关系可知 ，则 ，
连接 ，交圆弧于点F，此时 取得最小值，
∵ 是等边三角形，点O是 中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点N是 中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
则 的最小值为 ，点F所经过的路径长为 ．
7．（2023·广东）综合应用
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：按照以下思路研究不等式组
的解集：首先令 ，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质
进行探究，列表：
x … 0 1 3 4 …
y … …
描点与连线：
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)在列表的空格处填对应的y值，在如图给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根
据描出的点，画出该函数的图象．
(2)若 为该函数图象上不同的两点，则x与y的数量关系是_______；
(3)观察图象，当 时，自变量x的取值范围是_______；
(4)【拓展运用】运用以上的探究过程，求出函数 与 的图象所围成的图形面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
(4)12
【详解】（1）解：填表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 1 2 3 2 1 0 …
描出各点，画出函数图象如下：
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）由图象得：函数关于y轴对称，
∵ 纵坐标相同，
∴ ，
故答案为： ；
（3）观察图象，当 或 时， ，
即当 时，自变量 的取值范围是 或 ；
故答案为： 或 ；
（4）设两图象交于点A，B，直线 交x轴于点C，
对于 ，
当 时， ，解得： ，
∴点 ，即 ，
当 时， ，
∴直线 与y轴的交点为 ，
画出函数 的图象草图如下：
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
联立得： ，
解得： 或 ，
∴点 ，
∴它与函数 的图象所围成的图形面积等于
．
8．（2023·湖北）【问题提出】（1）如图1，在四边形 中， ， ，
，连接 ．试探究 、 、 之间的数量关系．
小明的思路是：他发现 和 互补，推得 ，于是想到延长 到点 ，使
，连接 ．从而得到 ，然后证明 ，不难得到 、 、 之间的
数量关系是______；
【问题变式】（2）如图2，四边形 中， ， ，连接 ，试探究 、
、 之间的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，四边形 中， ， ， ，连接 ，若
，求四边形 的面积．（直接写出结果）
34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）
【详解】（1）延长 到点 ，使 ，连接 ．
， ，
在 和 中
，
为等边三角形
35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）如图，延长 到点E，使 ，连接
在 和
，
是等腰直角三角形，
即
（3）如图：延长 到点E，使 ，连接 ，
， ，
36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在 和 中
，
过点A作 交 于点F，
在 中， ，
四边形 的面积 ．
1． 问题发现
图（1），在 和 中， ， ， ，连接 ， 交于点M.
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
① 的值为______；② 的度数为_______．
（2）类比探究
图（2），在 和 中， ， ，连接 ，交 的延长线于
点M，请计算 的值及 的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若 ， ，将 绕点O在平面内旋转一周．
①当直线 经过点B且点C在线段 上时，求 的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线 距离的最大值．
【答案】（1）①1；② ；（2） ， ；（3）① 的长为 ；②M点到直
线 距离的最大值为
【详解】（1）①∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②设 与 交于点F，
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由①知， ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如下图，在 和 中，设 与 交于点 ；
∵∠ ， ，
∴ ；
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
（3）①如下图所示，当直线 经过点B且点C在线段 上时；
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在 中， ， ；
过点O作 的垂线，垂足为 ；
∴ ；
∵ ；
∴ ；
∴ ， ；
在 中，由勾股定理得；
；
∴ ；
∵ ；
∴ ；
即 ；
②如下图所示，∵ ， ；
∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且 ；
要想求出点 到直线 的最大值，动点 距离直线 越远越好，
从下图可以看出，点 的轨迹也是圆，点 运动极限位置取决于 的最大值；
∵ ， ；
∴ 的最大值取得当且仅当 时；
即在 中；
；
∴ ；
过点 作 的垂线，垂足为 ；
∴ ；
40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
即线段 即为所求；
在 中；
；
∵ ；
∴ ；
∵ ；
∴ ；
；
∴ ；
∴M点到直线 距离的最大值为 ．
2．（2224·河南周口·一模）在 中， ， ，点P是平面内不与点A，C重合的任意一
点，连接 ，将线段 绕点P逆时针旋转α得到线段 ，连接 ， ， .
(1)观察猜想
如图①，当 时， 的值是_______，直线 与直线 相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图②，当 时，请写出 的值及直线 与直线 相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说
明理由．
【答案】(1)1， ；
(2) ， ，理由见解析
【详解】（1）解： ， ， ， ，
与 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 与 中，
，
， ，
；
设 与 的延长线交于点I，如图①，
，
∴直线 与直线 相交所成的较小角的度数为 ；
（2）解： ，直线 与直线 相交所成的较小角的度数为 ，
理由如下：
42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ，
， ，
同理可得： ， ，
，
.
，
即 ，
，
， ，
设 交 于点G， 交 于点H，如图②，
，
，
∴直线 与直线 相交所成的较小角的度数为 ．
3．如图1，在Rt ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点
C顺时针旋转，设△旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3) CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最
大值△．
【答案】(1)AD＝ BE，AD⊥BE
(2)结论仍然成立，证明见解析
(3)P点运动轨迹的长度是 π；P点到直线BC距离的最大值是
【详解】（1）解：在Rt ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
△
∴AC= BC= ，AB=2BC=2，AD⊥BE
∵点D，E分别为AC，BC的中点
∴AD=CD= AC= ，BE=EC= BC=
∴ AD＝ BE．
故答案为：AD＝ BE，AD⊥BE．
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
∵AC＝ ，BC＝1，CD＝ ，EC＝ ，
44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ， ＝ ，
∴ ，
∵△CDE绕点C顺时针旋转，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴ ＝ ，∠CBO＝∠CAD，
∴AD＝ BE，
∵∠CBO+∠BOC＝90°，
∴∠CAD+∠AOP＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴BE⊥AD．
（3）解：∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距
离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP，
∵BE是⊙C切线，
∴CE⊥BE，
∵ ＝ ，
∴∠EBC＝30°，
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠GBP＝30°，
∵GB＝GP，
∴∠GBP＝∠GPB＝30°，
∴∠BGP＝120°，
∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，
∴P点运动轨迹的长度＝ ×2＝ π，
∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，
∴AP＝ AB＝1，BP＝ AP＝ ，
∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，
∴PH＝ BP＝ ．
∴P点到直线BC距离的最大值 ．
4．（2024·山东济南·一模）某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰
作等腰 ，且 ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边
作等腰 ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方
形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 ， ，求正方形ABCD的边
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
长．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【详解】（1）解：∵ 是等腰直角三角形， ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：判断 ，理由如下：
∵ 是等腰直角三角形， 中， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：连接BD，如图所示，
47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵四边形 与四边形 是正方形，DE与PF交于点Q，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，设 ，则 ，
又∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）， ．
∴正方形 的边长为3．
5．如图， 中， ，将 沿 的方向平移得到 ，连接 ．
48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)当点 移至什么位里时，四边形 是菱形，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，四边形 能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给 添加一个条
件，使四边形 为正方形，并写出推理过程．
【答案】(1)当点D移至 的中点时，四边形 是菱形，详见解析
(2)不能，详见解析
【详解】（1）解：当 移至 的中点时，四边形 是菱形．
证明如下：
， 是 的中点，
， ，
∵ ，
，
，
，
四边形 是菱形；
（2）解：不能为正方形，添加条件： 时，四边形 为正方形．
证明： ， 是 的中点．
，即 ，
四边形 为菱形，
四边形 是正方形．
6．在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，现将线段 先向上平移3个单位，再向
右平移1个单位，得到线段 ，连接 ， ．
49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图1，求点 ， 的坐标及四边形 的面积；
(2)如图1，在 轴上是否存在点 ，连接 ， ，使 ？若存在这样的点，求出点 的坐
标；若不存在，试说明理由；
(3)如图2，点 为 与 轴交点，在直线 上是否存在点 ，连接 ，使 ？若存在
这样的点，直接写出点 的坐标；若不存在，试说明理由；
【答案】(1)12；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【详解】（1）解：（1）∵点 ， 的坐标分别为 ， ，线段 先向上平移3个单位，再向右
平移1个单位，得到线段 ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，
∴四边形 的面积 ；
（2）存在，
设点 的坐标为 ，
由题意得： ，
解得： ，
∴点 的坐标为 或 ；
50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）设点 的坐标为 ，
则 ，
由题意得： ，
解得： 或 ，
则点 的坐标为 或 ．
7．已知：如图①，在矩形 中， ，垂足是E点F是点E关于 的对称点，
连接 ．
（1）求 和 的长；
（2）若将 沿着射线 方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿 方向所经过的线段长
度）当点F分别平移到线段 上时，求出相应的m的值;
（3）如图②，将 绕点B顺时针旋转一个角 ，记旋转中的 为 ，在旋
转过程中，设 所在的直线与边 交于点P与直线 交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使
为等腰三角形？若存在，直接写出此时 的长：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AE=4，BE=3；（2）3或 ；（3） 或 或 或
【详解】解：（1）在 中， ， ，
由勾股定理得： ．
，
51关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
．
在 中， ， ，
由勾股定理得： ．
（2）设平移中的三角形为△ ，如答图2所示：
由对称点性质可知， ．
由平移性质可知， ， ， ．
①当点 落在 上时，
，
，
，
，即 ；
②当点 落在 上时，
，
，
， ，
，
又易知 ，
△ 为等腰三角形，
，
，即 ．
（3）存在．理由如下：
52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在旋转过程中，等腰 依次有以下4种情形：
①如答图 所示，点 落在 延长线上，且 ，易知 ，
， ，
，
，
．
在 △ 中，由勾股定理得： ．
；
②如答图 所示，点 落在 上，且 ，易知 ，
，
，
，则此时点 落在 边上．
，
，
，
．
53关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在 中，由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ，
；
③如答图 所示，点 落在 上，且 ，易知 ．
， ，
．
，
．
，
，
，
，
．
在 △ 中，由勾股定理得： ，
；
54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
④如答图 所示，点 落在 上，且 ，易知 ．
， ， ，
，
，
．
综上所述，存在4组符合条件的点 、点 ，使 为等腰三角形；
的长度分别为 或 或 或 ．
8．（2024·山西太原·一模）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景，探索动点运动过程中产生的几何问题．
已知，在菱形 中， ，对角线 ，点E是射线 上的一个动点，连接 ， 与
关于边 所在直线对称．
初步探究：（1）如图1，小颖同学研究了 时的情形，并提出如下问题，请你解答：
①判断四边形 的形状，并说明理由；
②此时线段 的长为________________________________；
拓展延伸：（2）小彬同学研究了 时的情形，请你直接写出此时线段 的长．
55关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）①四边形 为菱形，见解析；② ；（2） 或25
【详解】解：（1）①四边形 为菱形．理由如下，
与 关于 所在直线对称，
．
， ， ，
，
，
，
，
，
则四边形 是菱形．
②连接 交 于点H，如图，
∵四边形 为菱形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
56关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则 ．
故答案为： ．
（2）①连接 交 于点O，连接 交 于点H，如图，
与 关于 所在直线对称，
， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ，解得 ；
②连接 交 延长线于点M，如图，
57关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
与 关于 所在直线对称，
， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ．
故 的长为 或25．
9．如图一，在射线 的一侧以 为一条边作矩形 ， ， ，点 是线段 上
一动点（不与点 重合），连接 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ，连接 ．
58关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求 的大小；
(2)问题探究：
动点M在运动的过程中，是否能使 为等腰三角形，如果能，求出线段 的长度；如果不能，请说
明理由．
(3)问题解决：
如图二，当动点 运动到 的中点时， 与 的交点为 ， 的中点为 ，求线段 的长度．
【答案】(1) ；
(2)能，满足条件的 的值为10或 ；
(3) ．
【详解】（1）解：如图，取 的中点O，连接 ，
∵矩形 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
59关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图一（1）中，当 时，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
如图一（2）中，当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
60关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
综上所述，满足条件的 的值为10或 ；
（3）解：如图二中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分线段 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
10．苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完
成问题探究．
【问题提出】如图1，点 分别在方形 中的边 上，且 ，连接 交于点
，求证： ．请你先帮小明加以证明．
61关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为 的正方形 中，点E从点A出发，
沿边 向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边 向点A运动，它们的运动速度都是 ，当点E
运动到点D时，两点同时停止运动，连接 交于点M，设点 运动时间为t秒．
（1）如图1，在点 的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长 ．
（2）如图2，连接 ，在点 的运动过程中．
①试说明点D在 的外接圆 上；
②若①中的 与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围．
【答案】[问题提出] 见解析
[问题探究]（1） ；（2）①见解析；②
【详解】[问题提出] 四边形 是正方形，
， ，
又 的运动速度都是 ，
，
，
，
，
，
，
即 ．
62关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
[问题探究] （1）∵ ．
∴点M在以 为直径的圆上，如图1，当 时，点M与点B重合；
如图2，当 时，点M为正方形对角线的交点．点 的运动路径为 圆，其路径长 ．
故答案为： ．
（2）①如图3．由前面结论可知： ，
∴ 的外接圆的圆心 是斜边 的中点，
则 ，
在 中， ， 是 的中点．
∴ ，
∴ ，
∴点 在同一个圆（ ）上，
即点 在 的外接圆 上；．
② ．
如图4，当 与 相切时， 与正方形的各边共有 个交点，
如图5则有 个交点，所以“当 与 相切时”是临界情况．
如图4，当 与 相切（切点为 ），连接 ，并延长 交 于点 ．
∵AB与 相切，
∴ ，
又∵ ，
63关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
，
设 的半径为 ．由题意得：
在 中， ，解得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴如图5，当 时， 与正方形的各边共有 个交点．
11．材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进
而解决问题．如果动点C与定线段 所成的 为常量，那么点C的运动轨迹为射线 ，如图A．
如果动点G与定直线 的距离 为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线 平行的直线l，如
图B．
64关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
下图中，矩形 中， ，点P在边 上且 ，点M为直线 上的一动点，以
为直角边作等腰 ， ，点N在直线 的右下方，连接 ，当点M在边 上
运动时，
(1)分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹（尺规作图）．
(2)求 周长的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）如图，过点N作 的垂线，垂足为H．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点N的运动轨迹是过点N与 的平行线．
尺规作图如下，
65关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）如图，作点D关于点N的运动轨迹的对称点 ，连接 ，则 的长即为 的最小值，即
此时 周长最小．
由（1）可知 ，
∴ ．
在 中， ，
∴ 周长的最小值为 ．
12．探索发现 如图1，在正方形 中，点E在 上，连接 ，将 沿着直线 翻折得到
，延长 ， 分别交 ， 于H，G．
（1）证明： ；
（2）若点G是 中点，求 值，
迁移拓展 如图2，在菱形 中， ，点E在 上，连接 ，将 沿着直线 翻折得到
， 交 于H，延长 ， 交于点G．若 ，直接写出 的值及 长．
66关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）证明见解析（2） ；迁移拓展：
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
，
由折叠可知， ，
∴ , ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）可得， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
∵在 中， ，
∴ ，
67关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，即 ，
∴ ；
迁移拓展：连接 ，过点 作 于点 ，如图所示：
，
∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ，
∵将 沿着直线 翻折得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
在 中， ，
可得： ，
解得： ，
68关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
13．（2024·山东临沂·一模）用四根一样长的木棍搭成菱形 ，点P是线段 上的动点（点P不与点
D和点C重合），在射线 上取一点M，连接 ，使 ．
【操作探究一】
（1）如图1，调整菱形 ，使 ，当点M在菱形 外时，在射线 上取一点N，使
，连接 ，则 ______， ______；
【操作探究二】
（2）如图2，调整菱形 ，使 ，当点M在菱形 外时，在射线 上取一点N，使
69关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，连接 ，探索 与 的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】
（3）在菱形 中， ， ．若点P在直线 上，点M在射线 上，且当
时，请直接写出 的长．
【答案】（1） ， ；（2） ，理由见解析；（3） 或 ．
【详解】解：（1） 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
故答案为： ， ；
（2） ，理由如下：
四边形 是菱形， ，
， ，
在 和 中，
，
，
70关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ，
，
，
，
，
，
，
如图2，作 交 于 ，则 ， ，
在 中， ， ，
，
，
；
（3）当 时，点 和点 重合，
如图3，当点 在线段 的延长线时，过点 作 于点 ，
71关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设 ，
， ，
为等腰直角三角形，
，
四边形 是菱形，， ， ，
， ，
由菱形的对称性及 可得 ，
在 中， ， ，
，
，
，
，
；
如图4，当点 在 的延长线上时，过点 作 交 的延长线于点 ，
设 ，同①可得： ， ，
，
72关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
综上所述， 的长度为 或 ．
14．（2024·贵州·模拟预测）在 中， ，点 在直线 上，直线 与 的夹角为 ，
且 ，分别过点 ， 作直线 的垂线，垂足分别为 ， ．
(1)【问题解决】
如图 ，若 ，则 的度数为________， 的值为______；
(2)【问题探究】
如图 ，若 ，判断 的值是否发生变化？并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图 ， ， 交于点 ， 点 在线段 上 ， ， ，求线段 的长．
【答案】(1) ， ；
(2) 的值不会发生变化，理由见解析；
(3) ．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
73关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2） 的值不会发生变化，理由如下：
如图，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
74关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图，过点 作 分别交 ， 于 ， ，则四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ，则 ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
75关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
即 ，解得 ，
∴ ．
76
